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2018年高考数学一轮复习第五章数列课时达标30等比数列及其前n项和理


2018 年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标 30 等比数列及其 前 n 项和 理
[解密考纲]主要考查等比数列的通项公式, 等比中项及其性质, 以及前 n 项和公式的应 用,三种题型均有涉及. 一、选择题 1.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A ) A.-24 B.0
2

C.12
2
<

br />D.24

解析:由题意知(3x+3) =x(6x+6),即 x +4x+3=0,解得 x=-3 或 x=-1(舍去), 所以等比数列的前 3 项是-3,-6,-12,则第四项为-24. 2.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=x·3 1 A. 3 1 B.- 3
n-1

1 - ,则 x 的值为( 6

C )

1 C. 2

1 D.- 2

1 解析:当 n=1 时,a1=S1=x- ,① 6 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=?x·3

? ?

n-1

1 ? 1? n-2 n-1 n-2 n-2 - ? -?x·3 - ?=x·(3 -3 )=2x·3 , 6? 6? ? ?
2-2

a2 2x·3 因为{an}是等比数列,所以 a1= = q 3
1 2x 1 由①②得 x- = ,解得 x= . 6 3 2



2x ,② 3

3.(2017·云南昆明模拟)在等比数列{an}中,若 a3,a7 是方程 x +4x+2=0 的两根, 则 a5 的值是( B ) A.-2 B.- 2 C.± 2 D. 2

2

解析:根据根与系数之间的关系得 a3+a7=-4,a3a7=2,由 a3+a7=-4<0,a3a7>0, 所以 a3<0,a7<0,即 a5<0, 由 a3a7=a5,所以 a5=- a3a7=- 2. 5 5 Sn 4.已知等比数列{an}中的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= ,a2+a4= ,则 =( 2 4 an A.4
n-1
2

D )

B.4 -1
2

n

C.2

n-1

D.2 -1

n

5 ? ?a +a =2, 解析:∵? 5 ? ?a +a =4,
1 3 2 4

5 ? ?a +a q =2,① ∴? 5 ? ?a q+a q =4,②
1 1 3 1 1

1

1+q 1 由①除以②可得 3=2,解得 q= , q+q 2

2

?1?n-1 4 代入①得 a1=2,∴an=2×? ? = n, 2 ?2? ? ?1?n? 2×?1-? ? ? ? ?2? ? ? 1 ? ∴Sn= =4?1- n?, 1 ? 2? 1- 2
n? ? Sn ? 2 ? n ∴ = =2 -1,选 D. an 4

? 1? 4 1-
2
n

5.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10= ( B ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析: 由题意可知 a5a6=a4a7, 又 a5a6+a4a7=18 得 a5a6=a4a7=9, 而 log3a1+log3a2+… +log3a10=log3(a1·a2·…a10)=log3(a5a6) =log39 =log33 =10. 6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的最 小值为( A.16 B ) B.8 C.2 2 D.4
5 5 10

解析: 由题意知 a4>0, a14>0, a4·a14=8, a7>0, a11>0, 则 2a7+a11≥2 2a7·a11=2 2a4·a14 =2 16=8, 当且仅当? 故选 B. 二、填空题 7.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是 4. 解析:设公比为 q,则由 a8=a6+2a4,得 a1q =a1q +2a1q ,q -q -2=0,解得 q =2(q =-1 舍去),所以 a6=a2q =4. 8.等比数列的各项均为正数,且 a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 5. 解析:由等比数列的性质可知 a1a5=a2a4=a3,于是,由 a1a5=4 得 a3=2,故 a1a2a3a4a5 =32,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log232=5. 9.(2017·江苏徐州模拟)若等比数列{an}满足:a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=2; 前 n 项和 Sn=2
n+1
2 4 7 5 3 4 2 2 2

?a7·a11=8, ? ?2a7=a11, ?

即 a7=2, a11=4 时取等号, 故 2a7+a11 的最小值为 8,

-2.

解析:由 a2+a4=20,a3+a5=40,

2

?a1q+a1q =20, ? 得? 2 4 ?a1q +a1q =40, ?

3

?a1q?1+q ?=20, ? 即? 2 2 ?a1q ?1+q ?=40, ?

2

解得 q=2,a1=2,

a1?1-qn? 2?1-2n? n+1 所以 Sn= = =2 -2. 1-q 1-2
三、解答题 10.已知递增的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a6=64 ,且 a4,a5 的等差中项为 3a3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=

n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. a2n-1

解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q(q>0),
? ?a1q =64, 由题意,得? 3 4 2 ?a1q +a1q =6a1q , ?
5

? ?a1=2, 解得? ?q=2 ?

64 ? ?a1=- 5 , 3 或? ? ?q=-3,

(舍去),所以 an

=2 . (2)因为 bn=

n

n n = , a2n-1 22n-1

1 2 3 4 n 所以 Tn= + 3+ 5+ 7+…+ 2n-1, 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n-1 n Tn= 3+ 5+ 7+…+ 2n-1 + 2n+1, 4 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 n 所以 Tn= + 3+ 5+ 7+…+ 2n-1- 2n+1 4 2 2 2 2 2 2 1? 1? ?1- n? 2? 4 ? n 2 4+3n = - 2n+1= - 2n+1, 1 2 3 3×2 1- 4 8 16+12n 8 4+3n 故 Tn= - 2n+1 = - 2n-1. 9 9×2 9 9×2 11.(2017·天津模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1 ,2S2,3S3 成等差数列, 40 且 S4= . 27 (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)求证:Sn< . 2 解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为 S1,2S2,3S3 成等差数列,所以 4S2=S1+3S3, 即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),

a3 1 所以 a2=3a3,所以 q= = . a2 3
3

40 a1?1-q ? 40 又 S4= ,即 = ,解得 a1=1,所以 27 1-q 27

4

an=? ?n-1. 3
(2)证明:由(1)得

?1? ? ?

a1?1-qn? Sn= = 1-q

?1?n 1-? ? ?3? 3? ?1?n? = ?1-? ? ?. 1 2? ?3? ? 1- 3

?1?n * 因为 n∈N ,所以 0<? ? <1, ?3? ?1?n 所以 0<1-? ? <1, ?3?
3? ?1?n? 3 所以 Sn= ?1-? ? ?< . 2? ?3? ? 2 12.(2017·湖北华中师大附中期中)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且 a1 =b1=2,b4=54,a1+a2+a3=b2+b3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)数列{cn}满足 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解析:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,

b4 54 3 3 n-1 由 b4=b1q ,得 q = = =27,从而 q=3,bn=2·3 . b1 2
又∵a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24, ∴a2=8,d=a2-a1=8-2=6, ∴an=a1+(n-1)d=2+6(n-1)=6n-4. ∴an=6n-4,bn=2·3
n-1

.
n-1

(2)cn=anbn=4(3n-2)·3
0 1

.
2

令 Sn=4[1×3 +4×3 +7×3 +…+(3n-5)×3
1 2 3

n-2

+(3n-2)×3

n-1

],

则 3Sn=4[1×3 +4×3 +7×3 +…+(3n-5)×3 =4[1+3×3 +3×3 +…+3×3
2 3 1 2

n-1

+(3n-2)×3 ].两式相减得-2Sn

n

n-1

-(3n-2)×3 ],
n

n

∴-2Sn=4[1+3 +3 +…+3 -(3n-2)×3 ] =2[(7-6n)·3 -7].∴Sn=7+(6n-7)·3 .
n n

n

4


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