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2013-2014学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测:1.3三角函数的诱导公式


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三 角 函 数

1.3 三角函数的诱导公式

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1.了解借助于三角函数线及三角函数定义推导诱导

公式的过程.
2.理解诱导公式一——六的特征及其适用条件,掌

握运用诱导公式解题的基本步骤,能灵活运用诱导公式
解决求三角函数的求值及证明等问题.

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基础梳理 一、诱导公式 公式一:sin(2kπ+α)=________,cos(2kπ+α)= ________,tan(2kπ+α)=________,k∈Z; 公式二:sin(π+α)=________,cos(π+α)=________, tan(π+α)=________; 公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=________, tan(-α)=________; 一、1.公式一:sin α,cos α,tan α 公式二:-sin α,-cos α,tan α 公式三:-sin α,cos α,-tan α, 金品质?高追求 我们让你更放心!

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公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=________, tan(π-α)=________; π π ? ? ? ? 公式五:sin 2-α =______,cos 2-α =______; ? ? ? ? π π ? ? ? ? + α 公式六:sin 2 =______,cos 2+α =______. ? ? ? ?

公式四:sin α,-cos α,-tan α

公式五:cos α,sin α
公式六:cos α,-sin α

6kπ+π? ? 练习 1:k∈Z ,cos =________. 3 ? ?
π? 6kπ+π? π 1 ? ? 解析:cos =cos 2kπ+3 =cos = . 3 2 3 ? ? ? ?
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4π 练习 2:sin =________. 3 2π 练习 3:tan?- 3 ?=________. ? ? π 1 练习 4:若 cos α= ,则 sin?2-α?=________. 3 ? ? π 1 ? 练习 5:若 cos α= ,则 sin 2+α?=________. 3 ? ?

π? 4π π 3 ? 2.解析:sin =sin π+3 =-sin =- . 3 3 2 ? ? 2π? π? 2π π ? ? 3.解析:tan - 3 =-tan =-tan π-3 =tan = 3. 3 3 ? ? ? ? π ? 1 ? 4.解析:sin 2-α =cos α= . 3 ? ? π ? 1 ? 5.解析:sin 2+α =cos α= . 3 ? ?
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思考应用 1.你能说出五组诱导公式各自的作用吗? 解析:公式一:利用诱导公式一可把任意角三角函数转化 为0~2π角的三角函数值.

公式二:是π+α与α之间的关系式,若α为锐角时可把0~2π
间第三象限角转化为锐角求值. 公式三:研究角α与-α间关系,常用来把任意角求值转化 为正角求值.

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公式四:研究π-α与α间关系,若α为锐角时可把0~2π 间第二象限角转化为锐角求值.

化.

π 公式五:研究α与 -α间关系,可实现正、余弦相互转 2

π 公式六:研究α与 +α间关系,若α为锐角时,可把 π 2 0~2π间第二象限角 +α转化为锐角求值. 2

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二、诱导公式的理解 1.同名函数诱导公式的理解 先弄清角α与角π-α,π+α,-α,2π-α的终边的位置关 系. 角α与角π-α的终边关于y轴对称;角α与角π+α的终边互 为反向延长线; 角α与角-α的终边α关于x轴对称;角-α与角2π-α的终边 互相重合.

在单位圆中设角α的终边与单位圆的交点为P(x,y),则角π -α,π+α,-α的终边与单位圆的交点依次为P1(-x,y), P2(-x,-y),P3(x,-y).则由正弦线、余弦线、正切线得:
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◆数学?必修4?(配人教A版)◆ sin α=y,sin(π-α)=y,sin(π+α)=-y, sin(-α)=-y,sin(2π-α)=-y, cos α=x,cos(π-α)=-x,cos(π+α)=-x, cos(-α)=x,cos(2π-α)=x. 于是,得到四组诱导公式: 公式一:sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ +α)=cos α,tan(2kπ + α)=tan α,k∈Z; 公式二:sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+ α)=tan α; 公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)= -tan α; 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α) =-tan α. 公式的记忆规律:“函数名不变,符号看象限 ________________________”.
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2.异名函数诱导公式的理解:(与同名函数诱导公式的 理解相同)

π π (1)先弄清α角与 -α, +α角的终边的位置关系. 2 2 π 角α与角 -α的终边关于直线y=x对称. 2



π -α的终边与单位圆的交点为Q(y,x).则由正弦线、余 2
π ? ? x,cos α=x, sin α=y,sin ?2-α= ? π ? cos?2-α? ? =y,

在单位圆中设角α的终边与单位圆的交点为P(x,y),则

弦线、正切线得:

于是,得到诱导公式五: 金品质?高追求 我们让你更放心!

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π π ? ? ? ? sin 2-α =cos α,cos 2-α =sin α. ? ? ? ?

π 对于 +α 角的诱导公式,我们有: 2 π π π ? ? ? ? ? ? ? sin 2+α =sin π- 2-α =sin 2-α?, ? ? ?? ? ? ? ? π ? π π ? ? ? ? ? ? ? cos 2+α =cos π- 2-α =-cos 2-α =-sin α. ? ? ?? ? ? ? ? 从而,得到诱导公式六: π π ? ? ? ? sin 2+α =cos α,cos 2+α =-sin α. ? ? ? ? 公式的记忆规律:“__________________”.
函数名改变,符号看象限 金品质?高追求 我们让你更放心!

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思考应用 2.你能应用诱导公式求证下列各式吗?
?3π-α? (1)sin ? 2 ? =-cos α; 3π (2)cos ? 2 -α? =-sin α , ? ?

你能把诱导公式概括为一个公式吗?

3π π ? ? ? ? 解析: sin 2 -α =sin π+ 2-α?? ? ? ?? ? ? π ? =-sin 2-α?=-cos α, ? ? 3π π ? ? ? ? cos 2 -α =cos π+ 2-α??=-sin α ? ? ?? ? ?
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上面这些诱导公式可以概括为: 对于k· ±α(k∈Z)的个三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不 改变;

π 2

②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;
cos→sin.(奇变偶不变)

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符
号.(符号看象限) 金品质?高追求 我们让你更放心!

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自测自评

1.下列四个命题正确的是( B )
A.sin(-α)=sin α C.sin(-α)=cos α B.cos(-α)=cos α D.cos(-α)=sin α

2.已知

π ? ? cos 2-x -1 ? ? 1+sin?π-x?

=-3,则 sin x=________.

sin x-1 解析:∵ =-3,∴sin x-1=-3-3sin x. 1+sin x 1 解得 sin x=- . 2 1 答案:- 2 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.(2010 年杨家坪中学期中)化简: sin2?α+π?· cos?π+α? 3.化简 . 3 tan?π+α?· cos ?-α-π?· tan?-α-2π?
2

?-sin α? · ?-cos α? 解析:原式= 3 tan α· cos ?π+α?· [-tan?2π+α?] 2 sin α· ?-cos α? = 3 tan α· ?-cos α? · ?-tan α? 2 sin α· cos α = =-1. 3 -tan α· cos α· tan α

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4.试用“诱导公式五、六”求下列各三角函数的值: (1)cos 135°;

2π (2)sin 3

.

解析: (1)cos 135° =cos(90° +45° ) 2 =-sin 45° =- ; 2 π π? 2π π 3 ? (2)sin =sin 2+6 =cos = . 3 6 2 ? ?

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已知角,利用诱导公式求值 求下列三角函数值.
? ;(3)cos(-1650°). (1)cos 1290°;(2)sin ?-16π 3 ? ?

16π 4π 分析:1290° =210° +3×360° ,- =-4π- , 3 3 -1650° =-4×360° -210° .

解析:(1)cos 1290°=cos(210°+3×360°)

=cos 210°=cos(180°+30°)
=-cos 30°=- 3 .

2

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16π? 4π? 16π ? ? (2)sin - 3 =-sin =-sin 4π+ 3 3 ? ? ? ? π? π 3 ? =-sin π+3 =sin = . 3 2 ? ? (3)cos(-1650° )=cos 1650° =cos(4×360° +210° ) 3 =cos 210° =cos(180° +30° )=-cos 30° =- . 2

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跟踪训练

1.求下列各三角函数的值. 17 ? ? (1)sin - 3 π ; ? ? ). (2)cos(-945°

17 ? π? π 3 ? ? 解析: (1)sin - 3 π =sin -6π+3 =sin = ; 3 2 ? ? ? ? +135° )=cos(-3×360° ) (2)cos(-945° =cos 135° =cos(180° -45° ) 2 =-cos 45° =- . 2
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已知角的三角函数值,利用诱导公式求值

已知sin(π+α)=-

1 ,求cos(5π+α)的值. 3

分析:题目提供的主要信息有:已知α角加一个常量的 三角函数值.因此,解答本题:可先利用诱导公式化简再求 值. 1 1 解析:∵sin(π+α)=-sin α=-3,∴sin α=3, 又∵cos(5π+α)=cos(π+α)=-cos α, 当 α 是第一象限角时, 1?2 2 2 2 ? cos α= 1-sin α= 1- 3 = 3 , ? ? 2 2 ∴cos(5π+α)=-cos α=- 3 ; 金品质?高追求 我们让你更放心!

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当 α 是第二象限角时, cos α=- 1-sin α=
2

1?2 2 2 ? 1- 3 =- 3 , ? ?

2 2 ∴cos(5π+α)=-cos α= 3 .
点评:解此类问题的关键在于利用化归的思想探究两
个角之间的关系,再通过诱导公式化简计算.

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跟踪训练 2.已知cos 165°=a,求tan 195°的值.

解析:∵165° +195° =360° ,∴195° =360° -165° , 又∵sin 165° = 1-cos2165° = 1-a2, ∴tan 195° =tan(360° -165° )=-tan 165° 2 1-a sin 165° =-cos 165° =- a .

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利用诱导公式化简

cos?2π-α?cos?3π+α? 化简: . cos?-π+α?cos?3π-α?cos?-α-π?

cos α?-cos α? 1 解析:原式= =cos α. -cos α?-cos α??-cos α?

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跟踪训练

π 11π ? ? ? cos 2+α cos 2 -α? ? ? ? ? 3.化简: . 9π sin?-α-π?sin? 2 -α? ? ?
π π ? ? ? ? cos 2+α sin 6π- 2+α?? ? ? ? ? ?? 解析: 原式= π ? ? -sin?α+π?sin 4π+ 2-α?? ? ? ?? -sin α· ?-cos α? = sin α· cos α =1.

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一级训练

1.cos 690° 的值为( B ) 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.2 1 D.-2

10π? ? 2.cos - 3 的值等于( B ) ? ? 1 A.2 1 B.-2 3 C. 2 3 D.- 2

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1.六组公式都叫做三角函数的诱导公式,诱导公式揭 示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关 系.记忆诱导公式方法:“奇变偶不变(横同竖余)、符号看 象限”.

2.灵活运用公式解题实质体现了由未知转化为已知的
化归思想的运用.角的运算规则:“偶π丢,奇π留”,“负

化正,大化小、化到锐角再查表”.

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