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等比数列的前n项和(1)导学案


5-15 班级

§2.5 等比数列的前 n 项和(1) 姓名

学习目标 1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P55 ~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的前 n 项和公式是什么?

复习 2:已知等比数列中, a3 = 3 , a6 = 81 ,求 a9 , a10 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事: “国王对国际象棋的发明者的奖励”

新知:等比数列的前 n 项和公式 等比数列的前 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,L an L 它的前 n 项和是 Sn = a1 + a2 + a3 + L an ,公比为 q≠0, 公式的推导方法一: 公式的推导方法一: 则?
? Sn = a1 + a1q + a1q 2 + L a1q n ? 2 + a1q n ?1 ? ? qSn = ? ∴ (1 ? q) Sn =

当 q ≠ 1 时, Sn = 或 Sn = 当 q=1 时, Sn = 公式的推导方法二: 公式的推导方法二: 由等比数列的定义, 有

① ②

a a2 a3 = =L = n = q , a1 a2 an ?1

a2 + a3 + L + an S ? a1 = n =q, a1 + a2 + L + an ?1 Sn ? an

1



Sn ? a1 =q. S n ? an

∴ (1 ? q)Sn = a1 ? an q (结论同上) 公式的推导方法三: 公式的推导方法三:
Sn = a1 + a2 + a3 + L an



= a1 + q(a1 + a2 + a3 + L an ?1 ) = a1 + qSn ?1 = a1 + q( Sn ? an ) . (1 ? q) Sn = a1 ? an q (结论同上)
1 2 1 4 1 8

试试:求等比数列 , , ,…的前 8 项的和.

※ 典型例题 例 1 已知 a1=27,a9=
1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

变式: a1 = 3 , a5 = 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

例 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量 增加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个 位)?

2

※ 动手试试 练 1. 等比数列中, a3 = , S3 = ,求a1及q.
3 2 9 2

练 2. 一个球从 100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再 落下,当它第 10 次着地时,共经过的路程是多少?(精确到 1m)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列 方程组可以求出其余的两个. ※ 知识拓展 1. 若 q ≠ ?1 , m ∈ N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 q m . 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a, aq . 若四个同符号的 数成等比数列,可设这四个数为 3. 证明等比数列的方法有:
3

a q

a a , , aq, aq3 . q3 q

(1)定义法:

an +1 (2)中项法: an +12 = an an + 2 . =q; an

4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? ? 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

S1 = a1 表示. ?Sn = Sn ?1 + an (n > 1)

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,…, a n ?1 ,…的前 n 项和为(
1 ? an A. 1? a 1 ? an+2 C. 1? a 1 ? a n +1 B. 1? a

).

D. 以上都不对

2. 等比数列中,已知 a1 + a2 = 20 , a3 + a4 = 40 ,则 a5 + a6 = ( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比 为 2 , 且 a1a2 a3 ? ? ? a30 = 230 , 那 么 a3 a6 a9 ? ? ? a30 = ( ). 10 20 A. 2 B. 2 C. 1 D. 260 4. 等比数列的各项都是正数,若 a1 = 81, a5 = 16 ,则它的前 5 项和为 . n . 5. 等比数列的前 n 项和 Sn = 3 + a ,则 a= 课后作业 1. 等比数列中,已知 a1 = ?1, a4 = 64, 求q及S4 .

2. 在等比数列 {an } 中, a1 + a6 = 33, a2 a5 = 32 ,求 S6 .

4


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