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二项式定理(通项公式)


六、二项式定理
一、指数函数运算
知识点:1.整数指数幂的概念
an ? a ?? a? ? a? ? a(n ? N *) ? ?
n个a
王新敞
奎屯 新疆

a 0 ? 1(a ? 0)

a ?n ?

1 (a ? 0, n ? N *) an

王新敞
奎屯

新疆

2.运算性质: a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Z ) , (a m ) n ? a mn (m, n ? Z ) , (ab) n ? a n ? b n (n ? Z ) 3.注意 ① a ? a 可看作 a ? a
m n m ?n

∴a ?a =a ?a
m n m

?n

=a

m?n
王新敞
奎屯 新疆

a n n ?n ② ( ) 可看作 a ? b b
m

a n ?n a ∴ ( )n = a ? b = n b b

n
王新敞
奎屯 新疆

4、 a n ? 例题:

n

a m (a>0,m,n∈N*,且 n>1)

王新敞
奎屯

新疆

2 1 ? 1 16 ? 3 例 1 求值: 8 3 ,100 2 , ( ) ?3 , ( ) 4 . 4 81 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式:

2 3 3 2 1) a ? a , a ? a , a a (式中 a>0)

王新敞
奎屯

新疆

2) 3 a ? 4 a
2 1 1 1 1

3) a a a
5 1 3

例 3 计算下列各式(式中字母都是正数) (1)(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ); ( 2)( m 4 n 8 ) 8 . 例 4 计算下列各式: (1)
1 1 1

a2 a3 a2
1

(a ? 0); (2)(3 25 ? 125) ? 4 5

例 5 化简: ( x 2 ? y 2 ) ? ( x 4 ? y 4 ) 例 6 已知 x+x =3,求下列各式的值: (1) x ? x
-1

1 2

?

1 2

, (2) x ? x .

3 2

?

3 2

二、二项式知识回顾
1. 二项式定理
0 n 1 n?1 1 k n ?k k n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b , k k n ?k k 以上展开式共 n+1 项,其中 Cn 叫做二项式系数, Tk ?1 ? Cn a b 叫做二项展开式的通项.

(请同学完成下列二项展开式)
0 n 1 n?1 1 k n ?k k n n k n ?k k (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ?? (?1)k Cn a b ? ?? (?1)n Cn b , Tk ?1 ? (?1)k Cn a b 0 1 k k n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? Cn x 0 1 k n?1 (2x ?1)n ? Cn (2x)n ? Cn (2x)n?1 ? ?? Cn (2x)n?k ? ?Cn (2x) ? 1



? an xn ? an?1xn?1 ? ?? an?k xn?k ? ?a1x ? a0
-1-



0 1 n ① 式中分别令 x=1 和 x=-1,则可以得到 Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n ,即二项式系数和等于 2 ;
n

0 2 1 3 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即 Cn ? Cn ?? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1

② 式中令 x=1 则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质
m n?m (1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即 Cn . ? Cn k (2)二项式系数 Cn 增减性与最大值:

当k ?

n ?1 n ?1 时,二项式系数是递增的;当 k ? 时,二项式系数是递减的. 2 2
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值.当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 和 Cn 2 相等,且同时取得最大值.

3.二项展开式的系数 a0,a1,a2,a3,?,an 的性质:f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3??+anxn
⑴ a0+a1+a2+a3??+an=f(1) ⑶ a0+a2+a4+a6??= ⑵ a0-a1+a2-a3??+(-1)nan=f(-1) ⑷ a1+a3+a5+a7??=

f (1) ? f (?1) 2

f (1) ? f (?1) 2

三、经典例题 1、 “ (a ? b) n 展开式
例 1.求 (3 x ? 解:原式= (
1 x ) 4 的展开式;

3x ? 1 x

)4 =

(3x ? 1) 4 1 = 2[ x x2

C (3x) ? C (3x) ? C (3x) ? C (3x) ? C ]
4 3 2 4 4 4 4 4

0

1

2

3

4

= 81x 2 ? 84x ? 【练习 1】求 (3 x ? 2.求展开式中的项 例 2.已知在 ( 3 x ?
1 x ) 4 的展开式

12 1 ? ? 54 x x2

1 2 x
3

)n 的展开式中,第 6 项为常数项.
2

(1) 求 n; (2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 解: (1)通项为 Tr ?1 ? Cn x
r n?r 3 n?2r 1 ?r 1 r (? )r x 3 ? (? )r Cn x 3 2 2

因为第 6 项为常数项,所以 r=5 时,有

n ? 2r =0,即 n=10. 3 10 ? 2 r 1 45 2 (2)令 =2,得 r ? 2 所以所求的系数为 C10 . (? ) 2 ? 3 2 4
(3)根据通项公式,由题意 ?
? 10 ? 2r ?Z 3 ? ? ?0 ? r ? 10, r ? Z
-2-

3k 10 ? 2r ,故 k 可以取 2, 0, ?2 ,即 r 可以取 2,5,8. ? k (k ? Z ) ,则 r ? 5 ? 2 3 1 1 1 2 5 8 所以第 3 项,第 6 项,第 9 项为有理项,它们分别为 C10 (? ) 2 x 2 , C10 (? )5 , C10 (? )8 x ?2 . 2 2 2
令 【练习 2】若 ( x ? 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列.求: 24 x (1)展开式中含 x 的一次幂的项; (2)展开式中所有 x 的有理项. 3.二项展开式中的系数 例 3.已知 ( 3 x ? x2 )2n 的展开式的二项式系数和比 (3x ? 1)n 的展开式的二项式系数和大 992,求 (2 x ? ) 式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项(先看例 9). 解:由题意知, 2
2n

1 x

2n

的展开

? 2n ? 992 ,所以 2n ? 32 ,解得 n=5.
1 x
10 5 5

(1) (1)由二项式系数性质, (2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大. T6 ? C10 (2 x) ( ? ) ? ?8064 .
5

1 x

(2) 设第 r ? 1 项的系数的绝对值最大,

1 r 10 ? 2 r r x (2x)10?r (? ) r ? (?1) r 210? r C10 ?Tr ?1 ? C10 x r r ?1 ?C10 ? 2C10 r 10 ? r r ?1 11? r ?C10 2 ? C10 2 ? 11 ? r ? 2r 8 11 ?? r r ?1 ,即 ? 得 ,解得 ? r ? . ? ? r 10?r 2 C ? C r ?1 9 ? r 10 10 ? 3 3 2( r ? 1) ? 10 ? r C 2 ? C 2 ? 10 ? 10
3 7 4 ? r ? Z ,? r ? 3 ,故系数的绝对值最大的项是第 4 项, T4 ? ?C10 2 x ? ?15360 x4 .

[练习 3]已知 ( x ?
3

2 n ) (n ? N * ) 的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是 10:1. x2

(1)求展开式中含 x 2 的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 例 4. (x ? 1)(x ? 2) 的展开式中, x 项的系数是
2 7
3



解:在展开式中, x 的来源有: ① 第一个因式中取出 x ,则第二个因式必出 x ,其系数为
3 2

3

C (?2)
7 4 7

6

6


4

② 第一个因式中取出 1,则第二个因式中必出 x ,其系数为
6 4

C (?2)

? x 3 的系数应为: C 7 (?2) 6 ? C 7 (?2) 4 ? 1008 ,?填 1008 。
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例 5(04 安徽改编) ( x ?

1 ? 2) 3 的展开式中,常数项是 x



1 ( x ? 1) 2 3 ( x ? 1) 6 解: ( x ? ? 2) 3 ? [ ,该式展开后常数项只有一项 ] ? x x x3
6、求中间项

C

3 6

x 3 (?1) 3 x3

,即 ? 20

-3-

例 6 求( x ?
r

1
3

x

) 10 的展开式的中间项;

解:? Tr ?1 ? C 10 ( x )10 ? r (? 3 1 ) r , ? 展开式的中间项为
x

C

5 10

( x ) (? 3
5

1 x

)

5

即: ? 252x 6 。
n ?1 2 n n ?1

5

当 n 为奇数时, (a ? b) n 的展开式的中间项是 当 n 为偶数时, (a ? b) n 的展开式的中间项是

C
n 2 n

n ?1 2 n n

a

n ?1 2

b

n ?1 2



C

a2b

n ?1 2



C

n

a 2b2 。

7、有理项
例7 ( x?
1
3

x
r 10

) 10 的展开式中有理项共有
10 ? r

项;
4r 3

解:? T ? C ( r )
r ?1

(?

1
3

x

)r ?

C

r 10

(?1) r x

10 ?

? 当 r ? 0,3,6,9 时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有 4 项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式; ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。

8、求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题 例 8(00 上海)在二项式 ( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项的系数是
11



解:?Tr ?1 ?

C

r

11

x1 1?r (?1) r
r

? 要使项的系数最小,则 r 必为奇数,且使 C11 为最大,由此得 r ? 5 ,从而可知最小项的系数


C

5

11

(?1) 5 ? ?462

(2) 一般的系数最大或最小问题 例 9 求( x ?

1 2 x
4

) 8 展开式中系数最大的项;
?Tk ? Tk ?1
r ?1 又 Tr ? C 8 .2 ? r ?1 ,那么有

Tk ? Tk ?1 解:记第 r 项系数为 Tr ,设第 k 项系数最大,则有 ? ?
? ? ? ? ?

C .2 ? C .2 C .2 ? C .2
? k ?1 8 k ?1 8 ? k ?1 k 8 8

k ?1

k ?2

?k ?2 ?k

即? ? ?

8! 8! ? ?2 (k ? 1)!.(9 ? K )! ( K ? 2)!.(10 ? K )! ? 8! 8! ? ?2? ? ( K ? 1)!.(9 ? K )! K!(8 ? K )! ?
5

2 ? 1 ?K ?1 ? K ? 2 ?? 2 1 ? ? ? 9?K K
7

解得 3 ? k ? 4 ,? 系数最大的项为第 3 项 T3 ? 7 x 2 和第 4 项 T4 ? 7 x 2 。 (3) 系数绝对值最大的项 例 10 在( x ? y) 7 的展开式中,系数绝对值最大项是
n


n

解:求系数绝对最大问题都可以将“ (a ? b) ”型转化为 " (a ? b) " 型来处理,
4 3 4 故此答案为第 4 项 C 7 x y ,和第 5 项 ?C 5 x2 y5 。 7

9、利用“赋值法”及二项式性质 3 求部分项系数,二项式系数和
例 11.若 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 的值为
-4-



解: ? (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 令 x ? 1 ,有 (2 ? 3) 4 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 , 令 x ? ?1 ,有 (?2 ? 3) 4 ? (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) 故原式= (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ).[( a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 )] = (2 ? 3) 4 .(?2 ? 3) 4 = (?1) 4 ? 1 【练习 1】若 (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? 2004x 2004 , 则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? ... ? (a0 ? a2004 ) ? ;

解:? (1 ? 2 x) 2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? 2004x 2004 ,令 x ? 1 ,有 (1 ? 2) 2004 ? a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a2004 ? 1 令 x ? 0 ,有 (1 ? 0) 2004 ? a0 ? 1 故原式= (a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a2004 ) ? 2003 a0 = 1 ? 2003 ? 2004 【练习 2】设 (2 x ? 1) 6 ? a6 x 6 ? a5 x 5 ? ... ? a1 x ? a0 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? 解:? Tr ?1 ? ;

C

r 6

(2 x) 6? r (?1) r ? a0 ? a1 ? a2 ? ... ? a6 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6
= (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ) =1

10 利用二项式定理求近似值
例 15.求 0.998 的近似值,使误差小于 0.001 ; 分析:因为 0.998 = (1 ? 0.002) ,故可以用二项式定理展开计算。
6
6

6

解: 0.998 = (1 ? 0.002) = 1 ? 6.(?0.002) ? 15.(?0.002) ? ... ? (?0.002)
6

6

1

2

6

? T3 ? C 6 .(?0.002 ) 2 ? 15 ? (?0.0 0 2 ) 2 ? 0.0 0 0 0 ? 6 0.0 0 1 ,
且第 3 项以后的绝对值都小于 0.001 , ? 从第 3 项起,以后的项都可以忽略不计。

2

? 0.9986 = (1 ? 0.002) 6 ? 1 ? 6 ? (?0.002) = 1 ? 0.012 ? 0.988
n 小结: 由 (1 ? x) ? 1 ?

C

1 n

2 3 n x ? C n x 2 ? ... ? C n x n , 当 x 的绝对值与 1 相比很小且 n 很大时,x , x ,....x n

2

n

等项的绝对值都很小, 因此在精确度允许的范围内可以忽略不计, 因此可以用近似计算公式: (1 ? x) ? 1 ? nx , 在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可 以使用更精确的公式: (1 ? x) ? 1 ? nx ?
n

n(n ? 1) 2 x 。 2

四、课下训练
1、 ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x



答案

?

21 2

-5-


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