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高中数学必修4知识点总结归纳[1]


高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 α 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 α 为第几象限角. 第一象限角的集合为 α k ? 360o < α < k ? 360o + 90o , k ∈ Ζ
o o o o

{ } 第二象限角的集合为 {α k ? 360 + 90 < k ? 360 + 180 , k ∈ Ζ} 第三象限角的集合为 {α k ? 360 + 180 < α < k ? 360 + 270 , k ∈ Ζ} 第四象限角的集合为 {α k ? 360 + 270 < α < k ? 360 + 360 , k ∈ Ζ} 终边在 x 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 , k ∈ Ζ} 终边在 y 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 + 90 , k ∈ Ζ} 终边在坐标轴上的角的集合为 {α α = k ? 90 , k ∈ Ζ} 3、与角 α 终边相同的角的集合为 {β β = k ? 360 + α , k ∈ Ζ}
o o o o o o o o o o o o o

4、已知 α 是第几象限角,确定

α

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 α 原来

( n ∈ Ν ) 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

α

是第几象限对应的标号即为

终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.
l . r

6、 半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l , 则角 α 的弧度数的绝对值是 α =
? 180 ? o ,1 = ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2π = 360 , 1 = ? ≈ 57.3 . 180 ? π ?
o

o

π

o

8、 若扇形的圆心角为 α (α 为弧度制) , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l = r α , C = 2r + l , S = lr = α r 2 . 2 2

9、设 α 是一个任意大小的角,α 的终边上任意一点 Ρ 的坐标是 ( x, y ) ,它与原点 的距离是 r r = x 2 + y 2 > 0 ,则 sin α =

(

)

y x y , cos α = , tan α = ( x ≠ 0 ) . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin α = ΜΡ , cos α = ΟΜ , tan α = ΑΤ . 12、同角三角函数的基本关系: (1) sin 2 α + cos 2 α = 1
sin ( sin α = 1 ? cos α , cos α = 1 ? sin α ) ; ( 2 ) cosα = tan α α
2 2 2 2

y P T O M A x

sin α ? ? sin α = tan α cos α , cos α = tan α ?

? ?. ?

13、三角函数的诱导公式:

(1) sin ( 2kπ + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2kπ + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) . ( 2 ) sin (π + α ) = ? sin α , cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α . ( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α . ( 4 ) sin (π ? α ) = sin α , cos (π ? α ) = ? cos α , tan (π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

( 5 ) sin ? ?

? ?π ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ?2 ? ?2 ? ? ?π ? + α ? = cos α , cos ? + α ? = ? sin α . ?2 ? ?2 ?

π

( 6 ) sin ? ?

π

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y = sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数

y = sin ( x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长(缩
1

短)到原来的

ω

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数

y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐标不
变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 函数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y = sin ω x 的图象;再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左(右)平移 1

ω

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ω

位长度,得到函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所

有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐标不变) 得到函数 ,

y = Α sin (ω x + ? ) 的图象.
函数 y = Α sin ( ω x + ? )( Α > 0, ω > 0 ) 的性质:
①振幅: Α ;②周期: Τ =



ω

;③频率: f =

1 ω = ;④相位:ω x + ? ;⑤初相: Τ 2π

?.
函数 y = Α sin ( ω x + ? ) + Β ,当 x = x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x = x2 时,取得 最大值为 ymax ,则 Α =
数 y = sin x

1 1 Τ ( ymax ? ymin ) , Β = ( ymax + ymin ) , = x2 ? x1 ( x1 < x2 ) . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函 性 质

y = cos x

y = tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?
R

[ ?1,1]
当 x = 2k π +

[ ?1,1]
( k ∈ Ζ)
当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ ) 时,
ymax = 1 ;当 x = 2kπ + π

π
2

时 , ymax = 1 ; 当 最 值
x = 2k π ?

π
2

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .


既无最大值也无最小 值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
2π 周 期 性 奇 奇函数 偶 性 单 π π? ? 调 在 ? 2 kπ ? , 2 k π + ? 2 2? ? 性

π

偶函数

奇函数



[ 2 kπ ? π , 2 kπ ] ( k ∈ Ζ )

π π? ? 在 ? kπ ? , kπ + ? 2 2? ?

上 是 增 函 数 ; 在

( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在 [ 2kπ , 2kπ + π ]
π 3π ? ? ? 2 kπ + 2 , 2 kπ + 2 ? ? ?

( k ∈ Ζ ) 上是增函数.

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对
? ? ? kπ + , 0 ? ( k ∈ Ζ ) 2 ? ?

对 称 对 称 性 π x = kπ + ( k ∈ Ζ ) 2

( kπ , 0 )( k ∈ Ζ )







π

轴 对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )

? kπ ? , 0? (k ∈ Ζ) ? ? 2 ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零 非零向量.零向量与任一向量平行. 非零 相等向量:长度相等且方向相同 方向相同的向量. 方向相同 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ≤ a + b ≤ a + b . ⑷运算性质:①交换律: a +b = b + a ;②结合律: a +b +c = a + b +c ;③

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(r )
r

r

r

(

r

r

)

r r r r r a +0 = 0+a = a .
⑸坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

C

r

r

r

r

r a

r

r

r

r

Α

r b

Β

uuu r 设 Α 、Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) , ΑΒ = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 则
19、向量数乘运算: r r ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 λ a . ①

r r r r uuur uuu uuu a ? b = ΑC ? ΑΒ = ΒC

λa = λ a ;

r

r

②当 λ > 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反;当

r

r

r

r

r r λ = 0 时, λ a = 0 .
⑵运算律:① λ ( ? a ) = ( λ? ) a ;② ( λ + ? ) a = λ a + ? a ;③ λ a + b = λ a + λb . ⑶坐标运算:设 a = ( x, y ) ,则 λ a = λ ( x, y ) = ( λ x, λ y ) . 20、向量共线定理:向量 a a ≠ 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a . 设 a = ( x1 , y1 ) , = ( x2 , y2 ) , b 其中 b ≠ 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 = 0 时, 向量 a 、 b ≠ 0 b 共线.

r

r

r

r

r

(r )
r

r

r

r

r

r r

(

r

)

r

r

r

r

r

r

r

r r r

(

r

)

ur
r

uu r r ur uu r ur uu r

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 λ1 、λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 不共线 (不共线 不共线的向量 e1 、e2 作 为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点,Ρ1 、Ρ 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) , 当 Ρ1Ρ = λ ΡΡ 2 时,点 Ρ 的坐标是 ? 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b = a b cos θ a ≠ 0, b ≠ 0, 0 ≤ θ ≤ 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
o o

uuu r

uuur

? x1 + λ x2 y1 + λ y2 ? , ?. 1+ λ ? ? 1+ λ

r r

r r r

(r

r r

r

)

⑵性质: a 和 b 都是非零向量, 设 则① a ⊥ b ? a ? b = 0 . ②当 a 与 b 同向时, ? b = a b ; a 当 a 与 b 反向时, a ? b = ? a b ; a ? a = a = a 或 a =

r

r

r

r r
r2

r

r

r r

r r

r

r

r r

r r

r r r

r2

r

r r r r r r a ? a .③ a ? b ≤ a b .

⑶运算律:① a ? b = b ? a ;② ( λ a ) ? b = λ a ? b = a ? λ b ;③ a + b ? c = a ? c + b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 . 若 a = ( x, y ) ,则 a = x + y ,或 a =
2 2

r r

r r

r

(r )
r r

r

( )
r

(r )

r r

r r

r r

r

r r

r
r

r2

r

x2 + y 2 .

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 = 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , θ 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r a ?b x1 x2 + y1 y2 cosθ = r r = . 2 2 2 a b x1 + y12 x2 + y2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ;

⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ; ⑷ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) = ⑹ tan (α + β ) =

tan α ? tan β ( tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) ) ; 1 + tan α tan β tan α + tan β ( tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) ) . 1 ? tan α tan β

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2α = 2sin α cos α . ⑵

cos 2α = cos2 α ? sin 2 α = 2cos2 α ?1 = 1 ? 2sin 2 α
1 ? cos 2α ) . 2



cos 2 α =

cos 2α + 1 2



sin 2 α =

⑶ tan 2α =

2 tan α . 1 ? tan 2 α
Α 2 + Β 2 sin (α + ? ) ,其中 tan ? =
Β . Α

26、 Α sin α + Β cos α =


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