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空间直角坐标系4


X

§4.3.1 空间直角坐标系

问题引入
1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示; x 2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?
O M x

直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) 表示. y

y O

M (x,y)

x

x

问题引入
3.空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢? 4. 例如: 怎样确切的表示室内灯泡的位置?

空间直角坐标系
OABC ? D A B C 是单位正方体.以O为原点,分 如图, 别以射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向,以线段OA,OC,OD '
' ' ' '

的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y 轴、z 轴.这时我们 说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz ,其中点O 叫做坐标 原点, x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面.

z
D'

C'

A'

B'

O
A B

C

y

x

空间直角坐标系
右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手 拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如 果中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直 角坐标系.

空间直角坐标系
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴 于点P、Q和R. 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别 是x,y和z,那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x,y,z). z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x,y和z的点P、Q 和R, 分别过P、Q和R各作一个平面,分别垂直 于x 轴、y 轴和z 轴, 这三个平面的唯一交点就是有序实数 组(x,y,z)确定的点M. z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y, z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x 叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的 竖坐标. z
R

M
P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
OABC—A’B’C’D’是单位正方体.以O为原点,分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向,以线段OA,OC, OD’的长为单 位长,建立空间直角坐标系Oxyz.试说出正方体的各个顶点的 坐标.并指出哪些点在坐标轴上,哪些点在坐标平面上.各有 什么特点? z
(0,0,1)

D

'

C

'(0,1,1)

(1,0,1)

A

'

B '(1,1,1)
O(0,0,0) C(0,1,0) y
B(1,1,0)

A (1,0,0)

x

点在空间直角坐标系中的坐标
特点: X轴上的点的坐标是(x,0,0) Y轴上的点的坐标是(y,0,0)

Z轴上的点的坐标是(z,0,0)
xoy平面上的点的坐标是 (x,y,0) yoz平面上的点的坐标是 (0,y,z)

zox平面上的点的坐标是 (x,0,z)
与xoy平面平行的面上的点的坐标是 (x,y,a)

与yoz平面平行的面上的点的坐标是 (a,y,z)

与zox平面平行的面上的点的坐标是 (x,a,z)

(a不等0)

典型例题
例1 如下图,在长方体中

OABC ? D ' A' B 'C ' , | OA |? 3
C'
C y

| OC |? 4

| OD ' |? 2 写出四点D’,C,A’,B’的坐标.
z

D
A'

'

B'
O B
'

x
'

A

解:D 在z 轴上,且 OD ? 2 ,它的竖坐标是2;它的横坐 ' 标x与纵坐标y都是零,所以点 D 的坐标是(0,0,2). 点C 在y 轴上,且 OC ? 4 ,它的纵坐标是4;它的横 坐标x与竖坐标z 都是零,所以点C的坐标是(0,4,0).
'

同理,点 A 的坐标是(3,0,2).

'

典型例题
| OA |? 3 例1 如下图,在长方体OABC ? D ' A' B 'C '中,

,| OC |? 4

| OD ' |? 2 写出四点D’,C,A’,B’的坐标.
z

D
A
'

'

B'
O B

C'
C y

x

A

解:点B’在平面xoy上的射影是B,因此它的横坐标x与 纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y 相同.在xOy平面上,点B 横坐标x=3,纵坐标y=4;点B’在z轴上的射影是D’,它的竖坐 标与点D’的竖坐标相同,点D’的竖坐标z=2. 所以点B’的坐标是(3,4,2).

典型例题
1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中红点代表钠原子,黑点代表氯原子.

典型例题
1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子. 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.

z

O

y

x
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标.

下层的原子全部在xoy平面上,它们 所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), 1 1 ( , ,0). 2 2 x

.

典型例题

z

O

y

中层的原子所在的平面平行于xoy平面,与z轴交点的竖坐 1 标为 2 ,所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2
上层的原子所在的平面平行于xoy平面,与z轴交点的竖坐 标为1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 1 ( , ,1). 2 2

思考:若建立如图所示空间直角坐标系
那么全部钠原子所在位置的坐标不变吗

z

O

y

x

课堂练习 第148页1 2 3
答案 2 C(0,4,0) B`(3,4,3) P(1.5 ,2 ,3) a a a , , ) 3 点Q的坐标是(

2 2 2

补充练习
点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点, 写出满足下列条件的点的坐标:
(1)与M点关于X轴对称的点 (2)与M点关于Y轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (-x,-y,-z) (x,y,-z) (-x,y,z)

(3)与M点关于Z轴对称的点
(4)与M点关于原点对称的点 (5)与M点关于xoy平面对称的点 (6)与M点关于yoz平面对称的点 (7)与M点关于xoz平面对称的点

(x,-y,z)

知识小结

空间直角坐标系

点在空间直角坐标系中的坐标
特点: X轴上的点的坐标是(x,0,0)

Y轴上的点的坐标是(y,0,0)
Z轴上的点的坐标是(z,0,0) xoy平面上的点的坐标是 (x,y,0) yoz平面上的点的坐标是 (0,y,z)

zox平面上的点的坐标是 (x,0,z)
与xoy平面平行的面上的点的坐标是 (x,y,a) 与yoz平面平行的面上的点的坐标是 (a,y,z)

与zox平面平行的面上的点的坐标是 (x,a,z)

作业: 第 151页习题4.3 第2题 例2思考

预习4.3.2 空间两点间的距离公式

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