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正弦定理、余弦定理的证明方法探究


2 2 1 月  01 年 1

西 北成 人教 育 学报 
Ju o mM fl   r w s  ut d c t n o l Not et te h Ad lE u ai     o

NO . V201   2

第  6 期 

N .  o6

正弦定 理 、 弦定理 的证 明方法探究  余
赵 冬 梅 L    z
( 1.西北 师范 大学教育学院 ,甘肃 ( 2.甘肃省庆 阳长庆 中学 , 甘肃   [ 摘 兰州 7 0 7 ) 3 0 0  庆城 7 50 ) 4 10 

要] 正弦定理 、余弦定理 是关 于任意三角形边角之间关系 的两个重要定理 ,它将一个 三角形 的边 和角有机结合起 

来 ,实现 “ ”与 “ 边 角”的互化 。本 文从 多个角度人手 ,运用多种方 法证 明了正弦定理 、余弦定理 ,体现 了数学方法 
的灵活性和多样性 。  

[ 关键词 ]正弦定理 ;余 弦定理 ;证明方法 
[ 中图 分 类 号 ]G 3 .2 63   6 [ 献标 识 码 ]A 文   【 章 编 号 ] 10 .59 (0 2 0 .170   文 0 88 3 .2 1) 60 3 .4





正 弦定理 

当 AAB 为钝  C

角 三角形 时 ,不妨 
设 厶4>9 。 图2  0( ,

( 一)定 理 内容 

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比  
相 等 ,即 
口  


过点A 作与  垂直 

b  
= 一 = 一

c  
 

的单位向量 7 则  , 7   的夹角为 与  

图  2

s A i   n


s B  i n

s C i   n

2 ( 三 角 形 的外 接  R R为
( 二) 定理 证 明  证 法 1 如 图 1 : ,  

A 9。 与 茁 -0,7   的夹角为9。c 0 , 一 
同样 可 证得 
s n  l / t
=  

圆半径 )  。

sn :  ̄ l

_ l /

=  

sn i

_ .  L   。

证法2 :如 图3 AA C , B 为锐 角三 角形 ,过 点 

ZA C 锐 角 三 角 形 , XB 为  

如图1  

作向量动 垂直于  ,则动 与蔚 的夹角为9。A, 0-  

j ; 与百 O— 。 过点作单位向量 7 垂直于 , 7   的夹角为   则 与   百c  的夹角为9oC  由图3 到 , + 看     9。- , 7   的夹角为9。C 0 A 与 0一 。由图1 看到,  

- 蔚 d + : 。在上面 向量等式 的两边 同取与 向量  a = 在 上 面 向量等      7 的数量积运算,得到 7 a +- ?(- C )=7 ,由 式 的 两 边 同 取 与 向 量  - - d g ?    



分配律可得7 + ? )=7 。 ? 7    ?     1 卜-ls 。 l 卜-ls0 G   M c 9 +  l c ( 。一) 7 - o 0 7 C o9 -  ̄ - -  ̄  
?

动 的数量积运 算 ,得 

/  \   .
图3  

到动 .( + ):   蔚   动
?







I 卜 ls 0 - )    ̄ c ( 。 A, o9  

赢 ,由分配律可得动 ? + ? : ? 。 耐 动   动 蔚  
. .


. .

0snC=   iA    i c sn o
0 
C 
一  



I l l s( 。A I I I s0  百 l c 9 - )+  I c 9 。  蔚 o 0 百   o


.  

l l cs 0一 )  百 I 0( 。 c ,   9

一  

一  

。 
‘ . .

口sn c i C。 i A= s n  


同理, 过点c   垂直的单位向量 7 可得  作与 ,

—  

sn,    ̄ z l

_  同 证 _ ! 理可   s n 乙  i
b  

.  


s C —s B ’ i n i n  









c 

口  


b  
= — — = —

c  
—  

s i —s B ’ ’ i A —s B —snC 。 nC i n   ‘sn i n i  





sn   sn iA iB  sn i C 

当 A B 为钝角三角形 时 ,不妨设 厶4 0  A C >9 。
17     3

( ) 图4 ,过点 作 向量 
?


.   ?





C 
一 —————一 o 

————— …

商 垂 直 于  ,则动   与蔚 的夹 角为A 9。 一0 ,  
与赢 的夹 角 为9 。 0 


sn iA  s B  s i n i nC 

证法 6 :如 图7 ,作 AA C _ A 的高B   B  ̄AC = D,
? .

图4  

. :  s  , i A   B
s n  i  

/    夕

C ,同样可 证得 

sn iA  sn i B  sn i C 

:  

:  

。  



=, —  —
BC ,   sn i C 

/ /    /  
————_  

证法3如图5 A C : ,A B 为锐角三角形 ,过点日 作 



BD= Bsn BCsn   A  i A= i C。

向量商 垂gTA , D - 则B 为蔚 在动 方 向上的投影 , - d  
同时肋 为赢 在百 方 向上的投影 。    
‘ . .

. .


c i : sn   s   a iC L : .    _
s  j n

如图7  

?


.  

B IAI s B I cs 0 - = s A, D= c LA D= AI ( 。A)ci   B o B o9 n
c iA=a i C。 sn sn  

B ICc s C D= Cc s 0 - )aiC. D= I   B I I ( 。 C= s   B o B o9 n
‘ . .

同理 可证 . ? .  


snC  sn i i B 

:  
= —

,  
 

a  
— —

b  
= — —

c  



.  
— .

c 
一   。 







 

sn iA  sn i B  sn i C 

证法 7 :如图7 ,作 AA C L C 的高B   B  ̄4 上 D,
同理可 证 nC sn   i B  s   i


?sn   s B  snC 。  i A i n i  



’i sn/AB = if A  C sn   D+ ABD1      
=sn ABDC S CBD+c s/A  i  O  o BDsn CBD  i  AD  BD  BD  CD  AB  BC  AB  BC 

当△ B 为钝角三角形时,可类似证 明。 A c  

B D 

D+ 、 B AC CD   D?  
A8?  C 

AB? 8C 
图5   图6  

AB? iA ? sn AC  AB? BC  C? i   b?i A sM sn  
== 一 = 一  

证 法4 :如 图 6 ,四边 形AB D为 平 行 四 边 形 , C  

设点c 的坐标为  。 ,,点D ,Y ) 的坐标为 ( y     9。 由三角函数的定义及C ,A 可得 : D ̄ B l  
sn B i L AC   = l I     AC
?


日C 

a  



即 .—a = ? — —b .
a   b  

s A s— i   iB, 同理可证   n n
C  

C 
一   ’  

nLB AD

l   ADI  。



四边脱 B D为平行 四边形 , C  
Yl , I  =I , =  2 ADI BCI  I sn BAC=l sn ACli   BCIi   D。  

. ~ n =~n =~ n   .s A  s B  s C  i i i


. .

证法 8 :利用 △AB 的  C


. .

外 接 圆证 明 (I 如 图8  ) , 作 △AB 的 外 接 圆 ,O为  C
圆心 。连结 B 并 延 长交 圆  O 于 D,设 B 2 根 据 直  D= R。

即 I ln 鲋 C lCs (8 。 B ACs   i = In1 0 一 )。 因 此 ,在  B i
△A C ,biA=sn 。 B 中 s n aiB  

.  
— .

b  
一   。 

—  

径所对 圆周 角是直角及 同  
同理可证   , : . , _  _  
sn iB  s i nC 

弧所对圆周角相等 ,可得:  
ABC=9 . 0。 
? . .

图8  

C= D    R。 , . i . snC=2   .
。  

b c  ?  iA    n 一snC   ?sn 一 s B    i i 0

.  




scsD 丝 i =i : R n n 2
s A  i n
=  

证法5 :如图7 作 AA C_ 上的高B   , B  ̄AC _ D,
同理可 证 
?

: R, 2  

. 

C‘ BD=  

c邶

"i A= sn  

c i A。 sn  
? ? ? 

s  i

: R。 2  

u —C 2 l= —:R
。  

同理 可证 :S A 1 s B as C  △     i =ci , n n

s A  sn i n iB  s i nC 

证法 9 :利 用 AAB 的外 接 圆证 明 ( C Ⅱ) 如 图 
l8 3 

9 ,作 A B 的外接 圆 ,0 A C   为 圆心. 半径 为R,分 别  设 连结O A、O B、O C,过点 0   作O D上B C,垂足 为 。  



:  

+  2

. I  

cs   O a+   o(8 m A 10


6一 a c s a    2 b o C+ 2

即 c= 2b_ a cs , 2a+ 22 b oC 

. 

B C Z z8oc  A:
_

同理 可证 


2  

6+ 2 2 c oA .   c- b c s  

?
. .

B0D.   snA B 1 ‘ AC s   B0C =i n  
=  

图9  

b= Z Z a c s   2 c +a-2 c o Bo

证法2 :如 图 l , 作 AA C 1  B 边A 上 的高B   c D,
c  BD
— 一 — — .

口  

a 
. .


— .

在 t B 中 , △A C   B C  B   O= D + D 。   枷
’ . .

面 一  

一 一 。      

() 1   ,  
() 2 

即 

: R。 2  

AA C O' s A   B d i = n
BD= ABsn   iA,

s A  i n

同理 可证  a 2    = R,
S n  1 S n乙   1
?

2   R。
sn i A:  . . . .AD= ABc s   。 A。 A 



=   =   = 2R。 ‘ ‘   sn —sn —sn 一 iA iB iC   。  
. .  



C AC A  C AB oA。 D= - D= - c s  

() 3 

证 法 1:( 余 弦 定 理 证 明正 弦 定 理 ) 在  0 用
△ABC中 
Ⅱ 
— —

将 () () 代人 ()式 可得  2  3 1
B 2( C A cs ) ( s A    C=A - B oA 2 AB i )。   + n
- . .

0 
= 一 =  

BC _ C — AC? 2A 2 2 - ABc s AB c s AB snA . o A+  o Z A+   i 2  
- -



s A 、  i n /
_  

b+   a   2c- 22 2

AC — AC? c s AB 22 AB o A+  


2 b  ac

a b+ 22 coA, Z  c- b cs   =

同理 可证 
b2 c + =    一2 a o B . cc s  

f c6 _ ̄ (b- c 2 + c- 2 cb一  6 z
2 bc a  

C = 2 6. a c s   2 a + 2 2 b o Co .

证 法 3 如 图 1 , 作  : l AAB  ̄ACk的高B   C. _ D,



/  \ \ \  
图 1  1

、 ( c a(+ - ) - + ) + 一 ) /b + ) c a( 6 c( 6 c + b a n   同理 可证 
b  


’ O, ABC c s ( AB   C CS   =o   D+ BD)  

C  
= — — =  

2 bc a  

= O   A  CS BDC S CBD- i O,   sn/A  BDsn/ CBD  i BD  BD  AD  CD  AB  BC AB  BC   

sn i B  snC  i



(+ + 6 c  (— + ) + 一 ) 6 c  (+ 一 0 6 c( 6 c 0  
b   C  
= — —   —

a  




= —

s A s B s C i   i   i   n n n

BD2 AD ? 一 CD  AB? BC 

二 、余弦定理 
( )定 理 内容  一

2  D  2 — AD ? DC  2 AB ? BC  c+ 2b 2a-  

— ●— — - _ - -   _ - __ _ _ - 一  

三角 形任 何一 边 的平方 等 于其他 两边 平方 的和 



2c a 

减去这两边与它们夹角的余弦的积得两倍 。即 


6 +c-2 c o A .   Z b cs  

即 b= 2a 2 coB,同理可 证  2c 2 a es +-


6+ 2 2 c o . c= 2 b _ a c s   2 c- b c  ̄ 2 a+ 2 2 b o C

b -   a - a o B, 2c+ 2 ̄ c s   c = 2 62 a c s   2 a + -2 b o C。

证法4 :如图1 ,作 A B  ̄ C 的高,肋 , 1 A C 上  
‘ . ‘

( 定 理证 明  二)
证法1 :如 图1 , AAB 中 , ? : + , 0 C . ?        
- . . 

A C=   AD+ DC- - ABc M . o 4 - BCc s   o C.

b a c s + ?o A = ?o C c c s  

f1 1  

同理 可证 :  
a b? O C+c? o B  = CS cs C a? o B+ C s - c s b? O A 

.  



( + ) .( + 茁         )
. +    

() 2  

2  +

() 3  
l9 3 

()  一2 X ()   1X6 ()   3 ×c
b_ 2   2 a一c

B 点坐标为( o cs c A,c n ) s A  ̄两点问的距离公  i 式可得 
? .


:n b cs + 。 。oA - b cs + 。 。oB  (‘ 。oC b c cs ) 。 。oC a c cs )
一  

iC= /coA b2(iA2,化 简可得  B lX—cs_ ) c n ) ( — s +
6_ 2 c - b c s   1 b+ :2 c oA , 2

? ?oB b cs   c cs + coA)

?





6 =   a —2 c o B    c+ 2 a c s

同理 可证 
6. 2a-  ̄ c s 2c+ 22 o B.c = E 2 a c s 2 a +b-2 b o C 

同理 可证 
凸_   c- b c s . c= Z b_ a c s   26+ 2 2 c oA 2a+ 2 2 b o C

证法 5 :如 图1 ,以A 2   为坐 标原 点 ,以AC 在  所

证法6 用正弦定理证明余弦定理) A  C :( 在 A   B 中,  
?


-  

:  

_   _   l: |:

直线为  轴建立直角坐标  系. 则A点坐标 为 ( 0,0 , ) 
C 点坐标 为 (,0 ,设  b ) 点坐标 为  ,y 。显 然  )
x AD , y BD  = =


‘ .


a 2 iA 2 i(8 。 + ) 2 i( + , = Rs = Rs 1 0一 C) Rs B     n n = n

a= R s 2 + 24 2 n(   i B

4   iECS + s B iC oB oC cs s   R (n O  2i s cs cs + o2 i s B C n n B n
4 /iE+ i 一 s 2s 2 + s B iC oB oQ  R (nB s C 2 i B i C 2i s cs cs s n n n n n

图 1  2


在 R AAB 中 ,sn   t C   i A:
。 .


.   AB 
,  



4   i B s  + s B iC o(+ ) R (n +i C 2i s c s C) s2 n n n B   ( iB +2 s C — (R iB( iCcs  2 n ) (R i 1 2 s )Rs ) A Rs Z n2 2 n 2 n o
6 + 乙2 c o .  c 6 c   



BD=ABsn , c。  iA  
』 4D: Bc s   A oA



= 

同理 可证 



b=   a- c c s   c= % b— a c s   Zc+ 22 a oB. 2 a   2 b o C
[ 考 文献 ] 参  

[] 人 民教 育出版社 中学数学 室. 日制普通高级中学 ( 1 全 必 
修)数学第一 册 ( 下)教师教学用书【 】北 京 :人 民  M. 教育 出版社 ,20 . 06  

薛金星. 中学教材全解高一数学 ( 下)【 】西安 :陕西  M.
人 民教育出版社 ,2 0 . 05  

高 中数学配套练 习册高一数学 ( 下)【 . M]北京 :北 京 
师范大学 出版社 ,2 0 . 05   王秀英. 角形 边角关系诸定 理的 内在联 系『. 木斯  三 J佳 】 师专学报 ,19 ,( . 97 2  1

[] 人 民教育 出版社课程教材研究所 ,中学数 学课程教材  2
研究 开发 中心. 高中课 程标准实验教科书数 学5 普通 必 

修A版 教 师 教 学 用 书 【 . 京 :人 民教 育 出版 社 , M】北  
2o . 0 7 

张永红 . 弦定 理 、余 弦定 理 的证 明f. 正 J 吕梁高等专 科  J
学校学报 ,2 0 ,f) 0 5 1  .

[] 严士健 . 3 普通高 中课 程标准实验 教科书数学必 修5 师  教
教学用书[ 】北京 :北京师范大学 出版社 ,2 1 . M. 00  

10 4 


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