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(课件1)9.2实际问题与一元一次不等式


1.4 一元一次不等式

想一想
观察下列不等式 (1)2x-2.5≥1.5 (2)x≤8.75 (3)x<4 (4)5+3x>240

这些不等式有哪些共同特点?

一元一次不等式的定义
这些不等式的左右两边都是整式,只含

有一个未知数,并且未知数的最高次数是<

br />1.像这样的不等式,叫做一元一次不等式.

在前几节课中,你列出了哪些一元

一次不等式?试举两例,并与同伴交流.

下列不等式,哪些是一元一次不等式?
(1) 2x-3>1 (4) y≥0 判断条件: (2) 5x+2>5x-3 (5) x+y<1 (3) x2+1<x+2

(6)

1 +x>5 x

1.未知数的个数. 2.未知数的次数. 3.不等式两边都是整式.

想一想
在前面几节课中,你列出了哪些一元一次不等式?
l ? 25 , ? 16 x 10 ? ,? 0.02 ? 100 4
2

l2 ? 100 ,? 4?

4 ? 5.1 . ?

x?5. ?

上述不等式中哪些是一元一次不等式?

下列不等式中,哪些是一元一次不等式? ? (1) 3x+2>x–1 ? (2) 5x+3<0 (3) 1 +3<5x–1 ? (4) x(x–1)<2x ? x

例题解析
例1 解不等式3-x<2x+6并把它的 解集表示在数轴上.
解:两边都加上x,得 合并同类项,得 两边都加上-6,得 3<3x+6 3-6<3x+6-6 解方程的移项 变形对于解不 等式同样适用. 3<2x+6+x

合并同类项,得
两边都除以3,得 即

-3<3x
-1<x x>-1

这个不等式的解集在数轴上表示如下图: -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x?2 7? x 例2解不等式 ? , 并把它的解表示在数轴 。 上 2 3

解:去分母 得3( x ? 2) ? 2(7 ? x)
去括号得 3x ? 6 ? 14 ? 2 x

移项 ? 合并同类项得 5x ? 20 两边都除以5得 x ? 4

这个不等式的解集在数轴上表示如下图
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

例 1 解不等式 3-x<2x+6 , 并把它的解集表示在数轴上. 解: 两边都加上 x , 得
合并同类项 , 得 两边都加上 -6 , 得 合并同类项 , 得

例题解析

3-x +x < 2x+6 +x 3 < 3x + 6 3 -6 < 3x + 6-6

-3 < 3x

在运用 性质3 时 要特别注意: 不等式两边都乘以 或除以同一个负数 时,要改变不等号 的方向.
不等号的方向 是否改变?

两边都除以 3 , 得 -1 < x 即 x > -1 .

x > -1
-2 -1 0
1 2 3 4 5 6

例题解析
例 2 解不等式 解:
去分母 , 得 即 去括号 , 得

, 并把它的解集表示在数轴上.
x?2 7?x ?6 ? ?6 2 3 3(x-2) ≥ 2(7-x)

3x - 6 ≥ 14 - 2x 5x ≥ 20

移项、合并同类项 , 得 两边都除以 3 , 得

x≥4
x≥4

不等号的方向 是否改变?

-2 -1 0

1 2 3 4

5 6

课内检测:
1、解下列不等式 , 并把它们的解集表示在数轴上.

(1)6 - 2x > 0 ;
(2)2(1 - 3x ) > 3x + 20 ; (3)x - 4 ≥ 2(x+2) ; (4) .

答案:
x < 40

(1)

34 35 36 37 38 39 40 41 42 x > -7

(2)

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7

x≤-8

(3) (4)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-1

0

1

2

3

5 x? 7

解一元一次不等式的注意事项
1、在运用 性质3 时 要特别注意:
不等式两边都乘以或除以同一个负数时,要改

变不等号的方向.
2. 要注意区分“大于”、“不大于”、“小于”、

“不小于”等数学语言的使用,并把这些表示不等关
系的语言用数学符号准确的表达出来。 3. 在数轴上表示解集应注意的问题:

方向、空心或实心.

通过上面的解题,你能得出解一元一次不等式 的一般步骤吗?
(1) 去分母:各项都乘以分母的最小公倍数; (2) 去括号:注意符号问题; (3) 移项:移项要变号;

(4)合并同类项:系数相加,字母及字母的指数不变;
(5)系数化为1:不等式两边同除以未知数的系数.(或 同乘以未知数系数的倒数)

注意:第(1)步和第(5)步,不等式两边都乘以(或除 以)同一个负数时,不等号的方向改变.

解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上
(1) 5x<200
x +1 ( 2) - <3 2 x- 1 4 x- 5 ( 4) < 2 3

(3) x-4≥2(x+2)
解(1):x<40 -40 0

解(2):x>-7

40

80

-7

0

7

14
7 5

解(3):x≤-8

解 (4): x >

-16

-8

0

8

-1

0

1

2

试一试
求下列不等式的正整数解
(1) -4x>-12 (2) 3x-9≤0 解: (1)解不等式,得x<3; 因为小于3的正整数有1、2两个,所以-4x>-12 的正 整数解是1、2. (2)解不等式,得x≤3. 因为不在于3的正整数有1、2、3三个, 所以3x-9≤0的正整数解是1、2、3. 解题思路:

先求不等式的解集,再求特殊解.

范例讲解
例1、一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对 一道题得4分,答错或不答一道题扣一分。在这 次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上), 小明至少答对了几道题? 解: 设小明答对了x道题,则答错或不答的共有 (25–x)道,根据题意,得

4 x ? 1? (25 ? x) ? 85
解这个不等式,得 x ? 22

答:小明至少答对了22道题。

新知归纳
列一元一次不等式解应用题的步骤: (1)审:审题,明确题意和题目中的数量关系; (2)设:用字母表示题目中的未知数;

(3)找:找出表示题目全部含义的不等关系;
(4)列:根据不等关系列出一元一次不等式; (5)解:解不等式得解集; (6)验:检验解集是否符合题意,是否符合实际; (7)答:写出答案,包括单位。

巩固练习
1、一组同学在学校门口拍一张合影。已知冲一 张底片需要0.6元,洗一张照片需要0.4元,每人 得到一张照片,每人平均分摊的钱不超过0.5元, 那么参加合影的同学至少有几人?

巩固练习
2、亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复 读机,他现在已存有45元,计划从现在起以后每 个月节省30元,直到他至少有300元.设x个月后 他至少有300元,则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是 ( ) A、30x-45≥300 B、30x+45≥300 C、30x-45≤300 D、30x+45≤300

巩固练习
3、现用甲、乙两种运输车将46t抗旱物资运往灾 区,甲种运输车载重5t,乙种运输车载重4t,安 排车辆不超过10辆,则甲种运输车至少应安排 ( ) A、4辆 B、5辆 C、6辆 D、7辆

范例讲解
例2、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每枝 笔3元,每个笔记本2.2元,她买了2个笔记本,请 你帮她算一算,她还可能买几枝笔? 解:设她还可能买x枝笔,根据题意,得 3x ? 2.2 ? 2 ? 21 16.6 解这个不等式,得 x? 3 ∵x只能取正整数

∴x可以取1、2、3、4、5.
答:她还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔。

巩固练习
4、小明准备用26元买火腿肠和方便面,已知一 根火腿肠2元,一盒方便面3元,他买了5盒方便 面,他还可能买多少跟火腿肠?

列一元一次不等式解应用题的步骤:

(1)审: 审题,明确题意和题目中的数量关系; (2)设: 用字母表示题目中的未知数;
(3)找: 找出表示题目全部含义的不等关系; (4)列: 根据不等关系列出一元一次不等式; (5)解: 解不等式得解集; (6)验: 检验解集是否符合题意,是否符合实际; (7)答: 写出答案,包括单位。

2我市某乡A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些 柑桔运到C、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨; 从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C、D两处的 费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A,B两村 运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元. (1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;
收 运 地 地

C x吨

D

总计 200吨 300吨

A B
总计

240吨

260吨

500吨

(2)讨论A,B两村中,哪个村的运费较少; (3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下, 请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.

3某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍, 每副球拍配x(x≥3)个乒乓球,已知A,B两家超市都 有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售,且每副球拍的 标价都为20元,每个乒乓球的标价都为1元,现两家 超市正在促销,A超市所有商品均打九折(按原价的 90%付费)销售,而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓 球,仅考虑购买球拍和乒乓球的费用,解答下列问题 (1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球, 去A超市还是B超市买更合算? (2)当x=12时,请设计最省钱的购买方案.

步骤 去分母 去括号

具体做法
各项都乘以分母的最 小公倍数 括号外的数乘以括 号内的各项 含有未知数的项和常数 项分别在左边和右边 左边:将未知数的系数相加

注意事项
不要漏乘无分 母的项 不要漏乘括号内的项, 注意去括号法则 移项要变号

移项
合并

认真计算 右边:进行有理数加减运算 两边同除以未知 当系数为负数时,不等 系数化为1 数的系数 号的方向要改变

解下列不等式,并在数轴上表 示解集:
(1) 5(x+3)>4x-1

(2) 2(x+5)≤3(x-5)

(1) 5(x+3)>4x-1 5x+15>4x-1 去括号,得: 解: 移项,得: 5x-4x>-1-15 合并,得: x>-16
解集在数轴上的表示如图
-16 -8 0 8

(2) 2(x+5)≤3(x-5) 2x+10≤3x-15 解: 去括号,得: 移项,得: 2x-3x≤-10-15 合并,得: -x≤-25 注意不等 号的方向 系数化为1,得: x≥ 25
解集在数轴上的表示如图
0 5 10 15 20 25 30

凡在本超市累计购 买50元商品后,再购 买的商品按原价的 95%收费

甲店
凡在本超市累计 购买100元商品后, 再购买的商品按原 价的90%收费

乙店

选择哪家超市购物能获得更大的优惠?

甲店: 凡在本超市累计购
买100元商品后,再购 买的商品按原价的90% 收费

乙店: 凡在本超市累计购
买50元商品后,再购 买的商品按原价的95% 收费

分析:

甲店优惠方案的起点为购物款达到 100 元后; 乙店优惠方案的起点为购物款达到 50 元后。 购物的要求是 能获得更大优惠 。 选择的地方有 甲店或乙店 。 要获得更大优惠主要取决于 购物款的多少 。 分情况 我们可以把购物款划分为三个范围:
0~50元,50~100元,100元以上

讨论

甲店
凡在本超市累计购买 100元商品后,再购买 的商品按原价的90% 收费

乙店
凡在本超市累计购 买50元商品后,再购 买的商品按原价的 95%收费

当购物款分别为40元、80元、140元和160元时, 在甲店应付__元,在乙店应付__元,应如何选择?

当购物款为x元时
100+0.9(x-100) 在甲店付款的表达式为_____________, 50+0.95(x-50) 在乙店付款的表达式为_____________.

设购物款为x(元)
在甲店花费(元) 在乙店花费(元)

比较 一样多

0<x≤50 50<x≤100

X X

X

50+ 0.95 (x-50) 在乙店优惠 (在甲店不优惠) (在乙店优惠) 100+0.9(x-100) 50+ 0.95 (x-50)

x>100

?

思 如果累计购物超过100元,那么在甲店购物花费小吗? 累计购物超过多少元时,在甲店购物花费较小? . . . . 考
分析: 乙店消费>甲店消费
设累计购物x元(x>100),如果在甲 解: 一元一次不等式是我们 店购物花费小,则 50+0.95(x-50)>100+0.9(x-100) 解决这个实际问题的有力 去括号,得:50+0.95x-47.5 > 100+0.9x-90 工具 移项,得:

0.95x-0.9x>100-90-50+47.5 合并,得: 0.05x > 7.5 系数化为1,得: X > 150 ∴累计购物超过150元时在甲店购物花费小。

设购物款为x(元)
在甲店花费(元)在乙店花费(元)

比较

0<x≤50
50<x≤100

x x

x

两店一样

50+ 0.95 (x-50) 乙店优惠

100<x<150 100+0.9 (x-100) 50+ 0.95 (x-50) 乙店优惠

x=150
x >150

145

145

两店一样

100+0.9 (x-100) 50+ 0.95 (x-50) 甲店优惠

实际问题
数学问题

问题中的关键语句

1.根据题意恰当地设置未知数 2.用代数式表示各过程量

(一元一次不等式) 3. 根据不等关系列出不等式

数学问题的解决

解不等式的基本方法

小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每支笔 3元,每个笔记本2元,她买了3个笔记本,请 你帮她算一算,她最多还能买几支笔? 1、据题意恰当地设置未知数 设她还能买x支笔
2、用 代数 式表 示各 过程 量
?每支笔 3 元,买笔花去 3x 元. ?买笔记本花去了 2×3 元.



笔 笔记本 ?钱用在了买______和_________上 .
其数学表达式____________. 3x+ 2×3

不超过21元 ?据题意她买笔和笔记本的总价要求______________. 3x+ 2×3≤21

3、列出不等式
用数学表达式表示为:

两名老师带领若干学生去旅游(游 费统一支付),他们联系了两家报 价都是100元/人的旅行社,甲旅行 社的优惠条件是:两名老师全额付 款,其余的七五折(按报价的 75%);乙旅行社的优惠条件是: 所有的人八折(按报价的80%)收 费,选择哪个旅行社更实惠?

解: 设学生有x人, 则甲旅行社费用为100×2+100×0.75 x = 200+75x 乙旅行社费用为(2+x)×100 ×0.8=160+80x
1)当200+75x>160+80x时,x < 8,即当学 生人数小于8时,选择乙旅行社更实惠 2)当200+75x =160+80x时,x=8,即当学 生人数是8时,选择甲乙旅行社费用一样多 3)当200+75x<160+80x时,x>8,即当学 生人数大于8时,选择甲旅行社更实惠

活动1
问题 我家的电脑要上网,现有两种收费方式:

第一种:2元/小时
第二种:不超过30小时,1.5元/小时;超 过30小时,2.5元/小时
如果我每月上网70小时,我应该选择哪种收费方式? 如果我每月上网60小时,我应该选择哪种收费方式? 如果我每月上网50小时,我应该选择哪种收费方式?

活动2

个人上网的两种收费方式:
第一种:2元/小时

第二种:不超过30小时,1.5元/ 小时;超过30小时部分,2.5元/小时

请你为消费者设计一套最 佳消费方案。

活动3
个人上网的两种收费方式:
第一种:2元/小时 第二种:不超过30小时,1.5元/小时 超过30小时, 2.5元/小时

若每月上网不到60小时,选择第二种收费方式. 若每月上网60小时,选择两种收费方式均可。

若每月上网超过60小时,选择第一种收费方式.

这节课上,我感受最深的是…… 这节课上,我感到最困难的是…… 这节课上,我发现生活中…… 这节课上,我学会了…… …… 学生自己总结,同桌之间交流。

应用一元一次不等式解实际问题的一般步骤: 实际问题
(包含不等关系)

抓关键语句 设未知数,列不等式

数学问题
(一元一次不等式)

去分母 去括号 移项 合并 系数化为1

解不等式

实际问题的 解答

检验

数学问题的解
(不等式的解集)

一.在新乡市收集两种手机 消费方式,帮爸爸(妈妈)选择 一种合适的消费方式.

二.习题9.2(134页)
1.(1)(2) 5.


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