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2011年全国高中数学联赛江苏赛区复赛(一试)参考答案与评分细则


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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一
一、填空题(本题满分?64?分,每小题?8 分)? 1? x? 1.已知集合?M={x||x-1|<3},N={x|(? )? <1,x∈Z},则?M∩N?的子集的个数是 2? 答案:8.? 2.已知函数?f(x)=? x? ,则?f(x)的

值域为 x? +2x+4?
2?







2? 3? 答案:[-? ,1).? 3? 3.在△ABC? 中,已知? AB=2? 3,BC=? 7+1,AC=? 7-1,则? AB? 边上高的长度 为 2? 6? 答案:? .? 5? 4.设? ai∈{0,1,2,…,9},其中? i=1,2,3,4,则排列? a1,a2,a3,a4? 中,至少有 两个?9?相邻的排列的个数为 答案:280.?
2? 2? ?? ?? ?? ?? x? y? 5.已知? A、B、C? 是椭圆? +? =1? 上的三点,点? F(3,0),若 FA + FB + FC =0,则| FA |? 25? 16?





?? ?? +| FB |+| FC |=



48? 答案:? .? 5? 4? ìab,ab≤?a? +4b? ,? 6.设?a、b 为正实数,记?M=í 4? 则?M?的最大值是 4? ,ab>? , a? +4b? ?a? +4b?
2? 2 2? 2 2? 2



答案:1.?
2? 2? 7.已知?a? (b+c)=b? (a+c)=2011?且?a≠b,则?abc=



答案:-2011.? 8.若直线系?C:xcost+(y+1)sint=2?中的三条直线围成正三角形区域?D,则区域?D?的面积 为 .

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Http://www.fhedu.cn? 4? 3? 答案:? 或?12? 3.(得到一个答案给满分)? 3? 二、解答题(本题满分?16?分) 1? 设数列{an}的前? n? 项和为? Sn.如果? a1=? ,an=-5SnSn-1? (n≥2),求数列{an}的通项 2? 公式?an. 解:设 n≥2. 因为?an=Sn-Sn-1,所以 Sn-Sn-1=-5SnSn-1. 先证明?Sn≠0(n≥1). 1? ①S1=a1=? ≠0. 2? ②假设?Sn-1≠0. 如果?Sn=0,则由?Sn-Sn-1=-5SnSn-1?知?Sn-1=0,矛盾. 由归纳法原理,知对一切?n≥1,都有?Sn≠0. 将等式?Sn-Sn-1=-5SnSn-1?两边除以?SnSn-1,得? 1? 1 -? =5, Sn? Sn-1? 1? 所以{? }是首项为?2,公差为?5 的等差数列. Sn? 1? 因此? =2+5(n-1)=5n-3, Sn? 1? 从而?Sn=? ,n≥1. 5n-3? ………………………………12?分 ………………………………9 分 ………………………………6?分 ………………………………2?分

1? 1? 5? 于是?an=Sn-Sn-1=? -? =-? ,n≥2, 5n-3? 5n-8? (5n-3)(5n-8)? 1? n=1, ì? ,? 2? 即?a =í 5? ?-?(5n-3)(5n-8)?,n≥2.
n

………………………………16?分

三、解答题(本题满分?20?分)
2? 2? x? y? 设?M?是椭圆?C:? +? =1?上的一点,P、Q、T?分别为点?M?关于?y?轴、原点、x?轴的 48? 16?

对称点,N?为椭圆?C?上异于?M?的点,且?MN⊥MQ,QN?与?PT?的交点为?E,当?M?沿椭圆?C? 运动时,求动点?E?的轨迹方程. 解:设 M(x1,y1)为椭圆?C?上的任意一点(x1y1≠0) ,N(x2,y2),动点?E?的坐标为(x,y) ,
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Http://www.fhedu.cn? 则?P (-x1,y1),Q?(-x1,-y1),T(x1,-y1). x1?2? y1?2? 所以? +? =1,……①? 48? 16? ①-②,得? (x1-x2)(?x1+x2)? (y1-y2)(?y1+y2)? +? =0. 48? 16? (y1-y2)(?y1+y2)? 1? 1? 所以? =-? ,从而?kMN·kQN=-? . 3? 3? (x1-x2)(?x1+x2)? 因为?MN⊥MQ,所以 kMN·kQM=-1. y1? x1? y1? 又?kQM=? ,所以?kMN=-? ,从而?kQN=? . x1? y1? 3x1? y1? 因此直线 QN?的方程为 y=? (x+x1)-y1. 3x1? y1? 因为直线?PT?的方程为 y=-? x, x1? y ìy=?3x (x+x )-y ,? ìx=?1?x ,? 2? 由í 解得í y 1? ?y=-?x x, ?y=-?2?y ,
1? 1? 1 1 1 1? 1? 1

x2?2? y2?2? +? =1. ……② 48? 16?

…………………………3?分

…………………………8?分

…………………………12?分

所以?x1=2x,y1=-2y.

…………………………16?分

2? 2? x? y? x1?2? y1?2? 因为点(x1,y1)在椭圆?C:? +? =1?上,所以? +? =1, 48? 16? 48? 16? 2? 2? 4x? 4y? x 2 y?2? 所以? +? =1,即? + = 1( xy ? 0)?,此即为所求点?E?的轨迹方程. 48? 16? 12 4?

…………………………20?分 四、解答题(本题满分?20?分)
3? 2? 三次函数?f(x)=x? +ax? +bx+c?的图像如图所示,直线? BD∥AC,且直线 BD 与函数?f(x)?

的图像切于点?B、交于点?D,直线 AC?与函数?f(x)的图像切于?C、交于点?A.设?xA,xB,xC,? xD?分别为点 A、B、C、D?的横坐标,求证:(xA-xB)∶?xB-xC)∶?xC-xD)=1∶2∶1? (? (? .? D?

y? B?

O?
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x

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解:设函数?f(x)在点?B(xB,f(xB))的展开式为?
3? 2? f(x)=(x-xB)? +a1(x-xB)? +b1(x-xB)+f(xB), 2? 则? f′(x)=3(x-xB)? +2a1(x-xB)+b1,



所以?f′(xB)=b1, 所以切线?BD?的方程为? y=b1(x-xB)+f(xB). ②

…………………………4?分

由①、②解得?x=xB,或?x=xB-a1,所以 xD=xB-a1.………………………8?分 又设函数?f(x)在点?C(xC,f(xC))的展开式为?
3? 2? f(x)=(x-xC)? +a2(x-xC)? +b2(x-xC)+f(xC), 2? 则?f′(x)=3(x-xC)? +2a2(x-xC)+b2,

所以?f′(xC)=b2,xA=xC-a2. 又因?BD∥AC,所以?f′(xB)=f′?(xC)=b1=b2,
2? 所以?3(xC-xB)? +2a1(xC-xB)=0.

…………………………12?分

2? 又?xC≠xB,故有?3(xC-xB)+2a1=0,即 xC=xB-? a1. 3? 2? 同理,xB=xC-? a2,所以?a1=-a2. 3? 2? 1? 所以?xA-xB=xC-a2-xB=xB-? a1+a1-xB=? a1, 3? 3? 2? 1? 又?xD=xB-a1,xC=xB-? a1,所以?xC-xD=? a1. 3? 3? 综上所述得:(xA-xB)∶?xB-xC)∶?xC-xD)=1∶2∶1? (? (? .………………………20?分 …………………………16?分

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