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椭圆定义及其标准方程



椭圆及其标准方程

问题的提出:
若将一根细绳两端分开并且固定在平面 内的 F1、F2两点,当绳长大于F1和F2的距离 时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在平面内 慢慢移动,问笔尖画出的图形是什么呢?

椭圆的定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离 之和等于常数(大于|F1F2|)的点 y 的轨迹叫做椭圆。 M ( x, y )
? ?

这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

F1

O

F2

x

y

标准方程的推导:
取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的 垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
F1

M ( x, y )
O
F2

x

设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、 F2的距离的和等于常数2a,则F1(-c,0)、F2(c,0)。 MF1 ? MF2 ? 2a 由定义知:
? MF1 ?

(x ? c )2 ? y 2

MF2 ?

(x - c )2 ? y 2
? 2a
2

?

(x ? c )2 ? y 2 ? (x - c )2 ? y 2
2

将方程移项后平方得:

(x ? c )

? y ? 4a - 4a
2 2

(x - c )

2

? y ? (x - c ) ? y 2
2

a 2 - cx ? a

(x - c )2 ? y 2
2

两边再平方得:

a4 - 2a2cx ? c2 x2 ? a2 x2 - 2a2cx ? a2c2 ? a2 y 2

(a

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

y

标准方程的推导:

M ( x, y )
F1

(a

2

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

O

2 2 2 a ? 2 c , 即 a ? c , a c ?0 由椭圆定义知:

F2

x

设a 2 - c2 ? b2 (b ? 0) 得 :
b2 x2 ? a 2 y 2 ? a2b2
x2 y2 ? 2 ?1 两边同除以 a b 得: 2 a b 这个方程叫做椭圆的标准方程,
2 2

(a ? b ? 0)

它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上,用类似的方法,可得出它 的方程为: y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b 它也是椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程
y
M

y
F2
F
M

F

1

o

2

x

o
F1

x

x y ( ) ? ? 1 a ? b ? 0 2 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

快速练习:判定下列椭圆的
焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。
x y (1) ? ? 1 答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0) 25 16
x y (2) ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则: 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.

x

例1: 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的
点到两个焦点的距离之和为10, 求:该椭圆的标准 方程 .
解:

? 2a ? 10,2c ? 8, ? a ? 5, c ? 4.
2 2 2

?b ? a - c ? 5 - 4 ? 9
2 2

因为椭圆的焦点在x轴上,所以它 的标准方程为:

求椭圆的标准方程的关键:

1.确定焦点在那条轴上。 2.求出a,b的值。

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
x y (1) ? 5 4
2 2

?1

解:因为5>4,所以椭圆的焦 2 2 点在x轴上,并且 a ? 5, b ? 4 故: c ? a - b ? 1, c ? 1,2c ? 2
2 2 2

所以椭圆的焦点为: F1 (-1,0), F2 (1,0) 焦距为2.

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
(2) 2 x 2 ? y 2 ? 16
解:将方程化成标准方程为:
c 2 ? a 2 - b2 ? 8

x2 y2 ? ?1 8 16

因为:16>8,所以椭圆的焦点在y轴上,并且
a 2 ? 16, b2 ? 8, 故 c 2 ? a 2 - b 2 ? 8, c ? 2 2,2c ? 4 2

所以椭圆的焦点为: F1 (0 - 2 焦距为: 4 2 .

2 ), F2 (0,2 2 )

分组练习:求椭圆的焦点坐标与焦距
x y 答:焦点(-3,0)(3,0) (1) ? ?1 焦距 2c=6 15 6
x y 答:焦点(0,-12)(0,12) (2) ? ?1 25 169 焦距 2c=24
2 2

2

2

练习2:
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a ? 4, b ? 1 ,焦点在x轴上; (2)a ? 4, c ? 15 ,焦点在y轴上;

答 案:

x2 y2 y2 x2 (1). ? ? 1 (2) ? ?1 16 1 16 1

小 结:

y
M ( x, y )
F1

y
F
1 M

O

F2

x

o
F
2

x

1、椭圆的定义. 2、字母a,b,c之间的大小关系. 3、在求椭圆方程的关键是什么?

六、布置作业:
1).P96 习题8.1:1、2、3、 2)预习:p94例2,p95例3


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