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华师一2011届高三第一轮复习教案(第十一章)第4讲--06年各地模拟题分类(概率)


1.一个电子元件,出厂前要进行五项指标检查,如果至少有两项指标不合格,则这个元件不能出厂,已 知每项指标是否合格是相互独立的,且每项检查出现不合格的概率都是 . (1)求这个电子元件不能出厂的概率; (2)某个这种元件直到五项指标全部检查完,才能确定该元件是否可以出厂. 求这种情况的概率. 解:将各项指标合格分别记作 A1,A2,A3,A4,A5,则 P( An ) ?

1 5

1 ; (n ? 1,2,3,4,5) 5

(1)由于“至少有两项指标不合格”,与“至多 1 项指标不合格”对立,故这个电子元件不能出厂的概率 为: P ? 1 ? ( ) ? C 5 ( ) ? ( ) ? 1
5 4 4

4 5

4 5

1 5

821 . 3125
1

(2)直到五项指标全部检查完才能确定该元件是否出厂,表明前 4 项检验中恰有 1 项检验不合格. 故 直到五项指标全部检查完才能确定该元件是否出厂的概率为: P2 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ?
3

1 5

4 5

256 . 625

2.已知正四面体 A—BCD,有一只小虫自顶点 A 沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点 B、C、D, 然后又从 B、C、D 中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到其它三个顶点,依次进行下去,记 Pn 为 第 n 次到顶点 A 的概率,其中 P1=1. (1)求 P3; 解: (1)显然 P3 ? (2)求 Pn 的通项公式.

1 。 3

(2)由于第 n 次到顶点 A 是从 B,C,D 三个顶点爬行而来,从其中任何一个顶点到达 A 的概率都是

1 1 , 而第 n-1 次在顶点 A 与小虫在 B, D 是对立事件.因此, n 次到顶点 A 的概率为 Pn ? (1 ? Pn ?1 ) , C, 第 3 3 1 1 1 1 1 3 1 即 Pn ? ? ( Pn ?1 ? ) 。 ? P1 ? 1,? {Pn ? } 是 以 P1 ? ? 为 首 项 , 公 比 为 ? 的 等 比 数 列 , 4 3 4 4 4 4 3 3 1 1 ? Pn ? (? ) n ?1 ? (n ? 2, n ? N ) 。 4 3 4
3.某工厂一天出废品的概率为 0.2,在 4 天生产中: (1)求最多有一天出废品的概率; (2)求只有一天出废品,且第一天没出废品的概率.
1 解: (1)最多有一天出废品的概率是 P ? (1 ? 0.2) 4 ? C4 ? 0.2 ? (1 ? 0.2) 3 ? 0.8192。

1 (2)只有一天出废品,且第一天没出废品的概率是 P ? C3 ? 0.2 ? (1 ? 0.2) 3 ? 0.3072。

4.设点 P 位于数轴的原点处,今掷一均匀正方体的骰子,若出现偶数点,则点 P 向右进 2,若出现奇数 点,则点 P 向左进 1,如此连续进行 10 次. (1)当 10 次中有 r 次出现偶数时,P 所在位置的坐标是多少? (2)求点 P 最后落在坐标为-4 的位置上的概率; (3)求点 P 最后落在原点上的概率? 解: (1)由于向右进 2r,向左进(10-r)×1,于是 P 点的坐标为 2r-(10-r)=3r-10.
YCY

(2)设有 r 次出现偶数,由(1)可知 3r-10=-4,则 r=2.又出现偶数点的概率等于 1 ,故 10 次中 2
2 有 2 次出现偶数点,所以 P ? C10 ( 1 ) 2 ( 1 ) 8 ? 45 . 2 2 1024

1

(3)设有 r 次出现偶数点,按题意有 3r ? 10 ? 0, r ? 10 . ∵r 不是整数值,这就是说,P 落在原点是不
3

可能事件. 因此 P=0. 5.加工某种零件需要经过四道工序,已知一、二、三、四道工序的合格率分别为

9 8 7 6 、 、 、 ,且各道工 10 9 8 7

序互不影响. (1)求该种零件的合格率; (2)从加工好的零件中任取 3 件,求至少取到 2 件合格品的概率; (3)假设某人依次抽取 4 件加工好的零件检查,求恰好连续 2 次抽到合格品的概率。 (用最简分数表 示结果)

9 8 7 6 3 ? ? ? ? ; 10 9 8 7 5 3 2 (2)该种零件的合格率为 ,则不合格率为 ,从加工好的零件中任意取 3 个,至少取到 2 件合格品 5 5 81 2 3 2 2 3 3 3 的概率 P2 ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ? ; 5 5 5 125 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 216 (3)恰好连续 2 次抽到合格品的概率 P ? ( ) ? ?1 ? ( ) ? ( ) ? ? 1? ? ( ) ? 。 3 5 5 5 5 5 5 5 625
解: (1)该种零件合格率为 P ? 1 6.某篮球选手每次投篮命中的概率为 0.4,各次投篮间相互独立,令此选手投篮 n 次的命中率为 an (an 为 进球数与 n 之比),试分别求以下情况发生的概率(用分数作答) (1)a6=0.5; (2)a6=0.5, an≤0.5 (n=1,2,3,4,5)。 解: (1)前 6 次中 3 次投中,3 次不投中的概率为 P1= C 6 0.4 ? 0.6 ?
3 3 3

864 。 3125

(2)a1≤0.5,第一次不能投中;a2≤0.5,如果第二次投不中,则第 3、4、5 三次要命中二次,第 6 次
1 必中,概率为 C3 0.63 ? 0.43 ;如果第二次投中,则第 3 次不能投中,第 4、5 两次要投中一次,第 6 次必

216 。 3125 7.如图是一个方格迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的 A 、 B 两处,现以每分钟一格的速度同时出发,在 1 每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。若甲向东、向西行走的概率均为 ,向南、向北行走 4 1 的概率分别为 和 p ,乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为 q . 3 (1)求 p 和 q 的值;
1 中,其概率为 C2 0.63 ? 0.43 。故概率为 5×0.63×0.43=

(2)设至少经过 t 分钟,甲、乙两人能首次相遇,试确定 t 的值,并求 t 分钟时, 甲、乙两人相遇的概率. 解: (1)?

1 1 1 1 1 ? ? ? p ? 1,? p ? ,? 4q ? 1,? q ? . 。 4 4 3 6 4

(2)t=2 甲、乙两人可以相遇(如图,在 C、D、E 三处相遇) 。设在 C、D、E 三处相遇的概率分别为 PC、PD、PE,则:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;PD= 2( ? ) ? 2( ? ) ? ; 6 6 4 4 576 6 4 4 4 96 1 1 1 1 1 37 37 PE= ( ? ) ? ( ? ) ? 。∴PC+PD+PE= ,即所求的概率为 。 4 4 4 4 256 2304 2304
P C= ( ? ) ? ( ? ) ?
2

n2 8.袋内装有 35 个球,每个球上都记有从 1 到 35 的一个号码,设号码 n 的球重 ? 5n ? 15 克,这些球 2
以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响). (1)如果任意取出 1 球,试求其重量大于号码数的概率; (2)如果任意取出 2 球,试求它们重量相等的概率. 解: (1) 由

n2 ? 5n ? 15 ? n, 可得n 2 ? 18n ? 45 ? 0 , n ? 6 ? 6或n ? 6 ? 6. 又 n ? N ? , n 可 ? ? 2
30 6 ? . 35 7

取 1,2,3,9,10,11,12,13,14,15,16,17,…35 共 30 个数,则 P ? 1

2 2 n12 n2 n12 n2 ? 5n1 ? 15 ? ? 5n2 ? 15, 得 ? ? 5n1 ? 5n2 . ? n1 ? n2 ,? n1 ? n2 ? 10. 从而满足 (2)由 2 2 2 2

条件的球有(1,9)(2,8)(3,7)(4,6)共 4 对球重量相等,且与顺序无关.? P2 ? , , ,

4 4 ? . 2 C35 595

9.一台仪器每启动一次都随机地出现一个 10 位的二进制数 A ? a1a2 a3 ?a10 ,其中 A 的各位数字中,

1 2 a1 ? 1 , ak (k ? 2,3,?,10) 出现 0 的概率为 ,出现 1 的概率为 ,例如: A ? 1001110001 , 3 3
其中 a2 ? a3 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a1 ? a4 ? a5 ? a6 ? a10 ? 1,记 S ? a1 ? a2 ? a3 ?? ? a10 。当启动仪器 一次时, (1)求 S ? 3 的概率; (2)求 S ? 5 ,且有且仅有 3 个 1 连排在一起的概率。

1 7 16 ; 3 37 2 4 1 5 2 4 1 5 640 2 2 (2) P ? (C6 ? A5 ? 5)( ) ( ) ? 40 ? ( ) ( ) ? 9 。 3 3 3 3 3
解: (1) P ? C9 ( ) ( ) ?
2 2

2 3

10.下面是玩掷骰子放球游戏,若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中放一球;若掷出 4 点、5 点或 6 点,丙盒中放一球。设掷 n 次后,甲、乙、丙各盒内的球数分别为 x、y、z. (1)当 n=3 时,求 x,y,z 成等差数列的概率; (2)当 n=6 时,求 x,y,z 成等比数列的概率。

?x ? 0 ?x ? y ? z ? 3 ? 解: (1)由 n=3, ? ? y ? 1 ,? x, z ? N ? ,∴ ① ? y ? 1 ?x ? z ? 2 y ?x ? 2 ?

?x ? 1 ? 或 ② ?y ? 1 或 ?z ? 1 ?

?x ? 2 1 2 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 ③ ? y ? 1 。 当①时: P ? C 3 ( ) ? ( ) ? ;当②时: P2 ? C 3 ( ) ? ( )( ) ? ; 1 3 2 4 3 3 2 6 ?z ? 0 ?
当③时: P3 ? C 3 ( ) ( ) ?
2 2

1 4 。 又由①②③情况互斥,故 P=P1+P2+P3= 。 36 9 1 2 2 1 1 2 5 2 2 2 (2)由 y ? x ? z. ? x ? y ? z ? 2 。此时 P ? C 6 ( ) C 4 ( ) ? C 2 ( ) ? 。 6 3 2 72
3

1 6

1 3

11. 有一批食品出厂前, 要进行 4 项指标抽检. 如果至少有 2 项指标不合格, 那么这批食品就不能出厂. 已 知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是

1 . 4

(1)求这批食品不能出厂的概率; (2)求直到 4 项指标全部检验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率.(用分数做答)

67 3 3 2 1 3 1 4 1 解: (1) C4 ( ) 2 ( ) 2 ? C4 ( ) 3 ( )1 ? C4 ? ? ? ; ? ?

4

4

4

4

4

?4?

256

? 1 ?? 3 ? 9 (2)能出厂概率为; C ? ?? ? = 。 ? 4 ?? 4 ? 64
1 3

2

12.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球单打对抗赛,比赛规则是: 先胜两盘的队获胜,比赛结束,已知每盘比赛双方胜出的概率均为 (I)高三(1)班代表队连胜两盘的概率; (II)高三(1)班代表队至少胜一盘的概率. 解: (I)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为:① 第一盘和第二盘胜,此时概率为 ② 第一盘负,其余两盘胜,此时概率为

1 ,求: 2

1 1 1 ? ? ; 2 2 4

1 1 1 1 ? ? ? ;∴高三(1)班代表队连胜两盘的概率为 2 2 2 8

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8
(II)高三(1)班至少胜一盘,分为:① 胜一盘,此时概率为: ② 胜两盘,此时的概率为:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 。 ∴高三(1)班至少胜一盘的概率为 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 3 ? ? . 4 2 4
或:高三(1)班代表队至少胜一盘的对立事件为输掉前两盘,∴所求概率为: 1 ?

1 1 3 ? ? 。 2 2 4

13. 如图,一辆车要直行通过某十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车前面已有 4 辆车依次在同一 车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶). 已知每辆车直行的概率 是

2 1 ,左转行驶的概率是 ,该路口红绿灯转换间隔时间均为 3 3

1 分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要 10 秒钟, 一辆左转的车驶出停车线需要 20 秒钟,求: (1)前 4 辆车恰有 2 辆车左转行驶的概率; (2)该车在第一次绿灯这亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口) 解: (1)前 4 辆恰有 2 辆左转行驶的概率 P1 ? C 42 ( 2 ) 2 ? ( 1 ) 2 ? 8 。
3 3 27

(2)该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口的概率 P2 ? C 4 ( ) ? C 4 ( ) ?
4 4 3 3

2 3

2 3

1 16 ? 。 3 27

4


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