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2010年全国高中数学联赛模拟题2


2010 年全国高中数学联赛模拟题 2
一试
考试时间上午 8:00~9:20,共 80 分钟,满分 120 分 小题, 把答案填在横线上. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 填空题: 把答案填在横线上 1.方程 log π x + sin x = 2 在区间 (0,
2

π

2

] 上的实根个数为_________________.

2.设数列 ?8 × ( ? ) n?1 ? 的前 n 项和为 Sn ,则满足不等式 | S n ? 6 |< _________________.

? ?

1 3

? ?

1 的最小整数 n 是 125

? π? 内任意实数,则函 ? 2? ? 数 f ( x1 , x2 ,? , xn ) = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + ? + sin xn cos x1 的 最 大 值 等 于
3.已知 n ( n ∈ N , n ≥ 2 )是常数,且 x1 , x2 , ? , xn 是区间 ? 0, _________________. 4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在 圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________. 6. 设 O 是 平 面 上 一 个 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? λ

AC AB = OA + λ ,其中 λ ∈ [0, +∞ ) ,则点 P 的轨迹为_________________. | AC | | AB |

7.对给定的整数 m ,符号 ? ( m) 表示 {1, 2,3} 中使 m + ? ( m) 能被 3 整除的唯一值,那么

? (22010 ? 1) + ? (22010 ? 2) + ? (22010 ? 3) = _________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边 a , b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体 的体积依次为 Va , Vb , Vc ,则 Va + Vb 与 (2Vc ) 的大小关系是_________________.
2 2 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分 16 分)是否存在实数 a ,使直线 y = ax + 1 和双曲线 3 x 2 ? y 2 = 1 相交于两 点 A 、 B ,且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点?

2. 本小题满分 20 分) ( 求证: 不存在这样的函数 f : Z → {1, 2,3} , 满足对任意的整数 x ,y , 若 | x ? y |∈ {2,3,5} ,则 f ( x ) ≠ f ( y ) .

3. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 非 负 实 数 a , b , c 满 足 a + b + c = 1 , 求 证 :

1 9abc ≤ ab + bc + ca ≤ (1 + 9abc) 4

2010 年全国高中数学联赛模拟题 2
(加试) 加试)
9:40~12:10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、设函数 f(x)的定义域为 R,当 x<0 时,f(x)>1,且对任意的实数 x,y∈R,有 f (x+y)=f(x)f(y) (Ⅰ)求 f(0) ,判断并证明函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)数列{an}满足 a1=f(0) ,且 f ( a n +1 ) = ①求{an}通项公式。 ②当 a>1 时, 不等式

1 (n ∈ N * ) f ( ?2 ? a n )

1 a n +1

+

1 an+2

+ ... +

1 12 > (log a +1 x ? log a x + 1) 对不小于 2 的 a 2 n 35

正整数恒成立,求 x 的取值范围。

2010 年全国高中数学联赛模拟题 2
一试 参考答案 一、填空题 1.设 f ( x) = log π x + sin x ? 2 ,则 f ′( x ) =
2

1 x ln

π
2

+ cos x ,∵ 0 < x ≤

π
2

,∴ 0 ≤ cos x < 1 ,

又 0 < ln 间 (0,

π

π
2

< 1 ,∴ f ′( x) > 0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增,故方程 log π x + sin x = 2 在区 2 2 2

π

] 上有且只有一个实根.

2. 易 知 数 列 ?8 × ( ? ) n?1 ? 是 首 项 是 8 , 公 比 是 ?

? ?

1 3

? ?

1 的 等 比 数 列 , ∴ 3

1 8[1 ? (? ) n ] 3 = 6 ? 6(? 1 ) n , 于 是 | S ? 6 |< 1 ? 2 < 1 ? 3n ?1 > 250 , ∵ Sn = n 1 3 125 3n ?1 125 1 ? (? ) 3 5 3 = 243 < 250 , 36 = 729 > 250 ,故最小整数 n 是 7. a2 + b2 3.∵ ab ≤ , 2 ∴ f ( x1 , x2 ,? , xn ) = sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + ? + sin xn cos x1 sin 2 xn + cos 2 x1 sin 2 x1 + cos 2 x2 sin 2 x2 + cos 2 x3 ≤ + +?+ 2 2 2

(sin 2 x1 + cos 2 x1 ) + (sin 2 x2 + cos 2 x2 ) + ? + (sin 2 xn + cos 2 xn ) n = = , 2 2 n 故所求函数的最大值等于 . 2
4. 圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的 个数与每两条弦的交点数相等,故有 C10 =
4

10 × 9 × 8 × 7 = 210 个交点. 1× 2 × 3 × 4

5.

2n + 2(?1)n , 设第 k 次到达点 A、点 B、点 C 分别为事件 Ak、Bk、Ck, k=1,2,3,...,n, 从点 3 ? 2n

B 到点 A 为事件 D, 从点 C 到点 A 为事件 E, 则 An=Bn-1*D+Cn-1*E, 则(顺便说明一下:A 是出发点)

6. ∵ OP ? λ 即 AP = λ (

AC AB AB AC = OA + λ ,∴ OP ? OA = +λ ( + ), | AC | | AB | | AB | | AC |

AB AC AB AC + ) ,又 , 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则, | AB | | AC | | AB | | AC | 知点 P 的轨迹为 ∠BAC 的平分线. 7.由二项式定理知, 22010 = 41005 = (3 + 1)1005 = 3 p + 1 ,即 22010 被 3 除余 1,
∴ ? (22010 ? 1) = 3 , ? (22010 ? 2) = 1 ? (22010 ? 3) = 2 , 故 ? (22010 ? 1) + ? (2 2010 ? 2) + ? (2 2010 ? 3) = 6 . 8. ∵ Va + Vb = (
2 2

b 2 a ) 2 + ( a 2b ) 2 = a 2b 2 ( a 2 + b 2 ) = a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 2 2 4 4 π 4π ab 4 2 4π a b (2Vc ) 2 = (2 ? h 2 (a′ + b′)) 2 = ( ) c = ? 2 , 3 9 c 9 c 2 2 4 2 2 2 2 V + Vb c (a + b ) (2ab) ∴作商,有 a = 2 2 = ≥ = 1 ,故 Va 2 + Vb 2 ≥ (2Vc ) 2 . 2 2 2 2 2 (2Vc ) 4a b 4a b 4a b

π

π

π2

π2

二、解答题 9.解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,由 ?

? y = ax + 1

2 2 ?3x ? y = 1

消去 y ,得

(3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 = 0 ,
由韦达定理,得 x1 + x2 =

2a , ① 3 ? a2

?2 , ② 3 ? a2 ∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ⊥ OB , ∴ x1 x2 + y1 y2 = 0 , x1 x2 =
即 x1 x2 + ( ax1 + 1)( ax2 + 1) = 0 ,整理,得 ( a + 1) x1 x2 + a ( x1 + x2 ) + 1 = 0
2



1 ? a2 = 0 ,∴ a = ±1 , 3 ? a2 经检验, a = ±1 确实满足题目条件,故存在实数 a 满足题目条件. 10.证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f ( n) = a , f ( n + 5) = b ,其中
将①②代入③,并化简得

a, b ∈ {1, 2,3} ,由条件知 a ≠ b . 由 于 | ( n + 5) ? ( n + 2) |= 3 , | n ? ( n + 2) |= 2 , ∴ f (n + 2) ≠ a 且 f ( n + 2) ≠ b , 即

f (n + 2) 是 {1, 2,3} 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f (n + 2) = c 又由于 | ( n + 5) ? ( n + 3) |= 2 , | n ? ( n + 3) |= 3 ,∴ f ( n + 3) = f ( n + 2) . 以 n + 1 代替 n , f ( n + 4) = f ( n + 3) = f ( n + 2) , 得 但这与 | ( n + 4) ? ( n + 2) |= 2 矛盾! 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f .

11.证明:先证左边的不等式. ∵ a + b + c = 1, ∴ ab + bc + ca = ( ab + bc + ca )( a + b + c ) = a 2b + ab 2 + b 2 c + bc 2 + a 2 c + ac 2 + 3abc

≥ 6abc + 3abc = 9abc
或者 ab + bc + ca = abc ( +

1 a

1 1 1 1 1 + ) ,只证 + + ≥ 9 用排序或者 1 的代换易证。 b c a b c

再证右边的不等式. 不妨设 a ≥ b ≥ c ,注意到条件 a + b + c = 1 ,得

1 ? 4(ab + bc + ca ) + 9abc = (a + b + c)3 ? 4(a + b + c)(ab + bc + ca ) + 9abc = a (a ? b)(a ? c) + b(b ? a )(b ? c) + c(c ? a )(c ? b) = (a ? b)[a (a ? c) ? b(b ? c)] + c(c ? a )(c ? b) ≥ 0 , 1 所以 ab + bc + ca ≤ (1 + 9abc ) , 4 1 综上, 9abc ≤ ab + bc + ca ≤ (1 + 9abc ) . 4
二试 1、 2、解: (Ⅰ) x, y ∈ R, f ( x + y ) = f ( x ) ? f ( y ), x < 0 时,f(x)>1 令 x=-1,y=0 则 f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1 ∴f(0)=1 若 x>0,则 f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故 f ( x ) =

1 ∈ (0,1) f (? x)

故 x∈R f(x)>0 任取 x1<x2 f ( x 2 ) = f ( x1 + x 2 ? x1 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ? x1 )

∵ x 2 ? x1 > 0 ∴ 0 < f ( x 2 ? x1 ) < 1∴ f ( x 2 ) < f ( x1 )
故 f(x)在 R 上减函数 (Ⅱ)① a1 = f (0) = 1, f ( a n +1 ) =

1 = f (2 + a n ) f ( ?2 ? a n )

由 f(x)单调性知,an+1=an+2 故{an}等差数列

∴ a n = 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 , 则bn +1 = ② bn = + + ... + + + ... + a n +1 a n+ 2 a2n a n+ 2 a n+3 a2n+2 1 1 1 1 1 1 bn +1 ? bn = + ? = + ? a 2 n +1 a 2 n + 2 a n +1 4n + 1 4n + 3 2n + 1 1 = > 0, {bn } 是递增数列 (4n + 1)(4n + 3)(2n + 1) 1 1 1 1 12 当 n≥2 时, (bn ) min = b2 = + = + = a 3 a 4 5 7 35 12 12 ∴ > (log a +1 x ? log a x + 1) 35 35 即 log a +1 x ? log a x + 1 < 1 ? log a +1 x < log a x

而 a>1,∴x>1 故 x 的取值范围(1,+∞)


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