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2013年全国高中数学联赛江西赛区预赛


3 8  

中 等 数 学 

2 0 1   3 年全国高中数学联赛江 西赛 区预赛 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 4— 0 0 3 8— 0 4  





填空题( 每小题 8 分, 共6 4分 )  

绝对值 为 1 . 则满足条件 的排列个数为 
二、 解答题 ( 共8 6分)  

.  

1 . 若2   0 1 3的每个素因子均为某个 正整数等  差数列 { 0   } 中的项 , 则0   。 。 。 的最大值是

. 
— —

9 . ( 2 0分 ) 设 抛 物线 Y   = 2 p x ( P> 0 ) 与直线  + Y =1 交 于点 A 、   . 若  _ l _ O B , 求抛 物线 方程 
及 △  的 面积 .  

2 . 若。 、 6 、 c > 0 , 1 一 +   2 一 + 三 :1贝 0   n + 2 b + 3 c  
的最 小值 为  .  

1 O . ( 2 O分 ) 如图 1 , 在 四边 形 A B C D中, 已知  F分别是边 A D、 B C的 中点 , P是对角线 B D上  一   ] , 则   E、 的一点 , 直线 E P 、 P F分别 与 A B、 D C的延长线 交 

3 . 若  = n ! 【  +   2 + … + 南
S 2   0 l 3  
— —

. 

于点  、 Ⅳ . 证明 : 线段 M N被直线 E F所平分.  

4 . 若正方体 X与正四面体 y的表 面积相 等 ,  

则其体积之 比  :  
5 . 若椭 圆中心到焦点 、 长轴端点 、 短轴端点及  准线的距离均为正整数 , 则 这 四个距离之 和 的最 
小值为  .  

6 . 函数 f (  )=  

一 6+ , / 3一  的值 域 为 

I 冬 I   l  

1 1 . ( 2 0分 ) 在非钝角△ A B C中, 证明:   7 . 已知合数 k ( 1 < k <1 0 0 ) . 若 k的数 字和为 
s i n   A +s i n   B +s i n   C >2 .  

素数 , 则称 合数 k为 “ 山寨 素数” . 这种 山寨 素数 
的个数为  .  

1 2 . ( 2 6分 ) 问: 是否存在这 样 的正 整数数列 

{ 口   } , 满足 0   。  = 2   0 1 3 , 且 对每个 k∈ { 2 , 3 , …,  
2   0 1 3 } , 均有 1   0   一 口   I = 2 0或 1 3 ; 而其 各项 血   ,  

8 . 将集合 { 1 , 2 , …, 8 } 中的元 素作全排列 , 使  得除了最左端的一个数 之外 , 对 于其余 的每个 数 
n , 在 n的左边某个位置上总有一个数与  之差 的 

口   , …, 。   。 。   的值 恰构 成 1 , 2 , …, 2   0 1 3的一 个排 
列 ?证 明你的结论.  

: ±   :   : ±  ±  ±  

故 巫


+ 巫
h  

+ 巫

≥ 



:  雯

. 



+  
/ 8 / _ = 瓦  i 
a b c  

+ — 2  ̄ / 0 ,   3 b 3 C 2  
: 6 .  
f 傅  廪 槔供 )  

腿竿+ D   3 a c ≥ 2  ̄   D   2  ̄ 三 3 ,  


t > 2 × 3/  

/ c 五 2 +   3 a b ≥ — 2  ̄   3 C 2
. 

2 0 1 4年第 4期 

3 9  

参 考 答 案 
— —

设 椭圆方程为  +   =1 ( n >b > o ) , 椭圆中  



1 . 4   0 2 7 .  

心 0到长轴端点 、 短轴端 点 、 焦点、 准线 的距 离分 
别为 a 、 b 、 c 、 d , 且满足 


注意到 , 2   0 1 3 = 3 ×1 1 × 6 1 .  

若3 、 1 1 、 6 1 均 为某 正整数 等差 数列 中 的项 ,  
则公差 d应是 1 l 一 3 = 8与 6 1 — 3= 5 8的公 因数.  

c  = o



b  . d =一 a
.  

要使 a 2   0 1 3 取得最大值 , 则其 首项 a   和公差 d均应 
取尽可能大 的数. 于是 , a   = 3 , d = 2 .  

由于 a 、 b 、 c 组 成勾股 数 , 则满足 a ≤2 0的勾 
股 数 组有  

所 以, 。 2   0 l 3 的最大值是 3+ 2   0 1 2 d = 4   0 2 7 .  
2 . 3 6 .  

{ 口 , b , C } ={ 3 , 4 , 5 } , { 6 , 8 , 1 0 } , { 9 , 1 2 , 1 5 } ,   { l 2 , 1 6 , 2 0 } , { 5 , 1 2 , l 3 } , { 8 , l 5 , l 7 } ,   其中,  ̄伺 只 _   1 5 2 - 2 5 与  _ 2 5
. 

由柯 西不等式得 

。 + 2 b + 3 c = ( 。 + 2 b + 3 c ) (   + 詈 + ÷ )  
≥( 1+2+3 )  =3 6 .  
1 —

经验证 , 当( a , b , c , d )=( 1 5 , 1 2 , 9 , 2 5 ) 时,   a+ b + c + d的值为最小.  
此时, a+b+c +d= 6 1 .  

_  l

‘   2   0 1 4‘  

6 . [ 1 , 2 ] .  
=   一  
n  

由  
1   2  

=  

, 知 

注意 到 , f (  )=  

+  

的定 义 

+ 玎  一 +  
1— 1   2 —1   3— 1   f   n +1、 一1  

域 为 [ 2 , 3 ] . 故 设   = 2 + s i n Z a ( 0 ≤   ≤ 詈 ) .  
贝 0 _ 厂 (   ) = ̄ /   s i n 。  +√ l — s i n  
=  s i n +c o s   =2s i n  



+ 百

+ 可   一+  
.  

而6 7 r <


 



詈 ≤  , 此 时 ,  

故 . s   l n l { 【 1 一  
从而, S : 。 - , =一 2 —   0 1 4’  
4.   .   1  

】 一 - ) = 一  



(   + 詈  

因此 , 1 ≤ 厂 (  ) ≤2 .  
7. 2 3 .  

记表面积为 1 2 .  

用S ( k ) 表示 k的数字 和 , 而 M( p ) 表示 山寨 

素数为 P的合数的集 合.   当k ≤9 9时 , S ( k ) ≤1 8 , 则不大 于 1 8的素数  共有 7个 , 分别 为 2 、 3 、 5 、 7 、 1 1 、 1 3 、 1 7 .   山寨 素数为 2的合数有 M( 2 ) ={ 2 O } .   同理 , M( 3 ) ={ l 2 , 2 1 , 3 0 } ,   ( 5 ) ={ 1 4 , 3 2 , 5 0 } ,   M( 7 ) ={ 1 6 , 2 5 , 3 4 , 5 2 , 7 0 } ,   M( 1 1 ) ={ 3 8 , 5 6 , 6 5 , 7 4 , 9 2 } ,   ( 1 3 )={ 4 9 , 5 8 , 7 6 , 8 5 , 9 4 } ,  
.  

则正方体每个 面 的面 积为 2 , 其 边 长为  .  
于是 , v x=2  .  

由正四面体每 个 面的 面积 为 3 , 设 其边 长 为 
a . 则 






3  

× 3 }
.  

于是 , V y =2  ×3一  .  


5. 61  

 



=  

( 1 7 ) ={ 9 8 } .   从而 , 共有 2 3 个 山寨素数.  

中 等 数 学 
8.1 28 .  

设对 于适合条件 的某一排列 , 排在左 边 的第 

个元素为 ( 1 ≤  ≤8 ) . 则 在其余 七个数 中 , 大  于 后的 8 一  个数 尼 + 1 , 后+ 2 , …, 8 必定按递增 的  顺序排列 ; 而小于  的 . 1 } 一 1 个数 l , 2 , …, I l } 一1 必  定按递降的顺序排列 ( 位置不一定相邻 ) .   事实上 , 对任意大于 J i } 的数 尼 + / b ' , 设 + n< 8 .   若后 + n +1 排在 +n的左边 , 则与 J j } +n +1   相差 1 的另一数 I l } + n + 2就必须排在 十 n+1 的  左边 ; 同理 , 与 + n+ 2相差 1的另一 数  + 1 7 , + 3   又必须排在  + t / , + 2的左边 ; ……则该排列 的第  二个数不 可能与 相差 1 , 矛盾.  


罔 2  

对直线 E F及I X   P M N, 应用梅涅劳斯定理得 
NC ,ME  PF   1  
G M E P FN ‘   。

为证 G是线段 M N 的中点 , 只需证 
PF  P E   NF   ME ’  

因此 ,  + / I , + 1 必定排在 + / / , 的右边.  

同理 , 小于  的  一 1 个数 1 , 2 , …,  一 1 必定  按递降的顺序排列.  

对直线 A B及△ P D E , 应用梅涅劳斯定理得 
P M  E A  DB
ME   A D B P  

.  

由于当排在左边 的第一个 元素  确定后 , 右 
边还有七个空位 , 从 中任选 8 一 I l } 个位 置填写大于 

_ P 一   — ’2 M E— B D’  

① 

的数 ( 其余 一1 个位置则填写小于 . j } 的数 ) , 选 

法种数为 c ; 一; 而当位置选定后, 填数方法随之 
唯一确定.  

对直线 C D及△ P B F, 应 用梅涅劳斯定理得 
P N  FC   BD  .  
?  一 ●…  

NF  CB  DP  
: ‘ —   2 一   N F   B D。     : = >  
. 

因此 , 所有排法种数为 

P  D

∑c  = ∑  = 2   .  
二、 9 . 设点 (  , Y 。 ) , B (   : , ) , 2 ) .  
由Y   = 2 p x 与 + Y =1 , 得 
Y  +2 p x一2 p =0 .  

② f ’ , 1  

①+ ②得 

M 一 E+ +   而  z = 2   而 一  =    一 一   面 
PF   P E  
:   一 : 一

NF   ME 。 .    

故 l = 1 + p一 ̄ /  +   ,  
y l =一 P +√ p   + 2 p ,  

因此 , 结论得证.   1 1 . 注意到 ,  
s i n   A +s i n   B +s i n   C 一2  

2 = 1 + p+ ̄ / p   + 2 p,  
y  = 一P 一  .  

因为  上 O B , 即O A ? O B= 0 , 所以 ,  
l  2+Y 1 ) , 2   0  

= s i n   A+ s i n   B+ s i n ( A+ 曰  一   ( s i n   A+C O 8   A)一( s i n   B+C O 8 。 B)   = s i n   A ( 1 一s i n   A ) + s i n   B ( 1 一s i n   B) +   s i n ( A+  )一 ( C O S 。 A+ 1 2 O S   B )   =s i n   A ( 1 一 s i n   A )+ s i n   B ( 1 一 s i n   B )+   c 0 s   B ( s i n   A— c 0 8   B) +C O ¥ A ( s i n   B—C O S   A)  
>0 .  

j [ ( 1 + p )   一 ( P   +  ) ] + [ P   一 ( P   +  ) ] = 0  
=   1—2 p =0 .  

因此 , 抛物线方程为 y 2 =   .  
,   ,   ,  

) .  

则O A 。 =   + y   = 5— 2   ,  
O B   =   ; +Y   =5+z , / 5.  

这是 因为在非钝角△ A B C中 , 任意两个 内角  之和不小 于9 0 。 .   于是 , 由   A+   BI >9 0 。 , 得 
AI >9 0 。一   B.   Bt >9 0 。一   A.  

因 此 , S  B = I l O A I   I  f _ 譬.  
1 0 . 如图2 , 设E F与 M N交 于点 G .  

因此 , s i n   B≥s i n ( 9 0 。 一 A ) = C O S   A .   同理 , s i n   A ≥C O S   B .   又1 一 s i n   A、 1 一 s i n   B不能 同时 为 O , 从而 , 结  论得证.  

2 0 1 4年第 4期 

4l  
1 7, 3 0, l O, 2 3, 3, 1 6, 2 9, 9, 2 2, 2, 1 5, 2 8, 8, 2 1 , 1 ,  

1 2 . 存 在.   由于 2 O+ 1 3 = 3 3 , 而3 3   I 2   0 1 3 , 注意到 , “ 差”  

l 4, 2 7 , 7, 2 0 , 3 3 , ( 记 为 0, a l , a 2 , …, a 3 3 ) ;  

运算 具有“ 平移 性 ” , 即若 l   a   一a   I =2 0或 1 3 ,   则对任 意的整数 C , 也有 
J ( a   + c )一( 口   一 I + C ) J = 2 0或 1 3 .  

若从 3 3 左侧间隙剪开 , 并按逆时针排列则成为:  
O, 2 0, 7, 2 7, l 4, … , 6, 2 6, 1 3, 3 3 .  

以上两种排列均满足  I 口   一 a ¨ I = 2 0或 l 3 .  

为此 , 先将 集合 { 1 , 2 , …, 3 3 } 中 的数排 成 一 

个圈, 使得圈上任何相邻两 数之差均 为 2 O或 l 3 ,  
如图 3 .  

记分段数列 Mo =( a 1 , a 2 , …, a 3 3 ) ,  
Mk =( a I + 3 3 k , 口 2 + 3 3 k , …, a 3 3 + 3 3 k )  


( a l +3 3 k , a 2+ 3 3 k , …, a 3 3 + 3 3 k ) ,  

其 中, k =1 , 2 , …, 6 0 .   将这些 段作 如 下联 结 : O ,   ,   得到 的数列 a 。 , a   一 , a   满足条件.  
事实上 ,  
a 2   0 】 3= a 3 3 + 3 3 × 6 0=a 3 3+3 3 ×6 0  


- . ,   , 所 

3 3+3 3 ×6 0 =2   0 1 3.  

对其 中任意 两个 邻 项 a   、 a   , 若 a   、 a   属 于 同 


个分段 , 显然, I a   一 a   I = 2 0或 1 3 ; 若相邻项 

1 冬l   3  

a   、 a   属于两个相邻段 M  与 M川 , 则a   是  的首项 , 即 
a   =a l +3 3 ( n+1 )=1 3+ 3 3 ( n+1 ) ,  

将此 圈从任 一 间隙处剪 开 , 铺 成 的线状排 列  a 1 , 血 2 , …, 口 3 3 , 均满足 I a   一 a ㈦ l = 2 0或 1 3 .   为将数 列锁定 , 在前 面添加一 项 a 。 = 0 , 使 数 

而a   是  的末项 , 即  
a 


列a 。 , a   一 , n   也满足条件 , 可选 择与数 3 3 相 邻  的一个 间隙剪 开. 例如 , 从3 3右侧 间隙剪开 , 并 按 
顺 时针排列 就成 为 :  
0, 1 3, 2 6, 6, 1 9, 3 2, 1 2, 2 5, 5, 1 8, 3 1 , I 1 , 2 4, 4,  

1 =a 3 3+3 3 n=3 3 +3 3 n,  

此时 , a  一a ㈦ =1 3 .  

因此 , 数列 a 。 , a   , …, a   。   满足条件.   ( 陶平生 提供 )  

《 中等数 学》 ( 2 0 0 3  2 0 1 2 ) 精华本 已出版 
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l 9   2 2   4 8  

2 4   2 7   5 3  

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3 6   2 6   l 5 l  

4 1   3 l   1 5 1  

发 行部地址 : ( 3 0 0 0 7 4 ) 天津市河西 区吴家 窑大街 5 7号增 1号 
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电 账

话: 0 2 2— 2 3 5 4 2 2 3 3  1 5 8 2 2 6 3 1   1 6 3   号: 4 3 6 7   4 2 O 0   6 1 7 1   O 1 1 7   0 5 5  

本刊 编辑部 


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