当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省附城中学2013高三数学(理)一轮复习第五章三角函数训练题详解


广东省附城中学 2013 届高三数学(理)一轮复习第五章三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制
A组 π 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为________. 3 π 2π 2π 解析:由于点 P 从(-1,0)出发,顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,如图,因此 Q 点的坐标为(cos ,sin ),即 3 3 3 1 3 1 3 Q(- , ).答案:(- , ) 2 2 2 2 2.设α为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 α α 解析:α为第四象限角,则 为第二、四象限角,因此 tan <0 恒成立,应填①,其余三个符号可正可负.答案: 2 2 ① 3.若 sinα<0 且 tanα>0,则α是第_______象限的角. 答案:三 |sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1; 当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:{-1,3} 3 5.若一个α角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα·cosα= ,则 a 的值为________. 4 3 3 解析:依题意可知α角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sinα·cosα= ,易得 tanα= 3或 ,则 4 3 4 4 a=-4 3或- 3.答案:-4 3或- 3 3 3 2 6.已知角α的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= y,求 cosα,tanα的值. 4 y 2 2=5, 解:因为 sinα= y= ,所以 y 4 (- 3)2+y2 6 15 当 y= 5时,cosα=- ,tanα=- ; 4 3 6 15 当 y=- 5时,cosα=- ,tanα= . 4 3 B组 1.已知角α的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα的值为________. 2 解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα= ; 2 2 2 当 a<0 时,点 P(a,-a)在第二象限,sinα= .答案: 2 2 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 解析:设扇形的圆心角为α rad,半径为 R,则 2R+α·R=6 1 2 ,解得α=1 或α=4.答案:1 或 4 R ·α=2 2 3.如果一扇形的圆心角为 120°,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________.

1 1 2 100 100 解析:S= |α|r2= × π×100= π(cm2).答案: π cm2 2 2 3 3 3 θ 4. 若角θ的终边与 168°角的终边相同, 则在 0°~360°内终边与 角的终边相同的角的集合为__________. 答案: {56°, 3 176°,296°} Z 5.若α=k·180°+45°(k∈Z),则α是第________象限. Z Z 解析:当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当 k=2m(m∈Z)时,α =m·360°+45°,故α为第一象限角. 答案:一或三 6.设角α的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα的值是________. 解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r= (-6a)2+(-8a)2=10|a|, y x -8a+6a -a 1 1 ∴sinα-cosα= - = = =± .答案:± r r 5 5 10|a| 5|a| y 7.若点 A(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则 的值为________. x y 解析: =tan300°=-tan60°=- 3.答案:- 3 x 3π 3π 8.已知点 P(sin ,cos )落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________. 4 4 3π cos 3π 3π 4 =-1,θ∈[0,2π),∴θ=7π.答案:7π 解析:由 sin >0,cos <0 知角θ在第四象限,∵tanθ= 4 4 4 4 3π sin 4 2 9.已知角α的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= ,且 cosα<0,则 k 的值为________. 5 解析:设α终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx, ∴r= x2+(kx)2= 1+k2|x|.又 sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0, kx k 2 y ∴r=- 1+k2x,且 k<0.∴sinα= = =- ,又 sinα= . 2 r - 1+k2x 5 1+k k 2 ∴- = ,∴k=-2.答案:-2 2 5 1+k 10.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是 R.若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. π 10 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60°= ,R=10,∴l= π(cm), 3 3 1 10 1 2 π 3 S 弓=S 扇-S△= · π·10- ·10 sin60°=50( - )(cm2). 2 3 2 3 2 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为α, 2r+l=8, r=3, r=1 (1)由题意可得 1 解得 或 lr=3, l=2, l=6, 2 l 2 l ∴α= = 或α= =6. r 3 r 32 8 64 1 1 (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r= .∴S 扇= αr2= α· = ≤4, 2 2 2 (2+α) α+4+4 2+α α 8 4 当且仅当α= ,即α=2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r= =2 (cm), α 2+2 ∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm). 12.(1)角α的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα的值; (2)已知角β的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ的值.

解:(1)根据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r= (4t)2+(-3t)2=5|t|, 3 4 6 4 2 ①当 t>0 时,r=5t,sinα=- ,cosα= ,所以 2sinα+cosα=- + =- . 5 5 5 5 5 -3t 3 4t 4 ②当 t<0 时,r=-5t,sinα= = ,cosα= =- , 5 -5t -5t 5 6 4 2 所以 2sinα+cosα= - = . 5 5 5 (2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角β终边 y= 3x 上一点, a<0, β是第三象限角, =-2a, 若 则 r 此时 sinβ= 若 a>0,则β是第一象限角,r=2a, 3a 3 此时 sinβ= = . 2a 2 3a 3 =- ; 2 -2a

第二节

正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组

3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 3 π 4 sinα 4 解析:cosα=- ,α∈( ,π),所以 sinα= ,∴tanα= =- . 5 2 5 cosα 3 4 答案:- 3 4 2.若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5

4 3 解析:由 sinθ=- <0,tanθ>0 知,θ是第三象限角,故 cosθ=- . 5 5 3 答案:- 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 π π π π 3 3 解析:cos( -α)=cos[ -( +α)]=sin( +α)= .答案: 3 2 6 6 5 5 5sinx-cosx 4.已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5sinx-cosx 5tanx-1 9 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴ = = . 2sinx+cosx 2tanx+1 5 9 答案: 5 5.(原创题)若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 1 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 cosθ= ,当 cosθ=-1 时,有 sinθ=0, 2 1 3 当 cosθ= 时,有 sinθ=± .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3.答案:0 或 3或- 3 2 2 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且α∈( , ),求 cosα,sinα的值. 169 4 2 120 解:由题意,得 2sinαcosα= .①又∵sin2α+cos2α=1,② 169 289 49 2 ①+②得:(sinα+cosα) = ,②-①得:(sinα-cosα)2= . 169 169 π π 又∵α∈( , ),∴sinα>cosα>0,即 sinα+cosα>0,sinα-cosα>0, 4 2 17 7 ∴sinα+cosα= .③sinα-cosα= ,④ 13 13 12 5 ③+④得:sinα= .③-④得:cosα= . 13 13 B组 2x+1=________. 1.已知 sinx=2cosx,则 sin 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 9 解析:由已知,得 tanx=2,所以 sin2x+1=2sin2x+cos2x= 2 = 2 = .答案: 2x 5 sin x+cos tan x+1 5 10π 2. cos =________. 3 10π 4π π 1 1 解析:cos =cos =-cos =- .答案:- 3 3 3 2 2 3 π sin2α 3.已知 sinα= ,且α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α 3 2× 4 sin2α 2sinαcosα 2sinα 3 解析:cosα=- 1-sin2α=- , = = = 5=- . 2α 2α 5 cos cos cosα 2 4 - 5 3 答案:- 2 sinα+cosα 4.若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα sinα+cosα sinα+cosα tanα+1 cos2α 1 16 16 解析: +cos2α= + 2 = + 2 = .答案: 2α 5 sinα-cosα sinα-cosα sin α+cos tanα-1 tan α+1 5 π 5.已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=___________________. 2

5-1 5-1 π 解析:∵tanx=sin(x+ )=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= .答案: 2 2 2 6.若θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则θ=________. 解析:由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ·cosθ=1-cos2θ=sin2θ?sinθ(sinθ-cosθ)=0?sinθ=0 或 sinθ-cosθ=0, 又 π π ∵θ∈[0,π),∴θ=0 或 .答案:0 或 4 4 π 1 7π 7.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 7π π π π 1 解析:由已知,得 cos(α+ )=cos[(α+ )+ ]=-sin(α+ )=- . 12 12 2 12 3 1 答案:- 3 8.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________. cosα+2sinα=- 5, ① 解析:由 sin2α+cos2α=1, ② 2 5 5 将①代入②得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- ,cosα=- ,∴tanα=2. 5 5 答案:2 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 ,则 f(-31π)的值为________. 9.已知 f(α)= 3 cos(-π-α) sinα·cosα·cotα 31 π 1 1 解析:∵f(α)= =-cosα,∴f(- π)=-cos =- .答案:- 3 3 2 2 -cosα 2π 4π Z 10.求 sin(2nπ+ )·cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 2π 4π 2π π 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+ )·cos(nπ+ )=sin ·cos[(n+1)π+ ] 3 3 3 3 π π π π 3 1 3 =sin(π- )·cos =sin ·cos = × = . 3 3 3 3 2 2 4 2π 4π 2π 4π π π π π 3 1 (2)当 n 为偶数时,sin(2nπ+ )·cos(nπ+ )=sin ·cos =sin(π- )·cos(π+ )=sin ·(-cos )= ×(- )=- 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 . 4 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角. sinA= 2sinB, ① 解:由已知,得 3cosA= 2cosB, ② 2 ①2+②2 得:2cos2A=1,即 cosA=± . 2 2 3 π π 7 2 (1)当 cosA= 时,cosB= ,又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π.(2)当 cosA=- 2 2 4 6 12 2 3 3 5 π π 7 时,cosB=- .又 A、B 是三角形内角,∴A= π,B= π,不合题意.综上知,A= ,B= ,C= π. 2 4 6 4 6 12 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b ,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的 α 值;(2)若 a⊥b ,且 m =0,求 π cos( -α)·sin(π+2α) 2 的值. cos(π-α) π 解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1·(sinα-m)=0,∴m=sinα- 3cosα=2sin( α- ). 3 π 又∵α∈[0,2π),∴当 sin(α- )=-1 时,mmin=-2. 3 π 3 11 此时α- = π,即α= π. 3 2 6

(2)∵a⊥b,且 m=0,∴ 3sinα+cosα=0.∴tanα=-

3 . 3

π cos( -α)·sin(π+2α) sinα·(-sin2α) 2 ∴ = =tanα·2sinα·cosα -cosα cos(π-α) 2sinα·cosα 2tanα 1 =tanα· 2 =tanα· = . sin α+cos2α 1+tan2α 2

第三节

正弦函数与余弦函数的图像与性质

A组 π R 1.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是. 2 π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 ③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 解析:∵y=sin(x- )=-cosx,y=-cosx 为偶函数, 2 π ∴T=2π,在[0, ]上是增函数,图象关于 y 轴对称.答案:④ 2 π 2.函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4 ①最小正周期为π的奇函数 函数 π π 解析:y=2cos2(x- )-1=cos(2x- )=sin2x,∴T=π,且为奇函数. 4 2 答案:① π 3.若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 ②最小正周期为π的偶函数 π ③最小正周期为 的奇函数 2 π ④最小正周期为 的偶 2

sinx π )·cosx=cosx+ 3sinx=2sin( x+ ), cosx 6 π π π 2π π π ∵0≤x< ,∴ ≤x+ < ,∴当 x+ = 时,f(x)取得最大值 2.答案:2 2 6 6 3 6 2 π R 4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为________. 12 π π π π 3 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 3 答案: 3 π 5.设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是π,则 f(x)图象上的一个对称中心 3 是________(写出一个即可). 2π π π π Z 解析: T= =π, ω=2, ∵ ∴ 又∵函数的图象关于直线 x= 对称, 所以有 sin(2× +φ)=±1, φ=k1π- (k1∈Z), ∴ ω 3 3 6 π π π π π Z 由 sin(2x+k1π- )=0 得 2x+k1π- =k2π(k2∈Z),∴x= +(k2-k1) ,当 k1=k2 时,x= ,∴f(x)图象的一个对称 6 6 12 2 12 π π 中心为( ,0).答案:( ,0) 12 12 3 6.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 3 1 3 3 1 π 解:(1)f(x)= (cos2x+1)+ sin2x- = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ), 2 2 2 2 2 3 π π π 5 π Z 故 T=π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- π≤x≤kπ+ , 2 3 2 12 12 5 π Z 所以单调递增区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π π π Z Z Z (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+ )=1,则 2x+ =2kπ+ (k∈Z).于是 x=kπ+ (k∈Z),∵0≤x<3π,且 k∈Z,∴k 3 3 2 12 π π π 13π =0,1,2,则 +(π+ )+(2π+ )= . 12 12 12 4 13 ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 π. 4 B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 2π 2x 2x 2x π T 3π 解析:f(x)=cos +sin = 2sin( + ),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T= 2 =3π,∴ = .答 3 3 3 4 2 2 3 3π 案: 2 π 2.给定性质:a 最小正周期为π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具有性质 ab 的是________. 3 x π π π ①y=sin( + ) ②y=sin(2x+ ) ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 2 6 6 6 2π π π π π 解析:④中,∵T= =π,∴ω=2.又 2× - = ,所以 x= 为对称轴. ω 3 6 2 3 答案:④ π π 3.若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__. 4 2 2(t+1)2 2tan4x π π 1 解析: <x< ,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y=tan2xtan3x= = =-2(t+ +2)≤-8,故填-8. 4 2 t 1-tan2x -t 解析:f(x)=(1+ 3·

答案:-8 2 4.(函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则θ的值是________. 3 解析:因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[- π 可知θ只能取- . 2 答案:- π 2 2π ,θ]上的最大值为 1, 3

2π 2π , ]上单调递增,则ω的最大值为________. 3 3 2π 2π 3 3 3 解析:由题意,得 ≥ ,∴0<ω≤ ,则ω的最大值为 .答案: 4ω 3 4 4 4 π π 6.设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[- ,0],则 x0=________. 3 2 π π π 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+ )=0,x0∈[- ,0],得 x0=- .答案: 3 2 6 π - 6 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴, 2 3 则下面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6 A+m=4 2π π 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以 ,解得 A=m=2,又最小正周期为 = , ω 2 m-A=0 π π π 4π π Z 所以ω=4,又直线 x= 是其图象的一条对称轴,将 x= 代入得 sin(4× +φ)=±1,所以φ+ =kπ+ (k∈Z),即φ 3 3 3 3 2 5π π Z =kπ- (k∈Z),当 k=1 时,φ= .答案:④ 6 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的最 2 小值是________. π 5 解析:函数 y=sin x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 t≥ T=5.答案:5 2 4 9.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于π,则 f(x)的单调递 增区间是________. π 解析:∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交点间的距离为π知,函 6 2π π π π π Z 数 y=f(x)的周期 T=π,∴T= =π,解得ω=2,∴f(x)=2sin(2x+ ).令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- ω 6 2 6 2 π π π π Z Z ≤x≤kπ+ (k∈Z).答案:[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 3 6 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中ω>0,函数 f(x)=a·b,若 f(x)图象的相邻两对称轴间 π π 的距离为π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. 6 3 π 解:(1)f(x)=a·b=(2sinωx,cos2ωx)·(cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+ )+ 3.∵相邻两对称轴 3 2π 1 的距离为π,∴ =2π,∴ω= , 2ω 2 π ∴f(x)=2sin(x+ )+ 3. 3 π π π π 2π (2)∵x∈[ , ],∴x+ ∈[ , ],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, 6 3 3 2 3 π π ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有 6 3 5.若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[-

解得 3≤m≤2+2 3. 2+m≥2+ 3, 11.设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6 π 解:(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π 2π 在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[ ,π]. 6 3 π π (2)当 x∈[0, ]时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4,解之得 m=1,∴m 6 6 的值为 1. ωx 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值为 0.(1) 2 求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB+cos( A-C),求 sinA 的值. π 解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+ )-1+m. 6 2π 2 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 =3π,解得ω= . ω 3 2x π ∴f(x)=2sin( + )-1+m. 3 6 π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0,π]时, ≤ + ≤ , ≤sin( + )≤1, 6 3 6 6 2 3 6 2x π ∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin( + )-1. 3 6 2C π 2C π (2)由题意,得 f(C)=2sin( + )-1=1,∴sin( + )=1. 3 6 3 6 π 2C π 5π 2C π π π π 而 ≤ + ≤ ,∴ + = ,解得 C= .∴A+B= . 6 3 6 6 3 6 2 2 2 π 在 Rt△ABC 中,∵A+B= ,2sin2B=cosB+cos(A-C). 2 -1± 5 5-1 ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA= .∵0<sinA<1,∴sinA= . 2 2

-2+m≤2 3,

第四节

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组 1.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

解析:函数的最小正周期为 T= 发现④不符合要求.答案:④

2π ,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图形中周期与振幅的关系, |a|

π 2.将函数 y=sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin(x- )的图象,则φ等于________. 6 π π 11π 11π 解析:y=sin(x- )=sin(x- +2π)=sin( x+ ).答案: 6 6 6 6 3.将函数 f(x)= 3sinx -cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值为 ________. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin( x- ),f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数,则φ的 6 5π 最小值为 . 6 5π 答案: 6 4. 如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, >0, ω -π<φ<π),∈R 的部分图象, x R 则下列命题中, 正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3;

7 π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 T 5π π 7π 7π 解析:据图象可得: A= 3, = - ?T=π,故ω=2,又由 f( )= 3?sin(2× +φ)=1,解得φ=2kπ- 2 6 3 12 12 2π 2π 2π Z (k∈Z),又-π<φ<π,故φ=- ,故 f(x)= 3sin(2x- ),依次判断各选项,易知①②是错误的,由图象易知 x 3 3 3 7π π 7π = 是函数图象的一条对称轴,故③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间[ , ]只是函数的一个单调 12 12 12 递增区间,⑤由上述推导易知正确.答案:③⑤ 5.已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则 ω 的最小值为________. 解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可,且 f(x)=sinωx 2π π π π +cosωx= 2sin(ωx+ ),则 2010≥ ω ?ω≥ .答案: 4 2010 2010 2 π π 6. 已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx·sin(ωx+ )+2cos2ωx, ∈R(ω>0), y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 . (1) x R 在 2 6 求ω; π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变, 得 6 到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 3 1 3 π 3 解:(1)f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ , 2 2 2 6 2 π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ , 2 6 2 4 5 Z 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 Z 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 2 6 2 4π 10 Z ∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 3 3 4π 10 Z 即 x∈[4kπ+ ,4kπ+ π],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3 B组 1.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 Z ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x=

9 9 π. 答案: π 10 10 2.已知函数 y =sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象 如图所示,则φ=________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π π π ∴ω= =2, 把点( , 1)代入, 可得 2× + φ= ,φ= .答案: T 6 6 2 6 6 π R 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的 4 图象________. π R 解析:∵f(x)=sin( ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为π, 4 2π ∴ =π,故ω=2. ω π π π π 又 f(x)=sin(2x+ )∴g(x)=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x. 4 8 4 2 π 答案:向左平移 个单位长度 8 π 2 4.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示, f( )=- ,则 f(0)=________. 2 3 T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π Z Z ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z),得φ=- +2kπ,k∈Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 答案: 2 3 3 3 3 π π 5.将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(- ,0)中心对称. 3 12 π π π π 解析:由 y=sin(2x+ )=sin2(x+ )可知其函数图象关于点(- ,0)对称,因此要使平移后的图象关于(- ,0) 3 6 6 12 π π 对称,只需向右平移 即可.答案:右 12 12 a1 a2 3 cosx 6.定义行列式运算: =a1a4-a2a3,将函数 f(x)= 的图象向左平移 m 个单位(m>0),若所得图象 a3 a4 1 sinx 对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. 3 1 π 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( sinx- cosx)=2sin(x- ), 2 2 6 π π π Z 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin( x- +m),平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ ,k∈Z.若为偶函数, 6 6 2 2π 2π 2π Z 则 x=0,所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最小值为 .答案: 3 3 3 π π π 7.若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则ω的最小值 4 6 6 为________. π π π π π πω 解析:y=tan(ωx+ )向右平移 个单位长度后得到函数解析式 y=tan[ω(x- )+ ],即 y=tan(ωx+ - ),显 4 6 6 4 4 6 π πω π 1 1 1 Z Z 然当 - = +kπ(k∈Z)时,两图象重合,此时ω= -6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω的最小值为 .答案: 4 6 6 2 2 2 π π 3π 3π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, ]上单调递增;③x= 3 2 2 2 5π 5π 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是________. 4 6 ∵-π≤φ<π,∴φ=

|

|

|

|

π π π 3π 解析: 由于函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是π, 故函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 , ①正确; =sin(x- ) y 3 3 2 2 3π 5π 5π 5π 5π π 5π 5π =cosx,该函数在[π, )上单调递增, ②正确;当 x= 时,y=sin(2x+ )=sin( + )=sin( + )=cos =- 2 4 6 2 6 2 6 6 3 5π 5π ,不等于函数的最值,故 x= 不是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴,③不正确.答案:2 2 4 6 πx 9.当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示, y =kx 的图象在[0,1]之间的部分应 2 位于此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒 在 x 轴下方,原不等式成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案:k≤1 2 2π 10. 设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小 正周期为 .(1)求ω的值;(2)若函 3 π 数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 2 π 解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx·cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin(2ωx+ )+2,依题意, 得 4 2π 2π 3 = ,故ω= . 2ω 3 2 π π 5π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x- )+ ]+2= 2sin(3x- )+2. 2 4 4 π 5π π 2 π 2 7π Z Z 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 2 4 2 3 4 3 12 2 π 2 7π Z 故 g(x)的单调增区间为[ kπ+ , kπ+ ](k∈Z). 3 4 3 12 π 2π R 11.已知函数 f(x)=Asin( ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为π,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 2 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π得ω= = =2. 3 T π 2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 4π π 11π π π Z Z ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),即φ=2kπ- ,k∈Z.又φ∈(0, ),∴φ= , 3 2 6 2 6 π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π π π π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 2x+ = ,即 x= 时, 12 6 6 3 6 6 6 3 12 f(x)取得最大值 3. π 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求φ的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的解析式;并求最小正实 3 数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数. π 3π π π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 4 4 π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4

π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = ,又 T= ,故ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 4 π π π Z g(x)=sin[3(x+m)+ ],g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 2 kπ π π Z 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = .又 T= ,故ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 R g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π R 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 恒成立. 4 4 π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)·sin(3m+ ) 4 4 π π =sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 π π π π kπ π R Z Z 即 2sin3xcos(3m+ )=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z),∴m= + (k∈Z),从 4 4 4 2 3 12 π 而,最小正实数 m= . 12


相关文章:
更多相关标签: