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高中数学人教A必修4综合测试题(二倍角的正弦、余弦、正切公式,简单的三角恒等变换)


高中数学必修 4 综合测试题 8
(二倍角的正弦、余弦、正切公式,简单的三角恒等变换) A组 一、选择题:共 6 小题 1、(易) ? cos

? ?

? ? ?? ? ?? ? sin ? ? cos ? sin ? 的值为( 12 12 ? ? 12 12 ?
B. ?

)

A. ?

3 2

1 2

C.

3 2
)

D.

1 2

2、(易)已知 x ? ( ? A.
7 24

4 ? ,0) , cos x ? ,则 tan 2 x ? ( 2 5
B. ?
7 24
0

C.

24 7
0

D. ?

24 7

3、(易)设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ?
0 0

6 ,则 a, b, c 大小关系( 2
D. a ? b ? c

)

A. a ? c ? b

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a )

4、(中)已知 cos 2? ? A.

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
11 18
C.

13 18

B.

7 9

D. ?1

5、(中)化简: A. tan ?

2sin 2? cos 2 ? ? ?( 1 ? cos 2? cos 2?
B. tan 2?

) C. sin 2? ) D. D. cos 2?

6、(中)若 sin( A. ?

7 9

? 1 2? ? ? ) ? 则 cos( ? ? ) ? ( 6 3 3 1 1 B. ? C. 3 3

7 9

二、填空题:共 3 小题 7、(易)已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为

.

8、(中)已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , sin ? ? cos ? ? ,则 sin(? ? ? ) =__________. 3 2
.

9、(中)若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

三、解答题:共 2 小题

用心 爱心 专心

1

10、(中) 已知

π 3π 12 3 <α <β < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值. 4 13 5 2

11、(中)已知0<α <

cos 2? π π 5 ,sin( -α )= ,求 的值. π 13 4 4 cos( ? ? ) 4
B组

一、选择题:共 6 小题 1、(易)若 ? ? (0, ?) ,且 cos ? ? sin ? ? ?
17 9

1 ,则 cos 2? ? ( 3
C. ?

)
17 3

A.

B. ?

17 9

17 9

D.

2、(中)已知 sin( A.

19 25

? 3 ) ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为( 4 5 16 14 B. C. 25 25
cos 200 ?(
)

D.

7 25

3、(中)化简

cos 350 1 ? sin 200
B. 2

A. 1 4、(中)函数 y ? 2sin( A. ?3

C. 2

D. 3 )

? ? ? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值等于( 3 6
B. ?2
2

C. ? 5

D. ?1 )

5、(难)函数 y ? sin x cos x ? 3 cos x ? 3 的图象的一个对称中心是(

A. (

2? 3 ,? ) 3 2

B. (

5? 3 ,? ) 6 2

C. ( ?

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3
)

, ? 3)

6、(难)当 x ? (0, ] 时, f ( x) ? A.4 二、填空题:共 3 小题 7、(中)已知 cos ? ? B.

? 4

cos 2 x 的最小值是( cos x sin x ? sin 2 x
C.2 D.

1 2

1 4

1 1 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,则 cos(? ? ? ) 的值等于 2 3 3

3? π ? 8、(中)已知 tan 2? ? ? ? ? ? π ? ,则 4? 2 ?

2 cos2

?

π? ? 2 cos ? ? ? ? 4? ?

2

? sin ? ? 1
的值为

9、(中)在 △ABC 中, cos A ? 三、解答题:共 2 小题

4 , tan B ? 2 ,则 tan ? 2 A ? 2 B ? 的值为 5

用心 爱心 专心

2

10、(中)已知 cos ? ? (1)求 tan 2? 的值. (2)求 ? 的值. 11、(中)求值:

1 13 ? , cos(? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < . 7 14 2

(1) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; (2) sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50 .
2 0 2 0 0 0

0

0

0

0

C组 解答题:共 2 小题 1(难)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?
2

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. 3 2.(较难)已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

? 2π ? ? ?

3 a ? b (a ? 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ? [0, ] , f ( x) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a, b 的值. .w.w.k.s.5.u.c.o.m 参考答案 A组 1.C 原式= cos 2.D x ? (? 3.A ∵ a ?
4
2

? 2

? ? ? 3 ? sin 2 ? cos ? 12 12 6 2

?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7
2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600 ,∴ a ? c ? b .
4 2 2 2 2 2

4.B sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 2sin ? cos ? ? 1 ?

1 2 sin 2? 2

1 11 ? 1 ? (1 ? cos 2 2? ) ? 2 18
4sin ? cos ? cos 2 ? sin 2? ? ? ? tan 2? 5.B 原式= 2 cos 2 ? cos 2? cos 2?
用心 爱心 专心 3

6.A cos(

? ? 7 2? ? ? ? ? ? ? ? ) ? cos ? ? ? 2( ? ? ) ? ? ? cos ?2( ? ? ) ? ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 1 ? ? 6 6 9 3 ? ? ? 6 ?

? ? 4 1 7 1 7 (sin ? cos )2 ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 2 3 3 9 3 9 59 13 59 8. ? (sin ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? , 2sin(? ? ? ) ? ? 72 36 36 1 1 sin 2? 1 ? sin 2? 9. 2008 ? tan 2? ? ? ? cos 2? cos 2? cos 2? cos 2?
7. ,

(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?
10.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知 2α =(α -β )+(α +β ). 由于
π 3π π π <α <β < ,可得到 π <α +β < ,0<α -β < . 4 2 2 4
4 5 ,sin(α -β )= . 5 13

∴cos(α +β )=-

∴sin2α =sin[(α +β )+(α -β )] =sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β ) =(-
3 12 4 5 56 )· +(- )· =- . 5 13 5 13 65

11.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及 变角技巧.解题过程中,需要注意到( 解:cos(

π π π π π +α )+( -α )= ,并且( +α )-( -α )=2α . 2 4 4 4 4

π π π π 5 +α )=cos[ -( -α )]=sin( -α )= , 13 2 4 4 4 π π π π π π ,则 0< -α < , < +α < . 2 4 4 4 4 4

又由于0<α <

所以 cos(

π π 5 12 -α )= 1 ? sin 2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 13 13 4

π π 5 12 sin ( ? ? ) ? 1 ? cos2 ( ? ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 13 13
π π cos[( ? a) ? ( ? ? )] 4 4 π cos( ? ? ) 4

cos 2? ? 因此 π cos( ? ? ) 4

5 12 12 5 π π π π ? ? ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 24 4 4 4 4 = = 13 13 13 13 ? . π 5 13 cos( ? ? ) 4 13

用心 爱心 专心

4

B组 1.A

1 4 (cos ? ? sin ? )2 ? ,sin ? cos ? ? ? ,而 sin ? ? 0, cos ? ? 0 9 9
cos ? ? sin ? ? ? (cos ? ? sin ? ) 2 ? 4sin ? cos ? ? ? 17 3

1 17 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? ? ( ? ) = 17 9 3 3
2.D sin 2 x ? cos(

?

? ? 7 ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( ? x) ? 2 4 4 25

cos 2 100 ? sin 2 100 cos100 ? sin100 2 sin 550 ? ? ? 2 3.C cos 350 (cos100 ? sin100 ) cos 350 cos 350
4.D y ? 2cos( 5.B y ?

? ? ? ? x ) ? cos( ? x) ? cos( ? x) ? ?1 . 6 6 6

1 3 1 3 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

? 3 ? k? ? 5? ? sin(2 x ? ) ? , 令2 x ? ? k ?, x ? ? ,当k ? 2, x ? 3 2 3 2 6 6
6.C

f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x cos x ? sin x 1 ? ? ?1 sin x(cos x ? sin x) sin x tan x

? x ? (0, ], tan x ? (0,1], 所以 f ( x) ?[2, ??). 4 1 7 23 ? 2 7. ∵ ? ? (0, ) ,∴ 2? ? (0, ?) , cos ? ? ,得 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ? , 27 2 3 9

sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ?

4 2 ? ,而 ? , ? ? (0, ) ,知 ? ? ? ? (0, ?) , 9 2 2 2 ,得 cos(? ? ? ) ? cos[2? ? (? ? ? )] 3

∴ sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ?
2

7 1 4 2 2 2 23 ? ? . cos 2? cos(? ? ? ) ? sin 2? sin(? ? ? ) ? (? ) ? (? ) ? 9 3 9 3 27
8. ?

1 2 tan ? 3 1 由 tan 2? ? ? ,得 tan ? ? 或 tan ? ? ?3 . 2 1 ? tan ? 4 3 2

π ? ? ? ? π ,? 只有 tan ? ? ?3 符合题意. 2

用心 爱心 专心

5

?

2 cos2

?
2

? sin ? ? 1

π? ? 2 cos ? ? ? ? 4? ?

?

cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? ?? . 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

9.

44 4 在 △ABC 中,由 cos A ? , 0 ? A ? ? , 5 117
2 2

3 sin A 3 5 3 ?4? 得 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? .所以 tan A ? ? ? ? . 5 cos A 5 4 4 ?5?

3 ?2 tan A ? tan B 11 又 tan B ? 2 ,所以 tan( A ? B) ? ?? . ? 4 1 ? tan A tan B 1 ? 3 ? 2 2 4
? 11 ? 2?? ? ? ? 2 ? ? 44 . tan(2 A ? 2 B) ? tan ? 2 ?2 ? A ? B ?? ? ? 1 ? tan 2 A ? B ? 117 ? ? ? 11 ? 1? ? ? ? ? 2?
2 tan ? A ? B ?
2 1 ? 1? 4 3 , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 7 2 7 ?7?

于是

10.解:(1)由 cos ? ?

∴ tan ? ? sin ? ? 4 3 ? 7 ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 2 47

?

?

(2)由 0 ? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 ? 3 3 13 又∵ cos ?? ? ? ? ? ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?
由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ?

? 1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 7 14 7 14 2 3
11 解:(1)原式 ? sin 6 cos12 cos 24 cos 48 ?
0 0 0 0

sin 60 cos 60 cos120 cos 240 cos 480 cos 60

1 1 sin120 cos120 cos 240 cos 480 sin 240 cos 240 cos 480 2 4 ? ? cos 60 cos 60 1 1 1 sin 480 cos 480 sin 960 cos 60 1 ?8 ? 16 ? 16 ? 0 0 0 cos 6 cos 6 cos 6 16

用心 爱心 专心

6

(2)原式 ?

1 ? cos 400 1 ? cos1000 1 ? ? (sin 700 ? sin 300 ) 2 2 2

1 1 1 ? 1 ? (cos1000 ? cos 400 ) ? sin 700 ? 2 2 4 3 1 3 ? ? sin 700 sin 300 ? sin 700 ? 4 2 4
C组 1 解:(1) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 6? 2 ?
因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 (2)由(1)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

? ?

π? 1 2π ? ? .因为 0 ≤ x ≤ , 6? 2 3

所以 ?

1 π? π π 7π ≤ 2 x ? ≤ , 所以 ? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? 6 6 6 ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

2.解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a?b 2 2 2 a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b 2 2 3

?
(1) 2k ? ?

? ? 3? 5? 11? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? ? ? x ? k? ? 2 3 2 12 12 5? 11? ∴ [k ? ? , k? ? ], k ? Z 为所求的单调递减区间; 12 12
(2) 0 ? x ?

? ? ? 2? 3 ? , ? ? 2x ? ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3 3 3 2 3 3 a ? b ? ?2, f ( x) max ? a ? b ? 3, 2

f ( x)min ? ?

用心 爱心 专心

7

? 3 a ? b ? ?2 ? ?? ?a ? 2 ? 2 ? ? ? ?b ? ? 2 ? 3 ?a ? b ? 3 ?

用心 爱心 专心

8


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