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2018版高中数学北师大版必修一学案:第三章 2 指数扩充及其运算性质


学习目标 1.理解分数指数幂的含义,学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理 数指数幂,理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值. 知识点一 分数指数幂 2 思考 由 a2=22(a>0)易得 a=2= 2 2 ,由此你有什么猜想? 梳理 分数指数幂 (1)定义: 给定__________a, 对于任意给定的整数 m, n(m, n 互素), 存在唯一的__________b, 使得____________,我们把 b 叫作 a 的____________,记作 b=__________. (2)意义 正分数指数幂 前提条件 负分数指数幂 a>0,m,n 均为正整数,m,n 互素 0 的分数指数幂 结论 a = ________ m n a ? m n =______ 0 =______, 0 ? m n m n =________ 无意义 知识点二 无理数指数幂 思考 无理数是无限不循环小数,课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的? 梳理 无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数) 是一个确定的正实数.至此,指数幂 aα 的指数取值范围 扩充为 R. 知识点三 实数指数幂的运算性质 思考 1 在实数指数幂 ax 中,为什么要规定 a>0? 梳理 一般地,在研究实数指数幂的运算性质时,约定底数为大于零的实数. am - - 思考 2 初中,我们知道 a≠0,m<n 时有 n =a (n m)(其中 m,n 为正整数).那么,当 a>0, a m,n 为任意实数时,上式还成立吗? 梳理 一般地,当 a>0,b>0 时,有: (1)am· an=am n; + (2)(am)n=amn; (3)(ab)n=anbn,其中 m,n∈R. 知识点四 实数指数幂的化简 a 思考 如何化简( -1 b 1 ?3 ) ? b a - 2 梳理 实数指数幂的化简中,先把根式、分式都化为实数指数幂的形式,再利用指数幂运算 性质化简. 类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1 分数指数幂化根式 例 1 用根式的形式表示下列各式(x>0,y>0). 2 (1) x 5 ;(2) x - 5 3 . 反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中, 分数指数幂形式在应用上比较方便. 而在求函数 的定义域中, 根式形式较容易观察出各式的取值范围, 故分数指数幂与根式的互化是学习的 重点内容,要切实掌握. 跟踪训练 1 用根式表示 x 1 - 2 2 y 3 (x>0,y>0). 命题角度2 根式化分数指数幂 例 2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中 a>0,b>0. 1 5 (1) a6;(2) ; 3 2 a (3) 4 b3 ;(4) ?-a?6. a2 m 反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当 a≤0 时, a n 有时有意义, m 有时无意义.如(-1) = -1=-1,但(-1) 就不是实数了.为了保证在 取任何有理数 n 3 1 3 1 2 时, a 都有意义,所以规定 a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分. 跟踪训练 2 把下列根式化成分数指数幂. (1) 6 8 2;(2) 3 a a(a>0);(3)b3· b2;(4) 1 3 5 x? x2?2 . m n 类型二 运用指数幂运算公式化简求值 例 3 计算下列各式(式中字母都是正数). 27 ? 7 (1)(0.027) +( ) 3

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