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北京市昌平一中2013届高三上学期期中考试(数学文)


北京市昌平一中高三期中考试 数学文科
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每个小题列出的四个先期中,选出 符合题目要求的一项。

x2 y2 ? ?1 5 1.双曲线 4 的焦点坐标为(
A. 1,0)(1,0) (– , C. (0,– 1)(0,1) ,

) B. 3,0)(3,0) (– , D. (0,– 3)(0,3) ,

x?2 2.函数 y = log2 3 ? x 的定域为(
A.{x|–3<x<2} C.{x | x>3 或 x<– 2} 3.设 a = ?
?3

) B.{x|–2<x<3} D.{x | x<– 3 或 x>2}

,b = lg4 ? , c =

lg

1

? ,则(

) C.b<c<a ) D.b<a<c

A.c<a<b B.c<b<a 4.函数 y = log2 ( x2 – 5x – 6 )单调递减区间是(

5? ? ? ? ?, ? 2? A. ?

?5 ? ? ,?? ? ? B. ? 2

C. ?? ?,?1?

D.( 6,?? ) )

5.4.设 m、n 是两条不同的直线,? 、 ? 是两相没的平面,则下列命题中的真命题是( A.若 m∥ ? , n∥ ? , ? ∥ ? ,则 m∥n C.若 m⊥ ? ,m∥ ? ,则 ? ⊥ ? B.若 m ? ? , n ? ? ,m∥n 则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , ? ⊥ ? ,则 m⊥ ? )

6.若圆 x2 + y2 – 2x + 4y = 0 与直线 x – 2y + a = 0 相离,则实数 a 的取值范围是( A.– 2<a<8a>8 或 a<– 2 B.a>0 或 a<– 10 C.– 10<a<0 D.a>8 或 a<– 2 7.已知向量 a = ( 1 , 3 ), b = ( 3 , n )若 2 a – b 与 b 共线,则实数 n 的值是( A. 3 ? 2 3 B. 3 ? 2 3 C.6 )

D.9

8.编号为 1,2,3,4,5 的 5 人入座编号也为 1,2,3,4,5 的 5 个座位,至多有两人对 号入座的不同坐法有( ) A.109 种 B.110 种 C.108 种 D.111 种

-1-

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填写在题中横线上。 9.函数 f ( x ) = 2–x ( 0<x≤3 )的反函数的定义域为____________________

?? ? ?x? ? 2 ? 的最小正周期是_______________________ 10.函数 y = cos x ·sin ?
11.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的各顶点均在半径为 1 的球面上,则四面体 A1—ABC 的体积 等于____________ 12.如果有穷数列 a1 , a2 , … , an (n 为正整数)满足条件 a1 = an , a2 = an–1…,an = a1,即 ak = an–k+1 (k = 1 , 2 …, n ),我们称其为“对称数列” 。设{bn}是项数为 7 的“对称数列” ,其中 b1 , b2 , b3 , b4 成等差数列,且 b1 = 2 , b2 + b4 = 16,依次写出{bn}的每一项____________ 13.某中学在高一开设了数学史等 4 门不同的选项修课,每个学生必须选项修,且只从中选 一门。该校高一的 3 名学生甲、乙、丙对这 4 门选课的兴趣相同,则 3 个学生选择了 3 门不同的选修课的概率是__________________ 3.已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,乙盒内有大小相同的 4 个红球和 4 个黑 球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球,则取出的 4 个球中恰有一个红球的概率是______ 14.若函数 y = f ( x ) ( x∈R )满足 f ( x + 2 ) = f ( x ),且 x∈[– 1,1]时,f ( x ) = | x |,函数 y = g ( x )是偶函数,且 x∈( 0 , +∞)时,g ( x ) = | log3x |。则函数 y = f ( x )图像与函数 y = g ( x ) 图像的交点个数为_________________ 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) = x3 – x2 – x 。 (Ⅰ)求函数 f ( x )在点( 2 , 2 )处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x )的极大值和极小值。

16. (本小题共 14 分) 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑 球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。 (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有一个红球的概率。

-2-

17. (本小题共 13 分) 直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,∠ADC = 90°,△ABC 为等边三角形,且 AA1 = AD = DC =2 。 (Ⅰ)求异面直线 AC1 与 BC 所成的角余弦值; (Ⅱ)求证:BD⊥平面 AC1; (Ⅲ)求二面角 B—AC1—C 的正切值。

18. (本小题共 13 分) 已知数列{an – n }是等比数列,且满足 a1 = 2 , an+1 = 3an – 2n + 1 , n∈N*。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; (Ⅱ)求数列{an}的前 n 项和 Sn。

-3-

19. (本小题共 14 分)

x2 y2 2 ? 2 ?1 2 b 设椭圆 M: a (a>b>0)的离心率为 2 ,长轴长为 6 2 ,设过右焦点 F。
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

6 2 2 (Ⅱ)设过右焦点 F 倾斜角为 ? 的直线交椭 M 于 A,B 两点,求证| AB | = 1 ? sin ? 。

20. (本小题共 13 分)

3x 3x ? x x? ? ? ? ?? 0, ? cos , sin ? ? cos ,? sin ? 2 2 ? ,b =? 2 2 ? ,且 x∈ ? 2 ? 。 ? ? a =? 已知向量
(Ⅰ)求 a ·b 及| a ·b |;

(Ⅱ)若 f ( x ) = a ·b ? 2? | a ·b |的最小值为

?

3 2 ,且 ? ∈ ?0,??? ,求 ? 的值。

-4-

参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

7.D

8.A

? 1 ? ? x | ? x<1? ? 9. ? 8
3 13. 8

10. ?

4 3 11. 27

12.2,5,8

14.6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由已知 得 f′( x ) = 3x2 – 2x – 1 ????????????? 3 分 又 f′( 2 ) = 7 所求切线方程是 7x – y – 12 = 0 ???????? 5 分

1 (Ⅱ)因为 f′( x ) = 3x2 – 2x – 1 ? f′( x ) = 0 ? x1 = 1 , x2 = 3 ???? 6 分 ?
又函数 f ( x )的定义域是所有实数,则 x 变化时,f′( x )的变化情况如下表: x f′( x )

1 (-∞, 3 ) ?
+

?
0

1 3

1 ( 3 ,1) ?


1 0

( 1 , +∞ ) +

所以

1 5 当 x = 3 时,函数 f ( x )取得极大值为 27 ; ?

当 x = 1 时,函数 f ( x )取得极小值为 – 1 ?????????? 13 分 16. (本小题共 14 分)
2 2 C4 ? C4 1 ? 2 2 21 ???????? 6 分 解: (Ⅰ)取出的 4 个球均为黑球的概率 C7 ? C9 1 1 2 2 1 1 C3 ? C4 ? C4 ? C4 ? C5 ? C4 16 ? 2 63 ?? 14 分 C7 ? C92 (Ⅱ)取出的 4 个球中有一个红球的概率

17. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,BC∥B1C1 ∠AC1B1 是异面直线 AC1 与 BC 所成的角 ? 2 分 在△AC1B1 中,AC1 = AB1 = 2 3 ,

6 C1B1 = 2 2 ,cos∠AC1B1 = 6 6 故 异面直线 AC1 与 BC 所成的角的余弦值为 6 ?????????? 4 分

-5-

(Ⅱ)因为 AD = DC , AB = BC 可得 BD⊥AC(垂直平分线)??? 5 分 又 CC1⊥平面 ABCD,AC 为 AC1 平面 ABCD 上的射影 ??????? 7 分 所以 BD⊥AC1 ??????????????????????? 8 分 (Ⅲ)设 AC∩BD = O,由(Ⅱ)得 BD⊥平面 ACC1,过 O 作 OH⊥AC1,垂足为 H,连接 BH,则 BH⊥AC1,∠OHB 为二面角 B—AC1—C 的平面角 ? 11 分

6 在 Rt△OBH 中,OB = 6 ,OH = 3 ? tan∠OHB = 3 ???? 13 分
故 二面角 B—AC1—C 的正切值为 3 18. (本小题共 13 分)

an?1 ? ?n ? 1? 3an ? 2n ? 1 ? ?n ? 1? 3an ? 3n ? ? ?3 an ? n an ? n an ? n 解: (Ⅰ) 是常数?? 3 分
所以 an – n = ( 2 – 1 )·3n–1 ? an = 3n–1 + n ??????????? 7 分 (Ⅱ)所以数列{an}的前 n 项和 由已知数列{an – n }是等比数列

3n ? n 2 ? 1 2 Sn = ( 30 + 3 + 32 + ? + 3n–1 ) + ( 1 + 2 + 3 + ? + n ) = ?? 13 分
19. (本小题共 14 分)

?2 a ? 6 2 ? ?a ? 3 2 2 ?c ? ? ? 2 ?c ? 3 ?a x2 y2 2 2 2 ?b ? 3 ? ?1 ?b ? a ? c 9 ?? 解: (Ⅰ) ? 所求椭圆 M 的方程为 18 ?4 分

? (Ⅱ)当 ? ≠ 2 ,设直线 AB 的斜率为 k = tan ? ,焦点 F ( 3 , 0 ),则直线 AB 的方程为
? y ? kx ? 3k ? 2 ?x y2 ? ?1 ? ? 18 9 ? ( 1 + 2k2 )x2 – 12k2x + 18( k2 – 1 ) = 0 有
12k 2 18 k 2 ? 1 2 2 有 x1 + x2 = 1 ? 2k , x1x2 = 1 ? 2k

y=k(x–3)

?

?

设点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )

?? 12k 2 1 ? k ?? 2 ? ?? 1 ? 2k ? |AB| =

?

2

?

2 ? 18 k 2 ? 1 ? 6 2 1 ? k 2 ? ? 4? ?? ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? ?

?

?

?

?
** ? 7 分

sin ? 又因为 k = tan ? = cos ?

代入**式得

-6-

6 2 6 2 6 2 ? ? 2 2 2 2 |AB| = cos ? ? sin ? 1 ? sin ? ? 2 sin ? 1 ? sin ? ???? 10 分
2

? 当 ? = 2 时,直线 AB 的方程为 x = 3,此时|AB| = 3 2 ?????? 12 分

? 6 2 2 而当 ? = 2 时,|AB| = 1 ? sin ? = 3 2
6 2 2 所以|AB| = 1 ? sin ? ??????????????? 14 分

综上所述

20. (本小题共 13 分)

解: (Ⅰ) a ·b =

cos

3x x 3x x cos ? sin sin 2 2 2 2 = cos2x ????????? 2 分
2 2

3x x ? ? 3x x? ? ? sin ? ? 2 ? 2 cos 2 x ? cos ? cos ? ? ? sin 2 2? ? 2 2? |a +b | = ? ? 5分

因为

? x? ?0, ? x∈ ? 2 ? ,所以 cosx ? 0 所以| a + b | = 2cos x ???? 6 分

(Ⅱ)f ( x ) = a ·b – 2 ? | a + b | = 2cos x – 4 ? cos x = 2 cos2x – 4 ? cos x – 1 = 2 ( cos x – ? )2 – 1 – 2 ? 2 ???????????? 8 分

令 t = cos x∈[ 0 , 1 ],则 f ( x ) = g ( t ) = 2 ( t – ? )2 – 1 – 2 ? 2 ①当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当 t = ? 时,f ( x )取得最小值,

g (? ) = – 1 – 2? 2

即– 1 – 2 ? 2 兴=

?

3 1 2 ? ? = 2 ???? 10 分

②当 ? >1 时,当且仅当 t = 1 时,f ( x )取得最小值,g ( 1 ) = 1 – 4 ?

即 1 – 4?

?

3 5 2 ? ? = 8 <1 不合题意,舍去。????????? 12 分

1 综上,所以 ? = 2 ?????????????????????? 13 分

-7-


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