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《3.2.3互斥事件》


学习目标
1.了解事件“A+B”的含义,并能将一些复杂 的事件表示为互斥事件的和,以便于利用 概率加法公式求其概率 2.正确理解互斥事件和对立事件的概念 3.掌握互斥事件的概率加法公式以及对立事 件的概率之间的关系

事件的和“A+B”
当且仅当事件A发生或事件B发生时,事件C 发生,则称事件C为事件A与事件B的并事 件(或和事件),记作

C=A+B

一.新课引人

问题:一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7 个红球、2个绿球、1个黄球.从中任取 1个小球.求:
(1)得到红球的概率; (2)得到绿球的概率; (3)得到红球或绿球的概率.
7 10

2 1 = 10 5

9 10

“得到红球”和“得到绿球”这两个事 件之间有什么关系,可以同时发生吗? 事件得到“红球或绿球”与上两个事件又 有什么关系?它们的概率间的关系如何?

二.新课

?在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红 球、2个绿球、1个黄球.我们把“从中摸出 1个球,得到 红球”叫做事件A,“从中摸出1个球,得到绿球”叫做事 件B,“从中摸出1个球,得到黄球”叫做事件C.
?如果从盒中摸出的1个球是红球,即事件A发生,那 么事件B就不发生;如果从盒中摸出的1个球是绿球, 即事件B发生,那么事件A就不发生. ?就是说,事件A与B不可能同时发生.

1.互斥事件的定义
?这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. ?你还能找出其它互斥事件吗?

?易知,事件B与C、事件A与C也是互斥事件.
?对于上面的事件A、B、C, 其中任何两个都是互斥事件, 这时我们说事件A、B、C彼 此互斥. 红 红 红 红 红 红 红 A 绿 绿 B 黄C

?一般地,若事件A1,A2,…,
An中的任何两个都是互斥事件, 那么就说事件A1,A2,…,An彼此互斥. ?从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事 件所含的结果组成的集合彼此互不相交,如图所示.

?在上面的问题中,“从盒 I 红 红 红 中摸出1个球,得到红球或 绿球”是一个事件,当摸出 红 红 红 红 的是红球或绿球时,表示这 A 个事件发生,我们把这个事 件记作A+B。现在要问:事

绿 绿 B
黄C

件A+B的概率是多少?

?如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(即A,B中有 一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和.

?P(A+B)=P(A)+P(B) ? 一般地,如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么事件 发生(即A1,A2,…,An中有一个发生)的概率,等于 这n个事件分别发生的概率的和,即 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

3.对立事件的概念
?“从盒中摸出1个球,得到的不是红球(即绿球或 黄球)”记作事件A .

?由于事件A与 A不可能同时发生,它们是互斥事件。 ?事件A与 A 必有一个发生.这种其中必有一个发生 互斥事件叫做对立事件. ?事件A的对立事件通常记作

A
I

?从集合的角度看,由 事件 A 所含的结果组成的 集合,是全集I中的事件A 所含的结果组成的集合的 补集。

红 红 红

A红 红 红 红 A

绿 绿 B 黄

A C

3.对立事件的概率间关系

A+A

由对立事件的意义

必然事件 概 率 为

P(A)+ P(A)= P(A + A)= 1
∵ A与A互斥

P(A)= 1- P(A)

?互斥事件及对立事件的概念 ? 互斥事件概念:不能同时发生的两个事件称为互斥事件 ? 如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,就说 事件A1,A2,…,An彼此互斥 ? 设A,B为互斥事件,当事件A,B 有一个发生,我们把 这个事件记作A+B。 ? 对立事件概念:两个互斥事必有一个发生,则称这两个事 件为对立事件。事件A的对立事件记为 A 思考:互斥事件与对立事件有何关系? 对立事件是互斥事件, 互斥事件不一定是对立事件。

练习1
1:判断下列给出的事件是否为互斥事件, 是否为对立 事件,并说明道理. 从40张扑克牌(红桃,黑桃,方块,梅花点数从1~10各10 张)中,任取一张. (1)”抽出红桃”与”抽出黑桃”; (2)”抽出红色牌”与”抽出黑色牌” (3)”抽出牌点数为5的倍数”与”抽出的牌点数大于9”.
思路点拨:根据互斥事件与对立事件的定义进行判 断.判断是否为互斥事件,主要是看两事件是否同时 发生;判断是否为对立事件,首先看是否为互斥事件, 然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生, 则为对立事件,否则,不是对立事件.

练习2:体育考试的成绩分为四个等级:优,良,中, 不及格, 某班50名学生参加了体育考试,结果如下:
优 85分及以上 9人

良 中 不及格

75~84分 60~74分 60分以下

15人 21人 5人

1、体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件 分别记为A,B,C,D,它们相互之间有何关系?分别求出 它们的概率。 2、从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩 为“优良”(优或良)的概率是多少? 3、记“优良” (优或良)为事件E,记“中差” (中或不及格) 为事件F,事件E与为事件F之间有何关系?它们的概率之间 又有何关系?

例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只 黑球,从中任意摸出2只球。记摸出2只白球的 事件为A,摸出1只白球和1只黑球的事件为B. 问:事件A与事件B是否为互斥事件?是否为对 立事件?
解:因为事件A与事件B是不能同时发生, 所以是互斥事件;

因为从中一次可以摸出2只黑球,
所以事件A与事件B不是对立事件。

例2.某人射击一次,命中7-10环的概率如下图
所示:

(1)求射击1次,至少命中7环的概率;
(2)求射击1次命中不足7环的概率。
命中环数 概率

10环
0.12

9环 0.18

8环
0.28

7环
0.32

练习2 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示: 年降水量 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) (单位:mm) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 1.求年降水量在[100,200)(㎜)范围内的概率; 2.求年降水量在[150,300)(㎜)范围内的概率。
解:(1)记这个地区的年降水量在[100,150) ,[150,200), [200,250),[250,300)(mm)范围内分别为事件为A、B、C、D。

这4个事件是彼此互斥的。根据互斥事件的概率加法公式,有 (1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是 答:…… P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 (2)年降水量在[150,300)(mm)内的概率是 ?P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55. 答:…



例3.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表 所示:
血型 所占比例

A 28

B

AB 8

O 35

29

已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任 何一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型 血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小 明是B型血,若小明因病需要输血 (1)求任找一人,其血可以输给小明的概率; (2)求任找一人,其血不能输给小明的概率。

课堂小结

?互斥事件:不可能同时发生的两个事件。 当A、B是互斥事件时,P(A+B)=P(A)+P(B) ?对立事件:其中必有一个发生的两个互 斥事件叫做对立事件。 当A、B是对立事件时,P(B)=1-P(A)

【自我检测】 1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互 斥而不对立的事件是 ( ) A.至少有1个白球和全是白球 B.至少有1个白球和至少有1个红球 C.恰有1个白球和恰有2个白球 D.至少有1个红球和全是白球 2.如果事件A,B互斥,那么 A.A+B是必然事件
C.

( B. A ? B 是必然事件
D.

)

A



B 一定互斥

A与B

一定不互斥

3.下列命题中,真命题的个数是 ( ) ①将一枚硬币抛两次,设事件A为”两次出现正面”, 事件B为”只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事 件; ②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件 ③若事件A 与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件; ④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件. A.1 B. 2 C. 3 D. 4

4.甲,乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90 %,则甲,乙两人下成和棋的概率为 ( ) A.60% B.30% C.10% D.50% 5.某射击运动员在一次射击训练中,命中10环,9环,8环,7环 的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28.则这名运动员在一次射 击中:命中10环或9环的概率是__________,少于7环的概 率是____________. 6.已知随机事件E为”掷一枚骰子,观察点数”,事件A表 示”点数小于5”,事件B表示”点数是奇数”,事件C表 示”点数是偶数”.问:(1)事件A+C表示什么? (2)事件 分别表示什么?

A,A + C,A + C

思考题

袋中有2个伍分硬币,2个贰分硬币,2个壹分硬币,从 中任取3个,求总数超过7分的概率.


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