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3.1.2两条直线的平行与垂直的判定(教学设计)


3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定(教学设计) 教学目标 1.知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2.过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用代数方法来研究几何问题. 3.情感、态度和价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣, 欣赏解析几何的代数

抽象美. 教学重点、难点 重点: 熟练掌握两条直线平行和垂直的条件 难点: 研究两条直线的平行或垂直问题的判断. 教学过程 (一)创设情景,导入课题 复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念, 可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导 出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. (二)师生互动,新课讲解 1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互 相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直. 2. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行 设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的 方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果l1∥l2(图1-29),那么它们的倾斜角相等:α 1=α2.因为tgα1=tgα2 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2. 由于0°≤α 1<180°, 0°≤α 2<180°,所以α1=α2.

又因为两条直线不重合,两条直线平行l1∥l2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么 它们平行,即l1∥l2?k1=k2. 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.
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3. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的垂直 下面我们研究两条直线垂直的情形. 结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数, 那么它们互相垂直,即

l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1
注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有 l1 ? l 2 ; 反之则不一定. 例1(课本P87例3)已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论. 解: 直线BA的斜率k1=

3?0 1 ? , 2 ? (?4) 2

直线PQ的斜率k2=

2 ?1 1 ? , ? 1 ? (?3) 2

因为

1 k1=k2= 2 , 所以

直线BA∥PQ.

例2(课本P87例4) 的形状,并给出证明. 解同上.

已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD

例3(课本P88例5)已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 解: 直线AB的斜率 k1 ? 直线PQ的斜率 k1 ? 因为

6?0 2 ? , 3 ? (?6) 3 6?3 3 ?? , ? 2 ? 0) 2
AB⊥PQ.

k1·k2 = -1 所以

例4(课本P89例6)已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状. 分析: 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证. 课堂练习: (课本P89练习 NO:1;2) 例5:(tb7909304)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1) ,B(1,0) ,C(4,3) ,求顶点D的坐标。 (答:D(3,4) ) (三)课堂小结,巩固反思 1.知识小结 (1) 两条直线平行或垂直的判定方法 (2) 注意特殊情况特殊处理,如有斜率为零或斜率不存在的情况. (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. 2. 思想方法:倾斜角、平行是几何概念, 坐标、斜率是代数概念,解析几何的本质是用代数方法来研究几何问 题. (四)课时必记: 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,
2

即l1∥l2?k1=k2. 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它 们互相垂直,即 l1

? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

3、当直线斜率不存在时,应作图分析两条直线的位置关系。

(五)布置作业 A 组: 1、 (课本P89习题3.1A组 NO:6)

2、 (课本P89习题3.1A组 NO:7)

3、 (课本P89习题3.1A组 NO:8)

B组: 1、 (课本P89习题3.1 B组 NO:1)

2、 (课本P89习题3.1 B组 NO:2)

3、 (课本P89习题3.1 B组 NO:3)

4、 (课本P89习题3.1 B组 NO:4)

5、 (课本P89习题3.1 B组 NO:6)

C 组: 1、 (tb7909501)已知直线 m1 经过点 A(3,a) , B(a-2,3),直线 m2 经过点 M(3,a),N(6,5),若 m1 ? m2,求 a 的值。 (略解:要讨论斜率是否存在,a 的值为 0 或 5)
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