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山西省山西大学附属中学2016届高三数学上学期12月月考试题 理


山西大学附中 2015—2016 学年高三第一学期 12 月月考 数学试题(理)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一.选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.若 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 | a ? bi |? ( A.



1 ?i 2

B. 5

2.已知 ? ? y ? R y ? x 2 , ? ? x ? R x 2 ? y 2 ? 2 ,则 ? ? ? ? ( A.

?

?

?

C. 5 2

?

D. 5 4 )

?? ?1,1? , ?1,1??
2

B. ?1? )

C. ? 0,1?

D. ? 0, 2 ?

?

?

3.下列说法中正确的是(

A. “ f ? 0 ? ? 0 ”是“函数 f ? x ? 是奇函数”的充要条件 B.若 p : ?x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 C.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 D. “若 ? ?

?
6

, 则 sin ? ?

1 ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 2 6

1 sin ? ? 2
4.若 ? ? ? 0, ( A. )

? ?

??

?? ? 3 2 tan ? ? ? ,且 cos ? ?cos ? ?2 ? ? ? ,则 2? ?2 ? 10
B.

1 1 D. 4 5 2015 5.执行如图所示的程序框图,输出 s ? ,那么判断框内应 2016
C. 填( ) A. k ? 2015? B. k ? 2016? C. k ? 2015? D. k ? 2016? 6.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为(

1 2

1 3



3 2 1 C. 2
A.

6? 2 ? 6 2 3? 2 ? 6 D. 2
B.

1

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 7 . 已知变量 x , y 满足 ? ,则 的取值范围是( x?2 ? x? y?2?0 ?
(A) ? 2, ? 2
2



? 5? ? ?

(B) ? , ? 4 2
6

?5 5? ? ?

(C) ? , ? 5 2

?4 5? ? ?

(D) ? , 2 ? 4

?5 ?

? ?

1? ? 8. 已知 ? x ? a ? ? x ? ? ( a ? R )的展开式中常数项为 5 ,则该展开式中 x 2 的系数 x? ?
( A. ? )

9.已知函数 f ( x) 是定义在 ? a ? 1, 2a ? 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 单调递增, 则关于 x 的不等式 f ( x ? 1) ? f (a) 的解集为( A. [ , ) )

25 2

B. ?5

C.

25 2

D. 5

1 2 4 5 2 1 1 2 C. ( ? ,? ] ? [ , ) D.随 a 的值而变化 3 3 3 3 3 3 3 3 10.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? 1 , PA ? 3 ,

4 5 3 3

B. [ , ) ? ( , ]

则该三棱锥外接球的表面积为( A. 5? B. 2?
2 2

) C. 20? D. 4?

x y ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右 2 a b 焦点,过 F 1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 ? 、 ? .若 ???F2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
11. 如图, F 1 、 F2 是双曲线 A. 4 B. 7 C.

2 3 3

D. 3

12.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,且满足 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,

S S1 S 2 , ,... , 15 中最大的项为( ) a1 a2 a15 S S S A. 6 B. 7 C. 9 a6 a7 a9
则 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
n

D.

S8 a8

13.等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn =a ? 2 +a ? 2 ,则 a =_______. 14.如图,在边长为 1 的正方形 ???C 中任取一点,则该点落在阴影 部分中的概率为 . 15.已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别 ??? ? ??? ? 在边 BC 、 DC 上, BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则
2

? 的值为
16.已知函数 f ? x ? ( x ? R )满足 f ?1? ? 1 ,且 f ? x ? 的导数 f ? ? x ? ?

1 ,则不等式 2

x2 1 f ? x ? ? ? 的解集为 2 2
2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos x 2

?

3 cos x ? sin x . 2 2

?

(1)设 ? ? ? ? π ,π ? ,且 f (? ) ? 3 ? 1 ,求 ? 的值; ? ? 2 2? ? (2)在△ABC 中,AB=1, f (C ) ? 3 ? 1 ,且△ABC 的面积为 3 ,求 sinA+sinB 的值. 2

18. (理)(本小题满分 12 分)如图,矩形 ABEF 所在的平面与等边 ?ABC 所在的平面 垂直, AB ? 2, AF ? 1 , O 为 AB 的中点. (1)求证: OE ? FC ; (2)求二面角 F ? CE ? B 的余弦值.

19. 已知一个袋子中有 3 个白球和 3 个红球,这些球除颜色外完全相同. (Ⅰ)每次从袋中取出一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数 ? 的 分布列和数学期望 E (? ) ; (Ⅱ)每次从袋中取出一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球 次数? 的数学期望 E (? ) .

3

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别 为F 1 和 F2 ,且 F 1F 2 ? 2 ,点 ?1, ? 在该椭圆上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F B 两点,若△ AF2 B 的面积为 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, 圆心且与直线 l 相切圆的方程.

? 3? ? 2?

12 2 ,求以 F2 为 7

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? x ? 2x ? a ln x
2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处切的切线方程; (2)若函数 f ? x ? 存在两个极值点 x1、x2 ? x1 ? x2 ? ,①求实数 a 的范围; ②证明:

?

?

f ? x1 ? 3 ? ? ? ln 2 x2 2

请考生在第 22、23 二题中任选一题作答(在答题卡相应位置填涂),如果多做,则按所做 的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数,0 ? ? ? ? ) ,以 ? y ? sin ?

O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 5 3 ,射线 OM: ? ? 交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

?
3

与半圆 C 的

23. (本题小满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
4

已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

山西大学附中 2015—2016 学年高三第一学期 12 月月考 数学试题(理) 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一.选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.若 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 | a ? bi |? (C)

1 ?i A. 2
2.已知

? ? y ? R y ? x2

?

B. 5

? , ? ? ?x ? R x
B. )

5 C. 2
2

? y2 ? 2
C.

? ,则 ? ? ? ? ( D
D. ?

5 D. 4



A. 3.下列说法中正确的是( D A. “

?? ?1,1? , ?1,1??
f ? 0? ? 0

?1?

?0,1?

?0, 2 ? ?

”是“函数
2 0

f ? x?

是奇函数”的充要条件

?x0 ? R , x ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 C.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题
B.若 p :

1 ? 1 ?? sin ? ? 6 ,则 2 ”的否命题是“若 6 ,则 2 D. “若 ? ?? ?? ? 3 2 ? ? ? 0, ? cos ? ? c o?s ? ? 2? ? ,则 t a ? n ? 2 2 1 0 ? ? ? ? 4.若 ,且

??

?

sin ? ?



B )

1 1 C. 4 D. 5 2015 s? 2016 ,那么判断框内应填 5.执行如图所示的程序框图,输出
(A ) A. k ? 2015? B. k ? 2016? C. k ? 2015? D. k ? 2016? 6. 一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为 ( B )

1 A. 2

1 B. 3

3 A. 2

6? 2 ? 6 2 B.

1 C. 2

3? 2 ? 6 2 D.
5

7 . 已知变量 x , y 满足

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? x?2 ? ? x? y?2?0 ?

x? y?3 ,则 x ? 2 的取值范围是(

B )

? 5? 2, ? ? 2? ? (A)

?5 5? , ? ? 4 2? ? (B)
6

?4 5? , ? ? 5 2? ? (C)

?5 ? , 2? ? 4 ? ? (D)

1? ? x2 ? a ? ? ?x? ? x ? ( a ? R )的展开式中常数项为 5 ,则该展开式中 x 2 的系数 ? 8. 已知
( A )

25 A. 2 ?

B. ?5 8(文).对具有线性相关关系的变量 x , y ,测得一组数据如下表:

25 C. 2

D. 5

根据上 最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.5 x ? a ,则 a 的值等于( B ) A. 1 B. 1.5 C. 2

表,利用 D. 2.5

a ? 1,2a ? 9.已知函数 f ( x) 是定义在 ? 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 单调递增, 则关于 x 的不等式 f ( x ? 1) ? f (a) 的解集为( B )

4 5 A. [ , ) 3 3

1 2 4 5 [ , )?( , ] 3 3 B. 3 3

2 1 1 2 ( ? ,? ] ? [ , ) 3 3 C. 3 3

D.随 a 的值而变化

10.三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? 1 , PA ? 3 , 则该三棱锥外接球的表面积为( A ) A. 5? B. 2?
2

C. 20?
2

D. 4?

x y ? 2 ?1 2 b 11. 如图, 、 是双曲线 a ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右 F1 ??? F2 l ? ?

F1

F2

焦点, 过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于点 为等边三角形,则双曲线的离心率为( B ) A. 4 12. 等差数列 B. 7

、 . 若

?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) , S ?0, S16 ? 0 , 且满足 15
6

2 3 C. 3

D. 3

S15 S1 S 2 a a a 则 1 , 2 ,... , 15 中最大的项为( D ) S6 S7 S9 a a a A. 6 B. 7 C. 9
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.等比数列

S8 a D. 8

?an ?的前 n 项和 Sn =a ? 2n +a ? 2 ,则 a =__1 _____.
1 3

14. (理)如图,在边长为 1 的正方形 ???C 中任取一点,则该点落 在阴影部分中的概率为 .

14.(文) 记集合

A ? ?? x, y ? | x 2 ? y 2 ? 16?

示的平面区域分别为

?1 , ?2 .若在区域 ?1 内任取一点 P ? x, y ? ,则点 P 落在区域 ?2 中的

,集合

B ? ?? x, y? | x ? y ? 4 ? 0, ? x, y? ? A?



3? ? 2 4? 概率为___ _. 15.已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上,
BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为
??? ? ??? ?

2

16.已知函数

f ? x?

( x ? R )满足

f ?1? ? 1

,且

f ? x?

的导数

f ?? x? ?

1 2 ,则不等式

f ? x2 ? ?

x 1 ? 2 2 的解集为

2

? ??, ?1? ? ?1, ???

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)

f ( x) ? 2cos x 3 cos x ? sin x 2 2 2 . 17. (本小题满分 12 分)已知函数 ? ?? ? π ,π ? ? ? 2 2? ? ,且 f (? ) ? 3 ? 1 ,求 ? 的值; (1)设
3 (2)在△ABC 中,AB=1, f (C ) ? 3 ? 1,且△ABC 的面积为 2 ,求 sinA+sinB 的值. x x x f ( x) ? 2 3 cos2 ? 2sin cos 2cos x ? π ? 3 6 2 2 2 = 3(1 ? cos x) ? sin x = 解: (1) .

?

?

?

?

π π x ? ? 2kπ ? (k ? Z) 2cos x ? π ? 3 ? 3 ? 1 cos x ? π ? 1 6 6 2 ,于是 6 3 由 ,得 ,因为
π π x?? ? π ,π ? x?? 或 ? ? 2 2? ? ,所以 2 6.
7

? ?

?

?

π 3 ? 1 ab sin π 3 C? C ? (0 , π ) 2 2 6, 2 6 .因为△ABC 的面积为 (2) 因为 , 由 (1) 知 , 所以

于是 ab ? 2 3 ①.在△ABC 中,设内角 A 、 B 的对边分别是 a , b .由余弦定理得
1 ? a2 ? b2 ? 2ab cos π ? a 2 ? b2 ? 6 2 2 6 ,所以 a ? b ? 7 ②

? ? ? a ? 2, ?a ? 3, ? ? b? 3 ? ? ?b ? 2. 由 ①② 可 得 或 ? 于 是 a?b?2? 3 . 由 正 弦 定 理 得
sin A ? sin B ? sin C ? 1 sin A ? sin B ? 1 ? a ? b ? ? 1 ? 3 a b 1 2 ,所以 2 2 .

0 AA1 ? AB ? 1 , 18. (文) 如图, 直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, ∠ADC= 120 ,

点 O1、O 分别是上下底菱形对角线的交点. (1)求证: A1O ∥平面 CB1 D1 ; (2)求点 O 到平面 CB1 D1 的距离.

D1
O1 A1 B1

C1

D
O

C
B

A
(第 18 题图)

8

? 平面 CB1 D1 , O1C ? 平面 CB1 D1 , 1 又∵ AO

∴ A1O ∥平面 CB1 D1 . (2)法一:等积变换. 设点 O 到平面 CB1 D1 的距离为 h. ∵ D1 D ? 平面 ABCD, ∴ D1 D ? CO . ∵AC、BD 为菱形 ABCD 的对角线, ∴CO⊥BD. ∵ D1 D ? BD ? D ,
CO ? 3 2 .

∴ CO ? 平面 BB1 D1 D .

在菱形 ABCD 中,BC=1,∠BCD= 60 ,

0

1 5 OB1 ? OD1 ? OB 2 +BB12 ? 1+ ? 4 2 , ∵ B1 D1 ? 1 ,

∴△ OB1 D1 的面积

S? OB1D1 ?

1 2.

∴三棱锥 C ? OB1D1 的体积

1 3 V ? S? OB1D1 ? CO ? 3 12 . S? CB1D1 ? 7 4 .

在△ CB1 D1 中, CB1 ? CD1 ? 2, B1D1 ? 1 ,△ CB1 D1 的面积

9

1 1 7 3 21 V ? S? CB1D1 ? h ? ? ?h h? 3 3 4 7 . 由 = 12 ,得 21 CB D 因此,点 O 到平面 1 1 的距离为 7 .

法二、作垂线. ∵ AA1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , ∴ AA1 ? B1 D1 . ∵ A1C1 、 B1 D1 为菱形 A1 B1C1 D1 的对角线, ∴ B1 D1 ? A1C1 .

∵ AA1 ? A1C1 ? A1 , ∴ B1 D1 ⊥平面 AA1C1C . ∴平面 CB1 D1 ⊥平面 AA1C1C . 在平面 AA1C1C 内,作 OH ⊥ CO1 , H 为垂足,则 OH ⊥平面 CB1 D1 ,线段 OH 的长为点 O 到 平 面 CB1 D1 的 距 离 . 在 矩 形 AA1C1C 中 , ∠ O C H= ∠ CO1C1 , CC1 1 2 OH OH 2OH sin ?CO1C1 ? ? ? sin ?OCH ? ? ? 2 2OH CO1 OC 7 7 3 3 ? 3 , 2 2 , , ∴ 7
OH ? 21 21 CB D 7 . 因此,点 O 到平面 1 1 的距离为 7 .

18. (理)(本小题满分 12 分)如图,矩形 ABEF 所 在 的 平 面 与 等 边 ?ABC 所 在 的 平 面 垂 直 ,

A B ? 2 , A F? 1 , O 为 AB 的中点.
(1)求证: OE ? FC ;
10

(2)求二面角 F ? CE ? B 的余弦值.

1 【答案】(1)证明见解析;(2) 4 ?
【解析】 试题分析: 第一问根据等边三角形, 确定出 OC ? AB , 根据面面垂直的性质, 得出 OC ? 平面 ABEF ,从而得出 OC ? OE ,根据矩形的边长的关系,得出 OF ? OE ,从而根 据线面垂直的判定定理,得出 OE ? 平面 OFC ,从而得证 OE ? FC ,第二问应用平面 的法向量求得二面角的余弦值. 试题解析: (1) 证明: 连接 OC , OF , 因为 AC ? BC ,O 是 AB 的中点, 故 OC ? AB . 又因为平面 ABEF ? 平面 ABC ,面 ABEF ? 面 ABC ? AB , OC ? 面 ABC , 故 OC ? 平面 ABEF . 因为 OE ? 面 ABEF ,于是 OC ? OE . 又矩形 ABEF , AB ? 2 AF ? 2 ,所以 OF ? OE . 又因为 OF ? OC ? O ,故 OE ? 平面 OFC , 所以 OE ? FC . (2)由(1)得, AB ? 2 AF ? 2 ,取 EF 的中点 D ,以 O 为原点, OC, OB, OD 所在 的直线分别为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系。因为 AB ? AC ,所以, OC ? 3 ,于是有

F ? 0, ?1,1? , E ? 0,1,1? , B ? 0,1,1? , C
从而

?

3, 0, 0

?,

??? ? CE ? ? 3,1,1

?

? ? , ??? EF ? (0, ?2,0) ,

11

设平面 FCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,由

?

? ??? ? ? ?n ? CE ? 0 ? ? ? ??? ? ?n ? EF ? 0

? ?? 3x ? y ? z ? 0 ? ? n ? 1, 0, 3 ? ?2 y ? 0 得? 得 , ?? m ? 1, 3, 0 同理,可求得平面 BCE 的一个法向量 , ???? m?n 1 1 cos ? ? ?? ? ? ? ?? ? m n 2? 2 4 设 m, n 的夹角为 ? ,则 ,

?

?

?

?

1 由于二面角 F ? CE ? B 为钝二面角,所以所求余弦值为 4 . ?
考点:线面垂直的判定和性质,二面角的余弦值. 19.(文)(本小题满分 12 分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送 带上每隔一小时抽一包产品 ,称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得 重量数据茎叶图(如右). (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差, 并说明哪个车间的 产品的重量相对稳定; (Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两 件样品重量之差不超过 2 克的概率.

(1)甲相对稳定。

x甲 ? 113

x乙 ? 113

s 2甲 ? 21,s 2乙 ?

88 3 ,

(2)从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法:(108,109), (108,110),(108,112),(108,115),(108,124),(109,110), (109,112),(109,115),(109,124),(110,112),(110,115), (110,124),(112,115),(112,124),(115,124). 设 A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”, 则 A 的基本事件有 4 种:(108,109),(108,110),(109,110),(110,112).

4 故所求概率为 P(A)= 15 ..10 分

19.(理)已知一个袋子中有 3 个白球和 3 个红球,这些球除颜色外完全相同.
12

(Ⅰ)每次从袋中取出一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数 ? 的 分布列和数学期望 E (? ) ; (Ⅱ)每次从袋中取出一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球 次数? 的数学期望 E (? ) .

E (? ) ?
【答案】 (Ⅰ)分布列见解析,

7 4;

E (? ) ?
(Ⅱ) 【解析】

3 2

试题分析:第一问根据题中的条件,确定出 ? 的取值,根据题意,确定出相应的概率, 根据期望公式,求得随机变量的期望 E (? ) ,第二问条件中为有放回的抽取,所以服从于 二项分布,利用公式求得 E (? ) . 试题解析: (Ⅰ) ? 的所有可能值为 1,2,3,4. 2分

P(? ? 1) ?

3 1 ? 6 2,
1 1 A3 A3 3 ? 3 3 ? ? 2 A6 6 ? 5 10 , 1 A32 A3 3? 2 ? 3 3 ? ? 3 A6 6 ? 5 ? 4 20 , 3 1 A3 A3 3? 2 ? 3 1 ? ? 4 A6 6 ? 5 ? 4 ? 3 20 .

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

P(? ? 4) ?

6分

故 ? 的分布列为

?

1

2

3

4

13

p

1 2

3 10

3 20

1 20
8分

1 3 3 1 7 E (? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 20 20 4 .

? ? B(3, )
(Ⅱ)取出后放回,取 3 次球,可看做 3 次独立重复试验,所以

1 2 ,所以

E (? ) ? 3 ?

1 3 ? 2 2.

12 分

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别

? 3? ?1, ? F1F2 ? 2 F F 1 2 为 和 ,且 ,点 ? 2 ? 在该椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

12 2 F AF B F (Ⅱ)过 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△ 2 的面积为 7 ,求以 2 为 圆心且与直线 l 相切圆的方程.
20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别

3 为 F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2,点(1, 2 )在该椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

12 2 (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 7 ,求以 F2 为
圆心且与直线 l 相切圆的方程.

x2 y2 ? ?1 2 2 3 【答案】 (Ⅰ) 4 ; (Ⅱ) ( x ? 1) ? y ? 2 .
【解析】

3 F F 试题分析: (Ⅰ)因为| 1 2 |=2,所以 c ? 1 .又点(1, 2 )在该椭圆上,所以根据椭
圆的定义可求出 a 的值,从而求出 b . (Ⅱ)首先应考虑直线 l ⊥x 轴的情况,此时 A(-1,

14

3 3 -2) ,B(-1, 2 ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题意.当直线 l 与 x 轴不垂直时,
1 S ?AF2 B ? ? | AB | ?r 2 . 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k ( x+1 ) .代入椭圆方程得:

12(k 2 ? 1) (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,用弦长公式可得|AB|= 3 ? 4k 2 ,用点到直线的

2|k |
距离公式可得圆 F2 的半径 r= 1 ? k 半径,进而得到圆的方程为. 试题解析: (Ⅰ)因为| F1 F2 |=2,所以 c ? 1 .
2

,这样根据题中所给面积可求出 k 的值,从而求出

3 3 3 2a ? (1 ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? (1 ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? 4 2 2 又点(1, 2 )在该椭圆上,所以 .
所以 a ? 2, b ? 3 .
2

x2 y2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的方程为 4

(4 分)

3 3 (Ⅱ)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,- 2 ) ,B(-1, 2 ) , ? A F2 B 的面积为 3,不
符合题意. (6 分)

② 当 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直时 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y=k ( x+1 ) . 代 入 椭 圆 方程得 :

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ? ?

8k 2 8k 2 ? 12 x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 ,

12(k 2 ? 1) 2 可得|AB|= 3 ? 4k

. . (9 分)

15

2|k |
又圆 F2 的半径 r= 1 ? k ,
2

12 | k | k 2 ? 1 12 2 1 3 ? 4k 2 ∴ ? A F2 B 的面积= 2 |AB| r= = 7 ,
化简得:17 k + k -18=0,得 k=±1, ∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2
4 2

. . (13 分)

考点:1、椭圆的方程;2、直线与圆锥曲线的位置关系.

21.设函数

f ? x ? ? x2 ? 2x ? a ln x

f ? x? 1, f ?1? (1)当 a ? 2 时,求函数 在点 处切的切线方程;
(2)若函数

?

?

f ? x?

f ? x1 ? 3 ? ? ? ln 2 x2 2 ②证明:
y ? 2x ? 3

存在两个极值点

x1、x2 ? x1 ? x2 ?

,①求实数 a 的范围;

【答案】 (1) ; (2) 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的 极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的 能力、 转化能力、 计算能力. 第一问, 将 a ? 2 代入, 对 f ( x) 求导, 切点的纵坐标为 f (1) ,
' ' f ? x? 斜率为 f (1) , 利用点斜式写出切线方程; 第二问, 对 f ( x) 求导, 令 f ( x) ? 0 , 将函数

0?a?

1 2 ,证明详见解析.

存在两个极值点

x1、x2 ? x1 ? x2 ?

2 ,转化为方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的正根,利

' 用二次函数的图象分析列出不等式,解出 a 的取值范围;对 f ( x) 求导,求出 f ( x) ? 0 的

根,得到

f ( x1 ) x2

的表达式,构造函数

h ?t ? ? 1 ? t ?

1 ? 2t ln t h ?t ? t ?1 ,利用导数判断函数
f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2 x,
16

的单调性,求出最小值,即证明了结论.
2 试题解析: (1)当 a=2 时, f ( x) ? x ? 2x ? 2ln x ,

? 则 f (1) ? ?1 , f (1) ? 2 ,所以切线方程为 y ? 2 x ? 3 .4 分

(2)

f ?( x) ? 2x ? 2 ?

a 2 x2 ? 2 x ? a ? 2 ? x x (x?0) ,令 f ( x) ? 0 ,得 2 x ? 2 x ? a ? 0 ,

2 ①函数 f ?x ? 有两个极值点等价于方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 有两个不同的正根,

? u?0? ? a ? 0 1 ? 0?a? ? ? 4 ? 8a ? 0 所以 2, 设 u ?x ? ? 2 x ? 2 x ? a , ?
2

所以函数

f ( x)

有两个极值点 x1 , x 2 ,则

0?a?

1 2,
x1 ? 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a x2 ? 2 2 , ,

2 ? ②由 f ( x) ? 0 ,得 2 x ? 2 x ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 1 ,

0 ? x1 ?

1 ? x2 ? 1 2
2

f ? x1 ? x12 ? 2 x1 ? a ln x1 ? x1 ? 1? ? 1 ? 2 x1 ?1 ? x1 ? ln x1 1 ? ? ? 1 ? x1 ? ? 2 x1 ln x1 x2 1 ? x1 1 ? x1 x1 ? 1 h ?t ? ? 1 ? t ? t ?t ? 2? 1 1 ? 2t ln t , h ' ? t ? ? ?1 ? ? 2 ?1 ? ln t ? ? ? 2 ln t ? 0 2 2 t ?1 ? t ? 1? ? t ? 1?

h ?t ?

3 ? 1? ?1? h ? t ? ? h ? ? ? ? ? 2ln 2 ? 0, ? 2 ?2? 在区间 ? 2 ? 上递减, ,

f ? x1 ? 3 ? ? ? ln 2 x2 2 所以

请考生在第 22、23 二题中任选一题作答(在答题卡相应位置填涂),如果多做,则按所做 的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? 1 ? cos ? ? y ? sin ? ( ? 为参数,0 ? ? ? ? ) xOy 在直角坐标系 中,半圆 C 的参数方程为 ? ,以
O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
17

(Ⅰ)求 C 的极坐标方程;

? (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 5 3 ,射线 OM: ? ? 与半圆 C 的
3
交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

? ? ? 2 cos ? , ? ? [0, ]
【答案】 (1)

2 ; (2)4.

【解析】 试题分析:本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转 化等基础知识,意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.第 一问,先利用参数方程与普通方程的转化公式将圆 C 的方程转化为普通方程,再利用公 式 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 转化为极坐标方程;第二问,利用圆 C 的极坐标方程求出点 P 的极坐标,再利用直线 l 的极坐标方程求出点 Q 的极坐标,最后利用 算即可. 试题解析: (Ⅰ)半圆 C 的普通方程为 ( x ?1) ? y ? 1(0 ? y ? 1) 错误!未找到引用源。
2 2

| PQ |?| ?1 ? ?2 | 计

错误!未找到引用源。 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 错误!未找到引用源。 ,

? ? ? 2 cos ? , ? ? [0, ]
所以半圆 C 的极坐标方程是 分)

2 错误! 未找到引用源。 .

(5

? ?1 ? 2 cos ?1 ? ? ? ?1 ? ? ( ? ,? ) 3 错误!未 (Ⅱ)设错误!未找到引用源。 1 1 为点 P 的极坐标,则有 ?
? ?1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? 3 ,错误!未找到引用源。 找到引用源。 ,解得 ?

? ?2 (sin ?2 ? 3 cos ?2 ) ? 5 3 ? ? ? ?2 ? ? ( ? ,? ) 3 设错误!未找到引用源。 2 2 为点 Q 的极坐标,则有 ?

18

? ?2 ? 5 ? ? ? ?2 ? ? 3 ,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 解得 ?
由于

?1 ? ?2 错误!未找到引用源。 | PQ |?| ?1 ? ?2 |? 4 错误!未找到引用源。 ,所以 ,所

以 PQ 的长为 4. (10 分) 考点:极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化. 23. (本题小满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? a

, g ( x) ? x ? 3 .

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集;

a 1 x ? [? , ) 2 2 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当

? ?1, ? x | 0 ? x ? 2? ? 3? 【答案】 (Ⅰ) ; (Ⅱ) ?
【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 由 a ? ?2 以 及 求 不 等 式 f ( x ) ? g ( x ) 的 解 集 , 等 价 变 换 为

?

4?

2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? 0

由分段函数即可到结论.

( Ⅱ ) 由 a ? ?1 , 且 当

x ? [?

a 1 , ) 2 2 即 可 化 简 函 数 f ( x) , 由 此 可 得 x ? a ? 2 对

a a 1 ? x ? [? , ) 2 2 恒成立,所以 x 的最小值 2 大于等于 a ? 2 .即可得到结论.

2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? 0 试题解析: (Ⅰ)当 a=-2 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 ,
1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? y ? ? ? x ? 2, ? x ? 1 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? y ? 2 x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? 设函数 ,则 ,其图象如图所示

19

从图象可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是

?x | 0 ? x ? 2? ;

a 1 x ? [? , ) 2 2 , f ( x) ? 1 ? a , 不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 所以 (Ⅱ )当
4 a 1 a a? x ? [? , ) ? ? a?2 x ? a?2 对 3 ,从而 a 的取值范围是 2 2 都成立,故 2 ,即

4? ? ? ?1, ? 3? . ?


20


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