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1.1分类加法计数原理与分步计数乘法原理(3)


普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 1 [普通高中课程数学选修

1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理(3) 与分步乘法计数原理(3)

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 2 [普通高中课程数学选修

复习回顾: 复习回顾
?两个计数原理的内容是什么 两个计数原理的内容是什么? 两个计数原理的内容是什么

?解决两个计数原理问题需要注意什么问题 解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题 有哪些技巧? 有哪些技巧

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 3 [普通高中课程数学选修

例1 一种号码锁有4个拨号盘, 一种号码锁有4个拨号盘, 每个拨号盘上有从0 10个数字 个数字, 每个拨号盘上有从0到9共10个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数 字号码? 字号码? 10×10×10× 10000( N=10×10×10×10=10000(种)

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 4 [普通高中课程数学选修

要从甲、 例2 要从甲、乙、丙3名工人中 选出2名分别上日班和晚班, 选出2名分别上日班和晚班,有多少 种不同的选法? 种不同的选法? 第一步: 人上日班; 第一步:选1人上日班; 有3种方法 第二步: 第二步:选1人上晚班. 有2种方法 人上晚班 N =3 ×2 =6 (种)

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 5 [普通高中课程数学选修

第1类:从会唱歌者中选1人唱歌; 从会唱歌者中选1人唱歌; 从会跳舞者中选1人跳舞; 第2类:从会跳舞者中选1人跳舞; 第3类:从能歌善舞者中选1人唱歌 从能歌善舞者中选1 或跳舞; 或跳舞;

某班有5人会唱歌,另有4 例3 某班有5人会唱歌,另有4人 会跳舞,还有2人能歌善舞, 会跳舞,还有2人能歌善舞,从中任 人表演一个节目, 选1人表演一个节目,共可表演多少 个节目? 个节目?

13( N=5+4+2×2=13(种)

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人中选4人参加数、 例4 从5人中选4人参加数、理、 化学科竞赛,其中数学2 化学科竞赛,其中数学2人,理、化 求共有多少种不同的选法? 各1人,求共有多少种不同的选法? 物理1人 化学1人 数学2人 化学1 数学2 物理1 5种 4种 3种

60( N=5×4×3=60(种)

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 7 [普通高中课程数学选修

有架楼梯共6 例4 有架楼梯共6级,每次只允 许上一级或两级, 许上一级或两级,求上完这架楼梯共 有多少种不同的走法? 有多少种不同的走法? 第1 类:走3 步 第2 类:走4 步 第3 类:走5 步 第4 类:走6 步 1种走法 6种走法 5种走法 1种走法

13( N=1+6+5+1=13(种)

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 8 [普通高中课程数学选修

由数字0 例6 由数字0,1,2,3,4,5可 以组成多少个无重复数字的三位数? 以组成多少个无重复数字的三位数? 百位 十位 个位 5种 5种 4种

100( N=5×5×4=100(种)

200这些自 例7 在1,2,3,…,200这些自 然数中,各个数位上都不含数字8 然数中,各个数位上都不含数字8的 自然数共有多少个? 自然数共有多少个? 不含8 不含8的一位数 不含8 不含8的二位数 不含8 不含8的三位数 8个 8×9=72个 9=72个 9×9+1=82个 9+1=82个

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162( N=8+72+82=162(个)

种不同颜色给图中A 例8 用5种不同颜色给图中A,B, 四个区域涂色, C,D四个区域涂色,每个区域只涂 一种颜色,相邻区域的颜色不同, 一种颜色,相邻区域的颜色不同, 求共有多少种不同的涂色方法? 求共有多少种不同的涂色方法? A5 C3 4 B D3

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180( N=5×4×3×3=180(种)

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例9 将一个四棱锥的每个顶点染上 一种颜色, 一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜 色不同,如果只有5种颜色可供使用, 色不同,如果只有5种颜色可供使用,求 共有多少种不同的染色方法? 共有多少种不同的染色方法? S
C D A

涂S 点 涂A 点 涂D 点 B 涂B 、C 点

5 4 3 7

420( N=5×4×3×7=420(种)

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例10 从-3,-2,-1,0,1,2, 3中任取三个不同的数作为抛物线 2+bx+ (a≠0)的系数,如果抛物 y=ax x+c( ≠0)的系数 y= x x+ ≠0)的系数, 线过原点,且顶点在第一象限,问 线过原点,且顶点在第一象限, 这样的抛物线共有多少条? 这样的抛物线共有多少条? c取值 c=1 取值 1种 a取值 a<0 取值 3种 3种 b取值 b>0 取值 N=3×3×1=9(种)

名田径运动员报名参加100m 100m, 例11 某4名田径运动员报名参加100m, 200m和400m三项短跑比赛 三项短跑比赛. 200m和400m三项短跑比赛. 每人限报1个项目, (1)每人限报1个项目,共有多少种不 同的报名方法? 同的报名方法? 每人至少报1个项目, (2)每人至少报1个项目,且每个项目 限报1 共有多少种不同的报名方法? 限报1人,共有多少种不同的报名方法? 81种 (1)34=81种; 96种 (2)43=96种.

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630的正约数 包括1 630) 的正约数( 例12 630的正约数(包括1和630) 共有多少个? 共有多少个? 630= 630=2×32×5×7 正约数:2a×3b×5c×7d 正约数:2 2×3×2×2=24(个) 24(

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20个大小相同的小球放入编号 例13 将20个大小相同的小球放入编号 的三个盒子中, 为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子 内的球数不小于该盒子的编号数, 内的球数不小于该盒子的编号数,求共 有多少种不同的放法? 有多少种不同的放法? 15+14+ 15+14+…+2+1=120(种) 120(

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某电视节目中有A 两个信箱, 例14 某电视节目中有A、B两个信箱, 分别存放着先后两次竞猜中入围的观众 来信,其中A信箱中有30封来信, 30封来信 来信,其中A信箱中有30封来信,B信箱 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B 20封来信 中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信 箱中抽取1名幸运观众, 箱中抽取1名幸运观众,再由该幸运观众 两个信箱中各抽取1名幸运伙伴, 从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴, 求共有多少种不同的可能结果? 求共有多少种不同的可能结果? 30×29×20+20×19× 30×29×20+20×19×30 17400+11400=28800( =17400+11400=28800(种)

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练习: 练习:
三个比赛项目,六人报名参加。 三个比赛项目,六人报名参加。 1)每人参加一项有多少种不同的方法? 6 = 729 每人参加一项有多少种不同的方法? 3 2)每项1人,且每人至多参加一项,有多 每项1 且每人至多参加一项, 少种不同的方法? 少种不同的方法? 6×5×4 =120 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多 每项1 每人参加的项数不限, 少种不同的方法? 少种不同的方法? 3

6 = 216

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一、排数字问题

这六个数字, 例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字 这六个数字 (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? 的奇数 (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于 可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 可以组成多少个各位数字不重复的小于 的自然数? 的自然数 (3)可以组成多少个大于 可以组成多少个大于3000,小于 小于5421且各位 可以组成多少个大于 小于 且各位 数字不允许重复的四位数? 数字不允许重复的四位数

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引申: 引申

1、将数字1,2,3,4,填入标号为 、将数字 填入标号为1,2,3,4的四个 填入标号为 的四个 方格里,每格填一个数字 每格填一个数字,则每个格子的标 方格里 每格填一个数字 则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_____种 号与所填的数字均不同的填法有 种
1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填 号方格里可填2 三个数字, 号方格填好后,再填与1 法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相 同的号的方格,又有3种填法, 同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只 种填法。 有1种填法。 所以共有3*3*1=9种不同的方法。 种不同的方法。 所以共有 种不同的方法

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二、映射个数问题: 映射个数问题
?例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多 例 从 到 共有多 少种不同的映射? 少种不同的映射

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三、染色问题: 染色问题
? 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色 要求 种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 种不同颜色为下列两块广告牌着色 ①②③ 四个区域中相邻(有公共边界 有公共边界)区域中 在①②③④四个区域中相邻 有公共边界 区域中 不用同一种颜色. 不用同一种颜色 ? (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法 着色时共有多少种方法? ? (2)若为 着色时共有 若为(2)着色时共有 种不同方法,求 若为 着色时共有120种不同方法 求n 种不同方法 ? ? ? ? ① ② (1) ③ ④ ② (2) ① ③ ④

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要给地图A、 、 、 四个区域分 2、如图,要给地图 、B、C、D四个区域分 如图 要给地图 别涂上3种不同颜色中的某一种 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 别涂上 种不同颜色中的某一种 允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色 不 色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色,不 但相邻区域必须涂不同的颜色 同的涂色方案有多少种? 同的涂色方案有多少种?

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按地图A、 、 、 四个区域依次分 解: 按地图 、B、C、D四个区域依次分 四步完成, 四步完成 第一步, m1 = 3 种, 第一步 第二步, m2 = 2 种, 第二步 第三步, m3 = 1 种, 第三步 第四步, m4 = 1 种, 第四步 所以根据乘法原理, 所以根据乘法原理 得到不同的涂色方案 1× 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

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要给地图A、 、 、 四个区域分 2、如图,要给地图 、B、C、D四个区域分 如图 要给地图 别涂上3种不同颜色中的某一种 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 别涂上 种不同颜色中的某一种 允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色 但相邻区域必须涂不同的颜色,不 色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不 同的涂色方案有多少种? 同的涂色方案有多少种? 思考: 思考:
若用2色、4色、5色 若用 色 色 色 结果又怎样呢? 等,结果又怎样呢? 结果又怎样呢 答:它们的涂色方案种数 它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 、 × × × = 48、 5×4×3×3 = 、 × × × 180种等。 种等。 种等

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种不同颜色给图中的A 四个区域涂色, 3.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 如图, 种不同颜色给图中的 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。 B 分析:如图, 三个区域两两相邻, 分析:如图,A、B、C三个区域两两相邻, A A
不相邻,因此A 与D不相邻,因此A、B、C三个区域的颜色两两 不同, 两个区域可以同色,也可以不同色, 不同,A、D两个区域可以同色,也可以不同色, 不同色。由此可见我们需根据A 但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D 同色与不同色分成两大类。 同色与不同色分成两大类。

C

D

解:先分成两类:第一类,D与A不同色,可分成四步完成。 先分成两类:第一类, 不同色,可分成四步完成。 第一步涂A 种方法,第二步涂B 种方法;第三步涂C 第一步涂A有5种方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C 种方法;第四步涂D 种方法。根据分步计数原理, 有3种方法;第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理, 共有5 120种方法 种方法。 共有5×4×3×2=120种方法。 第二类,A、D同色,分三步完成,第一步涂A和D有5种 第二类, 同色,分三步完成,第一步涂A 方法,第二步涂B 种方法;第三步涂C 种方法。 方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法。根据分 步计数原理,共有5 60种方法 种方法。 步计数原理,共有5×4×3=60种方法。 根据分类计数原理,共有120+60=180种方法。 根据分类计数原理,共有120+60=180种方法。 120+60 种方法

普通高中课程数学选修2-3] 1.1计数原理 普通高中课程数学选修 计数原理 26 [普通高中课程数学选修 5 某城市在中心广场建造一个花圃, 4、某城市在中心广场建造一个花圃, 1 花圃分为6个部分 如右图) 个部分( 花圃分为 个部分(如右图)现要栽 种不同颜色的花, 种4种不同颜色的花,每部分栽种一 种不同颜色的花 3 4 2 6 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有______种.(以 不同的栽种方法有 种 ( 数字作答) 数字作答) 解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花, 解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看 知必有2组同颜色的花, 知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求 同色, ③⑥也同色或④⑥也同色 也同色或④⑥也同色, (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种; =4× 1=48种

同色, ②④或⑥④同色 同色, (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 ) N2=4×3×2×2×1=48种; =4× 1=48种 (3)②与④且③与⑥同色,则共N3=4×3×2×1=24种 ② =4× 1=24种 同色, 所以, 所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.

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5、如图,是5个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、 、如图, 个相同的正方形, 个相同的正方形 用红、 种颜色涂这些正方形, 黑5种颜色涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜 种颜色涂这些正方形 且相邻的正方形涂不同的颜色。 色,且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用,那么共有多少种涂色方法? 复使用,那么共有多少种涂色方法?

6、将3种作物种植在如图所示的5块试验田里, 、 种作物种植在如图所示的5块试验田里, 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一 种作物, 种作物,不同的种植方法共有 种(以数 42 字作答) 字作答)

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四、子集问题

规律: 元集合 规律:n元集合 A = {a1 , a2 ,..., an } 的不 n 同子集有个 2 。 例:集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 集合 它的子集个数 为 ,真子集个数为 ,非空 子集个数为 ,非空真子集个数为 。

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五、综合问题: 综合问题
? 例4 若直线方程 若直线方程ax+by=0中的 可以 中的a,b可以 中的 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同 这五个数字中任取两个不同 的数字,则方程所表示的不同的直线共有 的数字 则方程所表示的不同的直线共有 多少条? 多少条

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75600有多少个正约数 有多少个正约数? 2、75600有多少个正约数?有多少个奇约 数?
75600= 解:由于 75600=24×33×52×7 (1)75600的每个约数都可以写成 2l ? 3 j ? 5k ? 7l (1)75600的每个约数都可以写成 75600 的形式, 的形式,其中 0 ≤i ≤ 4 ,0 ≤ j ≤ 3 ,0 ≤ k ≤ 2 0 ≤l ≤1 , 于是, 要确定75600 的一个约数, 可分四步完成, 即 于是 , 要确定 75600的一个约数 , 可分四步完成 , 75600 的一个约数 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值 这样i 分别在各自的范围内任取一个值, i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值 , 这样 i 有 5 种取法,j ,j有 种取法,k ,k有 种取法,l ,l有 种取法, 种取法,j 有4种取法,k有3种取法,l 有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5 120个 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

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3.一蚂蚁沿着长方体的棱 从的一个顶 一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶 一蚂蚁沿着长方体的棱 点爬到相对的另一个顶点的最近路线 共有多少条? 共有多少条?
从总体上看,如 蚂蚁从顶点 爬到顶点C 蚂蚁从顶点A爬到顶点 解:从总体上看 如,蚂蚁从顶点 爬到顶点 1 从总体上看 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成 从局部上看每类又需两步完成, 有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以, 所以 第一类, 第一类 m1 = 1×2 = 2 条 × 第二类, 第二类 m2 = 1×2 = 2 条 × 第三类, 第三类 m3 = 1×2 = 2 条 × 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点 到顶点C 所以 根据加法原理 从顶点 到顶点 1最 近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。

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4、如果把两条异面直线看成“一对”, 、如果把两条异面直线看成“一对” 那么六棱锥的棱所在的12条直线中 条直线中, 那么六棱锥的棱所在的 条直线中,异面 B 直线共有( 直线共有( )对 A.12 B.24 C.36 D.48

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2.由数字 问题 2.由数字 0,1,2,3,4 可以组成多少个 无重复数字的三位整数? 无重复数字的三位整数? 要组成一个三位数,可分三个步骤: 解:要组成一个三位数,可分三个步骤: 第一步确定百位上的数字, 第一步确定百位上的数字, 1~ 4 这 4 个数字 从 中任选一个数字, 种选法; 中任选一个数字 ,有 4 种选法; 第二步确定十位上的数字, 由于数字不能重复, 第二步确定十位上的数字, 由于数字不能重复, 种选法; 共有 4 种选法 ; 第三步确定个位上的数字, 种选法. 第三步确定个位上的数字,有 3 种选法.根据 乘法原理, 乘法原理 , 得到可以组成的三位整数的个数 N=4× 3=48. 是 N=4×4 ×3=48. 答:可以组成 48 个三位整数. 个三位整数.


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