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2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题详细解答(word版)


2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
(考试时间: 2015 年 5 月 17 日上午 8 : 30 一 10 : 30 ) 注意:1.所有答题均写在密封线右边,写在其他纸上一律无效; 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分,请将答案填写在下面答题卡相应的 横线

上) 1.函数 y ?

2 x2 ? 3x ? 2 ? x 2 ? x 的最小值是


2

解 析 : 定 义 域 为 (??, 0] [1, ??) , 设 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 2 ? 2( x ? ) ?
2

3 4

7 , 8

1 1 g ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? .∵当 x ? 0 时 f ( x) 单调递减, g ( x) 单调递减, ∵当 x ? 0 2 4 时 f ( x) ? g ( x) 单调递减.同理,当 x ? 1 时 f ( x) ? g ( x) 递增,而当 x ? 0 时函数值

y ? f (0) ? g(0) ? 2 ,当 x ? 1 时 y ? ymin ? 1 .
1 10 2 9 2. 611 ? C11 6 ? C11 6 ?

而当 x ??? 时, y ? ?? , ∴ f (1) ? g (1) , .
11

10 ? C11 6 ?1被 8 除所得余数是
11

解析:原式= ? (6 ? 1)11 ? 2 ? 711 ? 2 .∵ 7 ? 2 ? 7 ? 1 ? 3

? (7 ? 1)(710 ? 79 ? ? 7 ? 1) ? 3 ? 8(710 ? 79 ? ? 7) ? 5 ,∴原式被 8 除余数为 5. 3.己知实数 x, y, z 满足 x ? y ? 2 z ? 4, xy ? yz ? zx ? 2 ,则 z 的取值范围是 .
解析:由己知得 x ? y ? 4 ? 2 z, xy ? 2 ? z ( x ? y) ,由 ( x ? y)2 ? 4 xy ,将前面两个式子 代入得 z ? 2 ? 0 得 ? 2 ? z ?
2

2.
1 (n ? N * ) ,其前 n 项和为 Sn , (n ? 1) n ? n n ? 1
项.

4.己知数列{ an }的通项公式为 an ? 则在数列 S1 , S2 , 解析:∵ ak ?

, S2015 中,有理数项共有

1 k ?1 ? k 1 1 , ? ? ? (k ? 1) k ? k k ? 1 k (k ? 1) k k ?1 n n 1 1 1 ∴ Sn ? ? ak ? ? ( . ? ) ? 1? k k ?1 n ?1 k ?1 k ?1 2 2 2 2 ∵ 2025 ? 45 ,∴ n ? 1 ? 2 ,3 , 4 , , 44 ,从而 S1 , S2 , , S2015 中只有 43 个有理项.
5.四面体 A-BCD 中, AB = CD =5 , AC = BD= 34 , AD=BC= 41 ,则四面体 A-BCD 的外接球半径为 . 解析:∵构造棱长分别为 3、4、5 的长方体,则四面体 A-BCD 的外接球即为长方体的 外接球,∴ 2 R ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 2, R ?
2 2 2

5 2 . 2

2 6 . 函 数 y ? a x ? b x? 的 c 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 , a, b, c 互 异 , 且 都 在 集 合

A ?{n | | n ? | 5, n? Z中取值,则这些抛物线中通过点( } 0,-l)的有 个. A c ? ? 1 解析:∵抛物线过点(0,-l), ∴ , ∴ ={-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1,2,3,4, 5},∴ a 只能 1 1 1 1 从-5,-4,-3,-2 中取一个有 C4 种取法, b 则有 C9 种取法,由乘法原理共有 C4 =36 种 C9
可能. 7.△ABC 内有 2015 个点,加上三个顶点,共有 2018 个点.把这些点连线,形成互不重叠 的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数是 .

解析:∵ an?1 ? an ? 2, a1 ? 3 ,∴ an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1, a2015 ? 4031. 8.在锐角△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边长依次为 a, b, c , 若 B 的取值范围是
2

b2 cos 2 B ? ,则∠ ac cos A cos C


2

c 2 ? a 2 ? b2 2 ) b cos B b ca ? 解析:∵ ,∴ , ? 2 2 2 ac cos A cos C ac b ? c ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc 2ab 4 4 2 2 2 2 c ?a 2c a c ? a ? b2 ca 1 2 2 b2 ? 2 ? c ? a ? cos B ? ? 2 ? , ,∵ 2 2 2 2 c ?a c ?a 2ca c ?a 2 ? ? ∴ B ?[ , ) . 3 2 9 . 设 复 数 z1 ? ( 2 ? a ) ? (1?b i )2 , z ? (3 ? a 2 ? ) (? 2b 3 i3 z ) ,? ? (a 3 ? ) ?(, 3 b其 i 2中) a, b? R,当 | z1 | ? | z2 | ? | z3 | 取得最小值时, 3a ? 4b = .
2

(

解 析 : ∵ 易 求 得 z1 ? z 2? z ? 3 8 ? 6i , | z1 | ? | z2 | ? | z3 |?| z1 ? z2 ? z3 |? 10 , ∴

| z1 | ? | z2 | ? | z3 | 取 得 最 小 值 , 当 且 仅 当

2 ? a 3 ? 2a 3 ? a 8 ? ? ? .解得 1 ? b 2 ? 3b 3 ? 2b 6

7 5 a ? , b ? ,3a ? 4b ? 12 . 3 4 10.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合{1, 2,…,500}中任取一个元素 m ,若 m 整 1 除 n 的概率是 ,则正整数 n 的最大值是 . 100 ?k ? 解析:∵由题设 n 恰有 5 个约数,设 n 的质因数分解是 n ? p1 1 ,∴ n 的约数个 pk
数为 (?1 ? 1)(?2 ? 1)

(?k ? 1) ? 5, n 具有 p 4 的形式.

∵ 34 ? 81,54 ? 625 ? 500 ,∴ n 的最大值为 81. 二、解答题(本大题共 3 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11. (本小题满分 20 分)设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 3 ,求 小值. 解:由柯西不等式知

a4 b4 c4 ? ? 的最 b2 ? c c2 ? a a 2 ? b

a4 b4 c4 ? ? ) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 , b2 ? c c 2 ? a a 2 ? b a4 b4 c4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ∴ 2 . b ? c c ? a a ? b b ? c ? c2 ? a ? a 2 ? b a 2 ? b2 ? c2 ? 3 1 2 2 2 2 2 2 2 令 a ? b ? c ? x ,∴ x ? a ? b ? c ? (a ? b ? c ) ? 3 , 3 a4 b4 c4 x2 ? 2 ? 2 ? ∴ 2 . b ?c c ?a a ?b x?3 x2 x2 ? 6 x ' ( x ? 3) ,∴ f ( x) ? 设 f ( x) ? ? 0 ,∴ f ( x) 在 [3, ??) 单调递增. x?3 ( x ? 3)2 3 a4 b4 c4 3 ? 2 ? 2 ? .∴当且仅当 a ? b ? c ? 1 取到 ∵ f ( x) ? f (3) ? ,∴ 2 2 b ?c c ?a a ?b 2 (b2 ? c ? c 2 ? a ? a 2 ? b)(

最小值,所求最小值为

3 . 2

12. (本小题满分 25 分)如图,已知 PA、PB 是由 O 外一点 P 引出的两条切线, M、N 分别是线段 AP、AB 的中点,直线 MN 交⊙O 于 C、 E 两点,点 N 在 M 与 C 之间, PC 交⊙O 于点 D, 延长 ND 交 PB 于点 Q.证明:四边形 MNQP 为菱形.
证明:连结 OP, OA, OC , EP ,显然 O, P, N 三点共线, 且 OP ? AB , 所以 N 是 AB 中点,由 M 是 PA 的中点,故 MN ? MP ? MA



MN
2

PQ .
2

……………………(5 分)

PM ? AM ? ME ? MC , 所以 ?MPE ∽ ?MCP , ?MCP ? ?MPE .……………………(10 分) 又 O, A, P, B 四点共圆, ON ? PN ? AN ? BN ? CN ? EN , 故 O, C , P, E 四点共圆, ?OCN ? ?EPN . ……………………(15 分)
?PAO 是直角三角形,有 PN ? PO ? PA2 ? PD ? PC , 于是 C , D, N , O 四点共圆. ……………………(20 分) ?QNP ? ?PCO ? ?MCP ? ?MCO ? ?MPE ? ?EPN ? ?APN , 所以 M NPQ ,四边形 MNQP 是菱形. ……………………(25 分)
13.(本小题满分 25 分)动点 P 在椭圆 x2 ? a( y ?1)2 ? a(a ? 0) 上移动时,求连结原点 O 和点 P 所得线段长的最大值. 解:设点 P( x, y) ,∵将椭圆方程变形为

x2 ( y ? 1)2 ? ? 1,∴椭圆的中心在(0, l), 1 ( a )2
2 2 2

x, y 满足: ? a ? x ? a ,0 ? y ? 2 .
∵ OP ? x ? y ? a ? a( y ?1) ? y ? a ? a( y ? 2 y ? 1) ? y ? (1 ? a) y ? 2ay .
2 2 2 2 2 2 2 ∴在条件 0 ? y ? 2 下, OP ? (1 ? a) y ? 2ay 的最大值可作如下分析: 2 2 2 (l) 当 0 ? a ? 1 时,∵ OP ? (1 ? a) y ? 2ay ? (1 ? a) ? 2 ? 2a ? 2 ? 4 ,∴ y ? 2 时,

OP |max ? 2 ;
a 2 a2 a2 ) ? ?2 (2) 当 a ? 1 时, ∵ OP ? (1 ? a) y ? 2ay ? (1 ? a)( y ? , ∴在 a ?1 a ?1 a ?1 a a 时,即在 a ? 2, y ? , OP |max ? ;∵在 1 ? a ? 2 时时最大值在 y ? 2 取得,∴ a ?1 a ?1 OP |max ? 2 . a 综合上述:当 0 ? a ? 2 且 a ? 1 时, OP |max ? 2 ;当 a ? 2 时 OP |max ? . a ?1
2 2


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