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[高一]第七届希望杯全国数学邀请赛试题


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第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
班级 姓名 一、选择题 1、集合 {0,1,2} 的子集个数为------------------------------------------------------------( (A)

3 (B)4 (C)7 (D)8 2、函数 f ( x ) = a sin x + b 的最大值是-------------------------------------------------( (A) | a + b | (B) | a | + b (C) a + b (D) a+ | b | + ) ) 3、函数 y = 2 sin 2(1 x ) 的最小正周期是---------------------------------------------( (A) 2π (B) π (C) 4π (D) 3π 4、在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC 与 B1D 间的距离是------------( (A) ) )

2 2

(B)1

(C)

5 4

(D)

3 2

5、以下命题中,正确的是----------------------------------------------------------------( ) (A)两个平面斜交,则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。 (B)过平面 α 的一条斜线的平面与 α 一定不垂直。 (C) a , b 是异面直线,过 a 必能作一个平面与 b 垂直。 (D)同垂直于一个平面的两个平面平行。 6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点,在这样的一个四面体中,直角三角形最 多有----------------------------------------------------------------------------( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 7、 若关于 x 的方程 ( x + 1) = 2a + 1 和 ( x + 2) = 2ax 中至少有一个方程具有两个不等实根, ) 则实数 a 的集合为--------------------------------------------------------------(
2 2

(A) (

1 ,+∞ ) (B) ( 1,0) ∪ (4,+∞ ) (C) (0,4) 2
x2

(D)R )

8、若 x ∈ ( 2,4) , a = 2
2

, b = (2 ) , c = 2
x 2

2x

,则 a , b, c 的大小关系是-----( (D) b > a > c

(A) a > b > c (B) a > c > b
x+2

(C) c > a > b

9、方程 ( x x 1) ) = 1 的整数解的个数是---------------------------------------( (A)1 (B)3 (C)4 (D)5 10、有三个命题: ①函数 y = f ( g ( x )) ,其中 u = g ( x ) 在区间 D 上是增函数, y = f ( u) 在区间 D 上是减 函数,则函数 y = f ( g ( x )) 在区间 D 上是减函数。
1 ② 函 数 y = f ( x) 有 反 函 数 y = f ( x) , 若 y = f ( x) 是 区 间 D 上 是 增 函 数 , 则

y = f 1 ( x ) 也是区间 D 上是增函数。 ③函数 y = f ( x ) 在定义域 A 上存在反函数,则 f ( x ) 在 A 上是单调函数。
以上三个命题中,正确的个数为----------------------------------------------------( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、A 组填空题 11、三棱柱的对角线条数为 12、方程 lg x = log 0.1 x 的解集为 )

。 。

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13、已知集合 M = { x | x ≥ 1} , N = { x | 0 ≤ x < 5} ,全集 I = R ,则 M ∪ N = 14、若 sin



θ 4 = ,且 sin θ < 0 ,则 θ 所在的象限是第 2 5

象限。

15 、 函 数 f ( x ) = sin( 2 x + ) 的 图 象 的 一 条 对 称 轴 的 方 程 是 x =

。 16、在正四面体 ABCD 中,△ABC 和△ACD 的中心分别为 M 和 N,且 MN=1,这个四面体的高 为 。 17 、 已 知 f ( x ) 是 奇 函 数 , g ( x ) 是 偶 函 数 , 且 f ( x ) g ( x ) = x + 2 x + 3 , 则
2

=

π , 且 ∈ ( 0, π ) , 则 8

f ( x ) + g( x ) =
2


2

18、 关于 x 的方程 x ( 2m 8) x + m 16 = 0 的两个实根中, 一个比 则 m 的取值范围是
2

3 3 大, 另一个比 小, 2 2




19、函数 f ( x ) = x lg a x + 1 的图象与 x 轴有两个交点,则 a 的取值范围是

20、 三条直线 a , b, c 两两成异面直线, 它们互相成等角, 且存在一个平面与它们都平行, a , b 则 所成的角为 。 三、B 组填空题 21、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 的中点,则二面角 B1-DE-A1 的平面角的余弦 是 。 22、函数 f ( x ) 的值域为 ( ,4] ,则 g ( x ) = f ( x ) 2

1 4

f ( x ) 的值域为



23、在空间四边形 ABCD 中,AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD,则 AD 与 BC 所成 的角的正切值是 。 。 24、集合 M = { x | x = a x ( a +1) x + a , a > 1} ,M 中的元素个数是 25、在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 上一点,且 A1E=1,F 为截面 A1BD 内一动点,则 AF+FE 的最小值等于 。
2

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第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一) 第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第二试
班级 一、选择题 1、已知函数 f ( x ) = ax + b sin x + 10 ,且 f (1) = 5 ,则 f (1) 的值是---------(
3

姓名 ) )

(A) 5 (B)15 (C)5 (D)不确定的 2、 α 、 β 都是第二象限的角,以下命题中正确的是--------------------------------( (A)若 α > β ,则 sin α < sin β (B)若 α > β ,则 tgα > tgβ

(C)若 sin α > sin β ,则 cos α > cos β (D)若 sin α > sin β ,则 tgα > tgβ 3、函数 sin x | cos x | 的最小正周期是-------------------------------------------------( (A) 2π
x



(B) π (C)

π (D)不存在 2


4、设函数 y = 2 的图象为 C,某函数的图象 C 与 C 关于直线 x = 2 对称,那么这个函数是 -------------------------------------------------------------------------------------( )
x (A) y = 2 2 x (B) y = 2 4 x (C) y = 2 x 4 (D) y = 2

5、已知 1 2 sin α cos α = cos α sin α ,则 α 的取值范围是----------------------(



5π 3π π π , 2 kπ + ] (B) [ 2kπ , 2 kπ + ] 4 4 4 4 π π π π (C) [ 2kπ ,2kπ + ] (D) [ 2kπ ,2kπ + ] (以上 k ∈ Z ) 4 4 2 2 x 6、已知函数 f ( x ) =| 2 1 | , a < b < c ,且 f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) ,则----------( (A) a < 0, b < 0, c < 0 (B) a < 0, b ≥ 0, c > 0
(A) [ 2kπ + (C) 2 < 2
a c



(D) 2 + 2 < 2
a c
. .

7 、 已 知 函 数 f ( n) = k , k 是 循 环 小 数 0. 9 1827364 5 的 小 数 点 后 的 第 n 位 数 字 , 则

f { f f [ f (1)]} 的值为----------------------------------------------------------------(
(A) 9 (B)7
2



(C)3

(D)4
2

8、二次函数 y = ax + bx + c ( a ≠ 0, c ≠ 0) 的值域为 M, y = cx + bx + a 的值域为 N,则 集合 M、N 的关系是-------------------------------------------------------------( ) (A) M N (B) M N (C) M = N (D) M ∩ N = Φ 9、在正方体的 12 条面对角线所在的直线中存在异面直线,如果其中两条异面直线间的距离是 1,那么这个正方体棱长可能取的值的集合是-----------------------( ) (A) {1} (B) { 3 } (C) {1, 3 } (D) {1, 2 } 10、四面体的六条棱长分别为 7,13,18,27,36,41。已知 AB=41,则棱 CD 的长为 ------------------------------------------------------------------------------------------( ) (A)27 (B)18 (C)13 (D)17 二、填空题 11、某班共 50 名学生,其中女团员 7 人,住校的女生 9 人,不住校的团员共 15 人,住校的男 团员有 6 人,男生中非团员且不住校的有 8 人,女生中非团员且不住校的有 3 人,共有男生 33 人,则住校学生共有 人,全班非团员共 人。
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12、右图为函数的图象,A 点坐标为 (

1 ,4) ,在直线 2

A

y

1 x = 左方是幂函数曲线,右方是指数函数曲线,则此函 2
数的解析式是 。

2 13、 已知棱长为 1 的正方体, 以它的 8 个顶点为顶点组成三角形, 其中面积为 的有 2 2 2 14、抛物线 y = x bx , y = x + bx 与直线 y = kx 最多能把平面分成 部分。
15、函数 y =

O

x
个。

x2 2 x

( x ≤ 0) ( x > 0)
2

的反函数为


2 x 3 的图象与直线

16、函数 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x , y = x = a 的公共点分 别为 P1,P2,P3,P4,P5,P6,则当点集{ P1,P2,P3,P4,P5,P6}中元素个数最少时, a 值 为 。 17、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则到直线 A1D1 及 AB1 的距离相等的截面的面积 为 。
3

1

2

18、若 sin θ , cos θ 是关于 x 的方程 8 x + 6kx + 2k + 1 = 0 的两个实根,则 k 值为 。 19、一只蚂蚁从长方体的顶点 A 出发沿各行其长方体的棱爬行,要经过每个顶点一次且只经过 一次,则不同爬法的种数为 。 20、正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是面对角线 AB1 上一动点,Q 是底面 ABCD 上一 动点,则 C1P+PQ 的最小值为 。 三、解答题
2

lg(6 x ) + lg( x 2) + log
21、 (1) 试画出由方程 象; (2)若函数 y = ax +

1 (x 10

2) = 1 所确定的函数 y = f ( x ) 的图 2

lg( 2 y )

1 与 y = f ( x ) 的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 2

22、正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 上下底面边长分别为 A1B1=2,AB=4,高为 6 ,E 为 BC 中点, 作平行于底面的截面,与线段 AD1,AB1,C1E 分别相交于 X、Y、Z,求△XYZ 面积的取值范 围。

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