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不等式的解法


不等式的解法 一. 教学目的: 一元二次不等式的解法及分类讨论的思想。 二. 教学重点、难点: 重点:分类讨论的思想,以及转化的思想方法的运用 难点:思考问题的严密性与灵活性。 三. (一)高考要求: 1. 在熟练掌握一元一次不等式(组) 、一元二次不等式的解法的基础上,掌握其它的一些 简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算 能力; 2. 掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不 等式(组) ,会用分类、换元、数形结合的方法解不等式。 3. 掌握解指数、对数不等式的方法,一般来说,与解指数、对数方程的方法类似。即: (1)同底法:能化为同底数的先化为同底数,再根据指数、对数的单调性转化为代数 不等式,底是参数时要注意对其进行讨论。并注意到对数真数大于零的限制条件。 (2)转化法:多用于指数不等式,通过两边取对数转化为对数不等式(注意转化的等 价性) 。 (3)换元法:多用于不等式两边是和的形式,或取对数后再换元,并注意所换“元” 的范围。 4. 掌握基本无理不等式的转化方法。 (二)知识点归纳: 1. 解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式. (2)解一元二次不等式. (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式. ①解一元高次不等式; ②解分式不等式; ③解无理不等式; ④解指数不等式; ⑤解对数不等式; ⑥解带绝对值的不等式; ⑦解不等式组. ⑧抽象不等式 2. 解不等式时应特别注意下列几点: (1)正确应用不等式的基本性质。 (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性。 (3)注意代数式中未知数的取值范围。 3. 不等式的同解性

?f(x) > 0 ?f(x) < 0 (1)f(x) ·g(x) > 0与 ? 或? 同解. ? g(x) > 0 ? g(x) < 0 ?f(x) > 0 ?f(x) < 0 (2)f(x) ·g(x) < 0与 ? 或? 同解. ?g(x) < 0 ?g(x) > 0 ?f(x) > 0 ?f(x) < 0 f(x) (3) > 0与 ? 或? 同解. (g(x) ≠ 0) g(x) ?g(x) > 0 ?g(x) < 0 ?f(x) > 0 ?f(x) < 0 f(x) (4) < 0与 ? 或? 同解. (g(x) ≠ 0) g(x) ?g(x) < 0 ?g(x) > 0 (5)当 a>1 时,af(x)>ag(x)与 f(x)>g(x)同解,
当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)与 f(x)<g(x)同解. ?f ( x ) ? g( x ) 同解。 (6)当 a ? 1 时, loga f (x) ? loga g(x) 与 ? ?g( x ) ? 0 ?f ( x ) ? g( x ) 当 0 ? a ? 1 时, loga f ( x ) ? loga g( x ) 与 ? 同解。 ?f ( x ) ? 0 4. 零点分段法:高次不等式与分式不等式的简洁解法

P( x) ? 0 ? 移项,通分(不轻易去 分母) 步骤:①形式: Q( x) 。
②首项系数符号>0——标准式,若系数含参数时,须判断或讨论系数的符号,化负为 正。 ③判断或比较根的大小。

【典型例题】
例 1. 不等式(1+x) (1- x )>0 的解集是( A. C.

?x ?x

0 ? x ? 1?

? 1 ? x ? 1?

B. D.

?x

x ? 0且x ? ?1?



?x

x ? 1且x ? ?1 ?

解: (1+x) (1- x )=0 的解为 x=1,x=-1(二重根) 画出数轴:
+
-1 0

+
1

-

x

∴不等式(1+x) (1-

x )>0 的解集是 ? x x ? 1且x ? ?1 ?。

1 另法:x= 2 和 x ? ?2 显然属于原不等式的解集,所以选(D) 。

x 2 ? 3x ?x 2 例 2. 解不等式 x ? x ? 2

x 2 ? 3x x( x ? 1) 2 ? x ? ?0 2 ( x ? 1)(x ? 2) 解:由 x ? x ? 2 。

其零点分别为:-1,0,1(二重根) ,2,画出数轴如下:

-

+
-1 0

-

1

-

+
2 x

1? ? ?2,?? ? 。 由图知,原不等式的解集为 ?? 1,0? ? ?

?x ? 0 ? ?3 ? x 2 ? x ?3 ? x ? 2 ? x 例 3. 求不等式组 ? 的解集。 3? x 2? x 3? x ? ?0 2 ? x ,得 3 ? x 解法一:由题设 x>0, 3 ? x ,即 ? 3 ? x ? 3 ,? 0 ? x ? 3 ,
原不等式组等价于

?0 ? x ? 2 ? (1) ?(3 ? x)(x ? 2) ? (2 ? x)(3 ? x) ; ?2 ? x ? 3 ? (2) ?(3 ? x)(2 ? x) ? ( x ? 2)(3 ? x)
由(1)得 0 ? x ? 2 ,由(2)得 2 ? x ? 故原不等式组的解集为 x 0 ? x ?

?

6 。

?

6,

3? x ?0 解法二:由已知条件可知 3 ? x 。两边平方,原不等式组等价于

?x ? 0 ? ?x ? 0 ?0? x? 6 ? 2 2 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? x 2 ? x ? 2 ? x 3 ? x ? ? ? ? x( x ? 6 )(x ? 6 ) ? 0 ? 即原不等式组的解集为 x 0 ? x ? 6 。

?

?

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特级教师 王新敞
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例 4. 解关于 x 的不等式 ??m ? 3?x ? 1??x ? 1? ? 0(m ? R) 。 解:下面对参数 m 进行分类讨论: ①当 m= ? 3 时,原不等式为 x+1>0,∴不等式的解为 x ? ?1 。

1 ? ? ?x ? ??x ? 1? ? 0 m ? 3? ②当 m ? ?3 时,原不等式可化为 ? 。 1 1 ? ? 0 ? ?1 x? m?3 m?3。 ,∴不等式的解为 x ? ?1 或

1 ? ? ?x ? ?( x ? 1) ? 0 m ? 3? ③当 m ? ?3 时,原不等式可化为 ? 。 1 m?4 ? ?1 ? m?3 m?3 ,

1 1 ? ?1 ? x ? ?1 当 ? 4 ? m ? ?3 时, m ? 3 原不等式的解集为 m ? 3 ; 1 1 ? ?1 ?1 ? x ? m?3; 当 m ? ?4 时, m ? 3 原不等式的解集为 1 ? ?1 当 m ? ?4 时, m ? 3 原不等式无解。
综上所述,原不等式的解集情况为: ①当 m ? ?4 时,解为

?1 ? x ?

1 m?3;

②当 m ? ?4 时,无解;

1 ? x ? ?1 ③当 ? 4 ? m ? ?3 时,解为 m ? 3 ; ④当 m= ? 3 时,解为 x ? ?1 ; 1 x? m?3。 ⑤当 m ? ?3 时,解为 x ? ?1 或
例 5. 已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的奇函数,不等式 f(x)>0 的解集是(m,n) ,

?m n? n ? , ? 0?m? 2 ,求不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集。 不等式 g(x)>0 的解集是 ? 2 2 ? ,其中
解:∵f(x) ,g(x)是奇函数,不等式 f(x)>0 的解集是(m,n) ,不等式 g(x)

?m n? ? , ? >0 的解集是 ? 2 2 ? ,

∴不等式 f(x)<0 的解集是 ?? n,?m ? ,

? m n? ? ? ,? ? 2? 。 不等式 g(x)<0 的解集是 ? 2

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 而不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 等价于 ? g ( x) ? 0 或 ? g ( x) ? 0 ,
所以其解集为

? ? m n ?? ? ? n m ?? ? n ? ? n ? ??m, n? ? ? 2 , 2 ?? ? ??? n,?m? ? ? ? 2 ,? 2 ?? ? ? m, 2 ? ? ? ? 2 ,?m ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?。 ?
例 6. 若不等式 kx2-2x+1-k<0 对满足 ? 2 ? k ? 2 的所有 k 都成立,求 x 的取值范围。 解:原不等式可化为 ( x ? 1)k ? (2 x ? 1) ? 0 。
2

设 f (k ) ? ( x ? 1)k ? (2 x ? 1) 根据题意有:
2

(?2 ? k ? 2) ,是关于 k 的单调函数,

2 2 ? ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ?2 x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ? 2 2 ? ? f (2) ? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,即 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0

?1? 7 1? 3 ?x? 2 2 。 解得

点评:换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现,它们也是解决含参数 问题的重要方法。

1 ( ?? ,? ) 3 , 例 7. 已知关于 x 的不等式 (a ? b) x ? (2a ? 3b) ? 0 的解为 求关于 x 的不等式 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 的解集。
解: (a ? b) x ? (3b ? 2a) ,因其解集为

1 ( ?? ,? ) 3 ,

3b ? 2a 1 ?? ? a ? b ? 0, 且 a ? b 3, 从而 a ? 2b,
又 a ? b ? 3b ? 0,? b ? 0, 将 a ? 2b 代入 (a ? 3b) x ? (b ? 2a) ? 0 ,得 ? bx ? 3b ? 0, x ? ?3 。

? 所求解集为 (??,?3) 。
2 例 8. 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | ? ? x ? ? } ,其中 ? ? ? ? 0 ,求不等式

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集。 2 解:? ? , ? 为方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根,

?

b c ? ?(? ? ? ), ? ?? ? b ? ?a(? ? ? ), c ? a?? a a 。
2

2 ? 不等式 cx ? bx ? a ? 0 可化为 a?? x ? a(? ? ? ) x ? a ? 0, ?? x2 ? (? ? ? )x ? 1 ? 0, 由已知条件得 a ? 0 得

x2 ? (


1

, 1 1 {x | x ? 或x ? } ? ? 。 ? 它的解集为 点评:根据解集的表示形式可以确定 a ? 0 。 例 9. 设关于 x 的二次方程 px ? ( p ? 1) x ? p ? 1 ? 0 有两个不等的正根,且一根大于另 一根的两倍,求 p 的取值范围。
2 2 解:由 ? ? ( p ? 1) ? 4 p( p ? 1) ? 0 ,得

?

?

1

?

)x ?

1

??

?0

?1?

2 3 2 3 ? p ? ?1 ? 3 3 。

1? p p ?1 ? 0 x1 ? x 2 ? ?0 p p 当 及 时,方程的两根为正, 解之,得 0 ? p ? 1, x1 ? x 2 ?


0? p?

2 3 3 ? 1,

1? p ? ? 3p2 ? 6 p ?1 1? p ? ? 3p2 ? 6 p ?1 x1 ? x2 ? 2p 2p 记 , ,
2 由 x2 ? 2 x1 ,并注意 p ? 0 ,得 3 ? 3 p ? 6 p ? 1 ? 1 ? p ? 0 ,

? 28p 2 ? 52p ? 8 ? 0 ,即 7 p 2 ? 13p ? 2 ? 0 ,
? ?2 ? p ? 1 7。

1 {p | 0 ? p ? } 7 。 综上得 p 的取值范围为 点评:先解出 p ? 0 , 1 ? p ? 0 ,在不等式的转化过程中起了简化作用

log1 [a 4 x ? 2a 2 x (a ? 1) x ? (a ? 1) 2 x ? 1] ? 0, (a ? 0)
例 10. 解不等式 解: a ∴ a
4x 2x 4x

2

? 2a (a ? 1) x ? (a ? 1) 2 x ? 1 >1,
2x

? 2a 2 x (a ? 1) x ? (a ? 1) 2 x >0,
? a2 ? ? 2? ? a2 ?1? ? ?1 ? 0 ? ? ,
x

? a2 ? ? ? a2 ?1? ? ? ?

x

? a2 ? ? ? a2 ?1? ? ? 2 ?1 ? ? ∴ 。

? a2 ? 1? 5 ? ? a2 ?1? ? ? <1,即 0<a< 2 时, ①当 0< ?

x ? log
原不等式的解集为{x|

a2 a ?1
2

( 2 ? 1)
};

1? 5 x ? log a 2 ( 2 ? 1) a 2 ?1 ②当 a> 2 时,解集为{x| }; 1? 5 ③当 a= 2 时,解集为 R。
例 11. 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1] ,

f ( a ) ? f (b ) a?b a+b≠0 时,有 >0。
(1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;

1 1 (2)解不等式:f(x+ 2 )<f( x ? 1 ) ;
(3)若 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1] ,p∈[-1,1] (p 是常数)恒成立, 求实数 m 的取值范围。 (1)解:函数 f(x)在[-1,1]上是增函数. 证明:设任意 x1,x2∈[-1,1] ,且 x1<x2。由于 f(x)是定义在[-1,1]上的奇 函数,∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1) 。因为 x1<x2,所以 x2+(-x1)≠0,由已知

f ( x2 ) ? f (? x1 ) x2 ? (? x1 ) >0,∵x2+(-x1)=x2-x1>0∴f(x2)+f(-x1)>0, 有
即 f(x2)>f(x1) ,所以函数 f(x)在[-1,1]上是增函数。

1 1 (2)解:由不等式 f(x+ 2 )<f( x ? 1 )得 1 ? ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ? x ? ?1 ? ?1 ? x ?1 2 ? 1 1 3 ? ? ? ? x | ? ? x ? ?1? ?x ? 2 ? x ?1 2 ? ? ,解集为: ?
(3)解:由以上知 f(x)的最大值为 f(1)=1,所以要 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1] , p∈ [-1,1] (p 是常数)恒成立, 2 只需 1≤m -2pm+1 恒成立,得实数 m 的取值范围为 m≤-2;或者 m=0 或 m≥2。 [小结] 1. 一元一次不等式、一元二次不等式的求解要正确、熟练、迅速,这是解分式不等式、 无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础。对带等号的分式不等式进行求解时,要注意 分母不等于 0,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的值恒大于 0 的条件是 a ? 0 且 ? ? 0 ;若恒大
2

于或等于 0,则 a ? 0 且 ? ? 0 。若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时,必 须考虑二次项系数为 0 这一特殊情形。 2. 忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价,是解无理不等式的常见错误,因此要强 化对转化的依据的思考。 3. 数形结合起来考虑,可以简化解题过程,特别是填空、选择题,还可利用图形验证解 题的结果。 4. 解指数、对数不等式的过程中常用到换元法 底数是参数时,须不重不漏地分类讨论 化 同底是解不等式的前提 取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一,在取对数的过程 中,特别要注意必须考虑变量的取值范围 当所取对数的底数是字母时,随时要把“不等号 是否变向”这一问题斟酌再三。 5. 解含参数的不等式时,必须要注意参数的取值范围,并在此范围内对参数进行分类讨 论。分类的标准要通过理解题意(例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件) ,根据方法(例 如利用单调性解题时,抓住使单调性发生变化的参数值) ,按照解答的需要(例如进行不等 式变形时必须具备的变形条件)等方面来决定,要求做到不重复、不遗漏。 解不等式是不等式研究的主要内容, 许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问 题,如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围,以及二次方程根的分布等。因此解不 等式在数学中有着极其重要的地位,是高考的必考内容之一。
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【模拟试题】
一、选择题

9 1. 不等式 4x> x 的解集是(



3 3 A. {x| x<- 2 或 x> 2 } 3 3 C. {x| - 2 <x<0 或 x> 2 } 5 A. {x|-2<x< 2 } 5 1 C. {x| 2 <x< 2 }

3 3 B. {x| x>- 2 且 x≠ 2 } 3 3 D. {x| - 2 <x< 2 }


2. 不等式 1-lg(2x-1)>lgx 的解集是(

5 B. {x|0<x< 2 } 1 D. {x|x> 2 }


?( x ? 2)(x ? 5) ? 0 ? 3. 不等式组 ? x( x ? a) ? 0 与不等式 (x-2) (x-5) ≤0 同解, 则 a 的取值范围是 (
A. a>5 B. a<2 C. a≤5 D. a≤2 2 4. 不等式 ax +ax+(a-1)<0 的解集是全体实数,则 a 的取值范围是( )

4 A. (-∞,0) B (-∞,0)∪( 3 ,+∞) 4 ] C. (-∞,0 D. (-∞,0)∪( 3 ,+∞) 1 1 2 5. 解不等式 ax +bx+2>0 得到解集{x|- 2 <x< 3 =,那么 a+b 的值等于
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A. 10

B. -10

C. 14

D. -14 ) D. 15<c≤30

a 6. 已知 6<a<10, 2 ≤b≤2a,c=a+b,则 c 的取值范围是(
A. 9≤c≤30 B. 9≤c≤18 C. 9<c<30

1 7. a>0,b>0,不等式 a> x >-b 的解集为( ) 1 1 1 1 A. - b <x<0 或 0<x< a B. x<- b 或 x> a 1 1 1 1 C. - a <x<0 或 0<x< b D. - a <x< b
二、填空题 + 8. 不等式 9 x+2·3x 1-24>0 的解集是



1 1 n 9. 满足不等式 512 <0 5 < 32 的最小整数 n 是
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。 10. 若 0<a<1,则关于 x 的不等式 a x-1≤a(x-1)的解集是
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2

。 。

11. 不等式 a >105lga (a>0,a≠1)的解集是 12. 不等式 logsinx(x2-9)>0 的解集是 。 2 13. 曲线 x y-2x+y=0 的最高点的坐标是 。 14. 当 0≤x≤2 时,f (x)= 4
2 2
x? 1 2

x ? 2 x ?10

2

;最小值为 15. 若 x、 y∈R, 且 x +y =1, 则 (1+xy) (1-xy) 的最大值为 ; 最小值为 16. 若二次方程 x2-2mx+4x+2m2-4m-2=0 有实根,则两根之积的最大值为

? 3 ? 2 x ? 2 ? 7 的最大值为

。 。 。

三、解答题 17. 已知正三角形 ABC 的三个顶点是 A(-a,0) ,B(a,0) ,C(0, 3 a) ,其中 a>0, 连接 AB 边上的点 P(x,0)及 AC 边上的点 Q 的线段 PQ 把△ABC 的面积二等分,求|PQ| 的最大值和最小值。 18. 解关于 x 的不等式: 2
3x

? 2 x ? a(2 x ? 2 ? x ) (其中 a>0) 。

【试题答案】
1. C 2. C

?( x ? 2)(x ? 5) ? 0 ? 3. D。提示:不等式组 ? x( x ? a) ? 0 的解是 2≤x≤5 且 x(x-a)≥0,即要求 x(x
-a)≥0 的解包含 2≤x≤5,∴a≤2 4. C。提示:不等式 ax2+ax+(a-1)<0 的解集是全体实数,∴a=0 时成立,当 a<0 时,判别式△<0,得 a<0 时成立,∴a∈(-∞,0 ]

1 5. D。提示:x1+x2=- 6 3a 6. C。提示: 2 <c<3a,∴9<c<30
7. B 8. x>log 3 2。提示:设 3x=t,t2+6t-16>0,t>2 或 t<-8,∴x>log 3 2 9. n=6

1 1 2 2 10. x≥- a 。提示: (a -a)x≤1-a,∵0<a<1,∴a -a<0,x≥- a
11. 当 0<a<1 时,-3<x<5; 当 a>1 时,x<-3 或 x>5 提示:105lga=a5,当 0<a<1 时,x2-2x-10<5,∴-3<x<5; 当 a>1 时,x2-2x -10>5,∴x<-3 或 x>5 12. {x| - 10 <x<-π 或 3<x<π } 提示:0<sinx<1 且 0<x2-9<1,∴{x|-2π <x<-π 或 0<x<π 或?=并且{x| -

10 <x<-3 或 3<x< 10 } ,∴{x| - 10 <x<-π 或 3<x<π }
13. (1,1) 提示:△=4-4y2≥0,y2≤1,ymax=1,此时 x=1,∴最高点的坐标是(1,1) 14. -3;-11。提示:f (x)= 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 2 ? 7 =2(2x-3)2-11,当 x=0 时,最

大值为-3,当 x=log23 时,最小值为-11

3 15. 1; 4
16. 10+4 6 提示:x2-2mx+4x+2m2-4m-2=0 有实根,∴△≥0,解得- 6 ≤x≤ 6 ,x1x2= 2m2-4m-2,当 m=- 6 时,x1x2 取得最大值为 10+4 6 17. 最小值是 2 a,最大值是 3 a

提示:|AP||AQ|sin60°=

2a 2 3 a 2,|AP|=x+a,∴|AQ|= x ? a

2a 2 |PQ|2=(x+a)2+( x ? a )2-4a2cos60°≥2a2,∴|PQ|的最小值是 2 a,再讨论函
数的增减性,得当 x=0 或 x=a 时,取得最大值为 3 a 18. 解原不等式得: 2 (2
2x 2x

? 1) ? a(2 2 x ? 1),即

4 x (4 x ? 1) ? a(4 x ? 1),? (4 x ? a)(4 x ? 1) ? 0 当0 ? a ? 1时, a ? 4 x ? 1, 此时不等式的解集为 (log4 a,0) x 2 当a ? 1时, (4 ? 1) ? 0, 此时不等式无解 当a ? 1时,1 ? 4 x ? a, 此时不等式的解集为 (0, log4 a)


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