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求数列通项公式的常用方法和技巧


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 求数列通项公式的常用方法和技巧 作者:周玉梅 来源:《考试周刊》 2014 年第 06 期 数列是高中代数的重要内容,也是学习高等数学的基础. 因此在每年的高考中考试中常考 不殆. 而各种数列问题解答,在很多情形下,首先是对数列通项公式的求解. 本文就求数列通项 公式的常用方法和技巧作例析. 一、公式法 利用等差数列或等比数列的定义求通项;若已知数列的前 n 项和 S■与 a■的关系,求数列 {a■}的通项 a■可用公式 a■=S■…………n=1S■-S■…n≥2 求解. 例 1:已知数列{a■}的前 n 项和 S■满足 S■=2a■+(-1)■,n≥1,求数列{a■}的通项公式. 解:由 a■=S■=2a■-1,得 a■=1. 当 n≥2 时,有 a■=S■-S■=2(a■-a■)+2× (-1)■ ∴ a■=2a■+2×(-1)■ a■=2a■+2×(-1)■ … a■=2a■-2 a■=2■a■+2■×(-1)■+2■×(-1) ■+…+2×(-1)■ =2■+(-1)■[(-2)■+(-2)■+…+(-2)] =2■-(-1)■■ =■[2■+(-1)■] 经验证 a■=1 也满足上式,所以 a■=■[2■+(-1)■]. 二、累加法(逐差相加法) 求形如 a■-a■=f(n)的数列通项,可用累加法,即令 n=2,3,…n-1 得到 n-1 个式子累加 求得通项.a■=(a■-a■)+(a■-a■)+…+(a■-a■)+a■(n≥2). 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例 2:已知数列{a■}满足 a■=a■+2n+1,a■=1,求数列{a■}的通项公式. 解:由 a■=a■+2n+1 得 a■-a■=2n+1, 则 a■=(a■-a■)+(a■-a■)+…+(a■-a■)+(a■-a■)+a■ =[2(n-1+1)]+[2(n-2)+1]+…+(2× 2+1)+(2× 1+1)+1 2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1 =2■+(n-1)+1 =(n-1)(n+1)+1 =n■ 所以数列{a■}的通项公式为 a■=n■. 三、累乘法(逐商相乘法) 对形如■=f(n)的数列的通项,可用累乘法,即令 n=2,3,…n-1 得到 n-1 个式子累乘求 得通项 a■=■·■……■·a■(n≥2). 例 3:已知数列{a■}满足 a■=■,a■=■a■,求 a■. 解:由条件知■=■,分别令 n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得(n-1)个等式累乘 之,即 ■·■·■·…·■=■×■×■×…×■?圯 ■=■ 又∵ a■=■,∴ a■=■. 四、待定系数法 形如 a■=pa■+q(其中 p,q 均为常数,(pq(p-1)≠0)的数列. 可把原递推公式转化为: a■-t=p(a■-t),其中 t=■,再利用换元法转化为等比数列求解. 例 4:数列{a■}满足 a■=1,3a■+a■-7=0,求数列{a■}的通项公式. 解:由 3a■+a■-7=0 得 a■=-■a■+■. 设 a■+k=-■(a■+k),比较系数得-k-■=■,解得 k=-■. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∴ {a■-■}是以-■为公比,以 a■-■=1-■=-■为首项的等比数列. ∴ a■-■=-■×(-■)■?圯 a■=■-■×(-■)■. 五、取倒(对)数法 1.a■=pa■■这种类型,一般是等式两边取对数后转化为 a■=

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