当前位置:首页 >> 数学 >>

【学案】3.4基本不等式


2016 届文科人教版数学
不等式教案



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 11 月 25 日

3.4 基本不等式(第 1 课时)
学习目标 1.理解算术平均数

与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 要点精讲 1.基本不等式:

a+ b ? 2

ab ( a ? 0, b ? 0 ),即:两正数的算术平均数不小于它们的几

何平均数,当且仅当 a=b 时等号成立.注:上述不等式对 a≥0,b≥0时仍成立。 2.基本不等式的几何解释:半径不小于半弦.a≥0,b≥0 3.基本不等式的变形公式: (1) a ? 0, a ? 0 ( a ? R ) ;
2

(2) a + b 吵2 ab

2

2

2ab(a, b ? R) ;
R) ;

(3) ab N

a 2 + b2 ( a, b 2

(4) a + b 澄2 ab (a, b (5) ab N(

R+ ) ;
R+ ) 。
a1 + a2 + 鬃 ? an (n>1,n ? N); n

a+ b 2 ) ( a, b 2

4.基本不等式的推广:n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.即若

祝 an ai≥0(i=1,2,?,n), 则 n a1a2 鬃

范例分析 例 1. (1)如图,已知在正方形 ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角 边的长为 a、b,则正方形 ABCD 的面积为 S1=________,4 个直角三角形面积的和为 S2=________,则 S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式 (用含 a、b 的式子表示),并且当 a______b 时,直角三角形变为________时,S1=S2. (2)已知 a ? 0, b ? 0 ,求证: 你能解释 ab ?

a?b ? ( a, b ? R )的几何意义吗? 2

a+ b ? 2

ab ,

例 2. 利用基本不等式证明下列不等式:

1 ? 2; a 4 ? 7; (2) 已知 a>3,求证 a+ a- 3
(1) 已知 a>0,求证 a+ 例 3. (1). 已知 x , y , z 是互不相等的正数, 且 x+y+z=1 , 求证: ( (2). 已知 x ? 0, y ? 0 ,求证:

1 1 1 - 1)( - 1)( - 1) > 8 x y z

1 1 2 ? x ? y? ? ? x ? y? ? x y ? y x 。 2 4

例 4. (1)已知 a, b, c 为任意实数,求证:a2+b2+c2 ? ab+bc+ca; (2)已知 a+b+c=1, 求证 a2+b2+c2≥

1 。 3 1 1 1 ? ? ? a? b? c a b c

4.已知 a , b , c 不全相等的三个正数, 且 abc=1 , 求证:

注意:利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立. 规律总结 1.均值不等式(不等式链) :若 a, b ? R ? ,则

2 a?b a 2 ? b2 。 ? ab ? ? 1/ a ? 1/ b 2 2

其中,

2 a ? b a 2 ? b2 分别称为正数 a , b 的调和平均数(H) 、几何平 , ab , , 1/ a ? 1/ b 2 2

均数(G) 、算术平均数(A) 、平方平均数(P) ,即有 H ? G ? A ? P 。基本功能有: (1) P ? A ,将平方和与两数和互化; (2) A ? G ,将和与积互化; (3) A ? H ,将和与倒数和互化; (4)重要变形: a ? b ?

a ? b ? 2 ? a ? b ? ,其中 a , b 为正数。

2.学会多次运 用和创造条件运用基本不等式证题,尤其是不等式两边均为三项,可将一边 变成六项,分成三组.对每一组用基本不等式. 3.均值不等式在运用时,常需先凑形后运用;用均值不等式证明时,为达到目标可先宏观, 后微观;均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。 基础训练 一、选择题

a ?b ? a?b ? 1.下面推导“ ? ? ab ”中所犯的错误是( ? ? ab ? 2 ? 2 ?
A. 没有考虑等号成立的条件
2

2



B. 没有考虑 a , b 的值应当非负的限制
D. 没有考虑 ab ? 0 是可以开方的条件

2

C. 没有考虑 ab ? 0 而不能开方的情况

2.若 a>1,b>1 则 a+b,2ab,2 ab , a ? b 中最大的一个是(

A a+b, B 2ab, C 2 ab , D a2 ? b2 3.设 a ? 0, b ? 0, 则以下不等式中不恒成立 的是( .... A. (a ? b)(



1 1 3 3 2 ? )?4 B. a ? b ? 2ab a b 2 2 C. a ? b ? 2 ? 2a ? 2b D. | a ? b | ? a ? b 4.如果正数 a,b,c,d 满足 a ? b ? cd ? 4 ,那么( ) A. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d ,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一
5.已知 x,y?R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则 M 与 N 的大小关系是( A、M?N B、M?N 二、填空题 6. 比较大小: lg 9lg11 C、M=N 1; D、不能确定 )

2 2 7.已知 b ? a ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,将下列五个数 a ? b , 2ab, b, a,

1 按从大到小顺序排列 2





8.有一组数据: x1, x2 ,? xn ( x1 ? x2 ? ? xn ) ,它们的算术平均值为 10,若去掉其中最 大的 xn ,余下数据的算术平均值为 9;若去掉其中最小的 x1 ,余下数据的算术平均值为 11。 则 x1 关于 n 的表达式为___________; xn 关于 n 的表达式为___________。 三、解答题 9.证明: (1)若 a, b ? R ,则 (2)已知 a, b, c ? R ? ,求证:
?

b a

?

a b

? a? b。

bc ca ab ? ? ? a?b?c。 a b c 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 10. (1)已知 a, b, c ? R ? ,求证: ; 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b 1 1 1 ? ? ? 9。 (2)已知 a , b , c∈R+, 且 a+b+c=1, 求证: a b c
能力提高 11.若 a、b 是正数,则
源:学科网]

a2 ? b2 a?b 2ab 、 ab 、 、 这四个数的大小顺序是( 2 2 a?b



[来

A. ab ≤

a2 ? b2 a?b 2ab ≤ ≤ 2 2 a?b

B.

a2 ? b2 a?b 2ab ≤ ab ≤ ≤ 2 2 a?b

C.

a2 ? b2 2ab a?b ≤ ab ≤ ≤ 2 a?b 2

D. ab ≤

a2 ? b2 a?b 2ab ≤ ≤ 2 2 a?b

12.已知 a, b, c ? R ? , abc ? 1 ,求证: a ? b ? c ?

1 1 1 ? ? 。 a b c

3.4 基本不等式(第 1 课时) 参考答案 范例分析
2 2 例 1.解: (1) S1 ? a2 ? b2 , S2 ? 2ab ,由 S1 ? S2 知, a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时

等号成立; (2)见要点精讲。 例 2.(1)因为 a ? 0 ,所以 a ?

1 1 ? 2 a ? ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时等号成立; a a 4 4 ? ? a ? 3? ? ?3? 2 a ?3 a ?3

(2)因为 a ? 3 ,所以 a ? 当且仅当 a ? 3 ?

? a ? 3? ?

4 ?3? 7 ; a ?3

4 ,即 a ? 5 时等号成立; a ?3

例 3.(1)因为 x, y, z 是互不相等的正数,且 x+y+z=1,所以

1 y ? z 2 yz ??① ?1 ? ? x x x

1 z ? x 2 zx ??② ?1 ? ? y y y
三式相乘得

1 x ? y 2 xy ??③ ?1 ? ? z z z

1 1 1 - 1)( - 1)( - 1) > 8 。 x y z
x? y ? xy , 2

(2)证明:因为 x ? 0, y ? 0 ,所以

1 1 x ? y ?? 1? ? 1 ?? 2 ? x ? y? ? ? x ? y? ? ? x ? ? ? ? y ? ?? ? 2 4 2 ?? 4? ? 4 ??
? xy

?
2

x? y ?x y?y x。
2 2 2

?

例 4.证明: (1)因为 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ?
2 2 2 2

1? 2 2 2 ? 0, ? a ? b ? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ? ? ? ? 2
2

得证。或 a ? b ? 2ab , b ? c ? 2bc , c ? a ? 2ca ,三式相加得证。 (2)方法 1: 1 ? ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 3 a ? b ? c
2 2 2 2 2 2

?

2

?,

所以 a2+b2+c2≥

1 1 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时等号成立; 3 3

方法 2:因为 2 a ? b
2

?

2

? ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ,所以
2 2 2

1 1 3? 1? 1 1 2 2 a ? b ? c ? ? a ? b ? ? c2 ? ?1 ? c ? ? c2 ? ? c ? ? ? ? , 2 2 2? 3? 3 3
2 2 2

2

当且仅当 a ? b ? c ? 基础训练 1~5 BDBAA;

1 时等号成立; 3

1? 2 2 2 ? 0; ? x ? y ? ? ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? ? ? 2 1 2 2 6. ? ; 7. b ? a ? b ? ? 2ab ? a ;8. x1 ? 2 ? n ?1? , xn ? n ? 9 。 2
5.提示: M ? N ? 9.证明: (1)

b a ? a ?2 b, ? b ? 2 a ,相加得证。 a b

(2)证明:

bc ca ca ab bc ab ? ? 2c , ? ? 2a , ? ? 2b ,相加得证。 a b b c a c 1 1 4 ?1 1? , ? ? ? 4 ,所以 ? ? a b a?b ?a b?

10. (1)因为 ? a ? b ? ? 同理,

1 1 4 1 1 4 ? ? , ? ? ,相加得证。 b c b?c a c a?c

(2)提示: ? a ? b ? c ? ? 能力提高

? 1 1 1? ?b a? ? c a? ?c b? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9。 ?a b c? ?a b? ?a c? ?b c?
a?b 3 2ab 4 = , ab = 2 , = , 2 2 a?b 3

11.C;提示:方法 1,特殊赋值,令 a=1,b=2,则
1? 4 5 a2 ? b2 = = = 2.5 . 2 2 2

选 C。

方法 2,严格证明,由恒等式 ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 2 a ? b
2 2 2

?

2

b ≤ ?得 a ? 2

a2 ? b2 ; 2



?

a? b

?

2

? 0 ,得 ab ≤
?

a?b 2ab ,两边同乘 ab 得 ≤ ab 。选 C。 2 a?b

12. 证明 1: 因为 a, b, c ? R ,abc ? 1 , 所以

1 1 1 1 1 ? ?2 ? 2 c ,同理, ? ? 2 a , b c a b ab

1 1 ? ? 2 b ,相加得证; c a 1 1 2 证明 2: ? ? bc ? ca ? 2 abc ? 2 c ,下同证法 1。 a b

3.4 基本不等式(第 2 课时)
学习目标 1. 进一步理解基本不等式 ab ? 2.能用基本不等式求最值。 要点精讲 最值定理:若 x, y 都是正数,且 x ? y ? S , xy ? P ,则 ①如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值有最小值 2 P ; ②如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值有最大值 注意:

[来源:学科网 ZXXK]

a?b ; 2

1 2 S . 4

1 前提: ○ “一正、二定、三相等” ,如果没有满足前提,则应根据题目创设情境;还要注意选 择恰当的公式; 2 “和定 积最大,积定 和最小” ○ ,可用来求最值; 3 均值不等式具有放缩功能,如果有多处用到,请注意每处取等的条件是否一致。 ○ 范例分析 例 1.求下列函数的最值,并说明当 x 取何值时函数取到最值 (1) y ? 12 x ? (3) y ? x ?

3 , ( x ? 0) ; x

(2) y ? 12 x ? (4) y ?

3 , ( x ? 0) ; x

1 , ( x ? ?1) , x ?1

x2 ? x ? 2 , ( x ? ?1) 。 x ?1
的最小值。

例 2.求函数① y ?

x2 ? 5 x2 ? 1 ?

;② y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

变式:若不等式

x2 ? 1 ? c x ?c
2

1? c 恒成立,则正数 c 的取值范围是 c
2 2



例 3. (1)已知正数 a、b 满足 2a ? b ? 3 ,求 a b 2 ? 1 的最大值。 (2)设 ?1 、 ?2 、 a1 、 a2 ? R* , a1 ? a2 ? 1 , 求证: (?1a1 ? ?2 a 2 )(

?1

a1

?

?2

a2

)≤

(?1 ? ?2 ) 2 4?1?2

例 4. ( 1 ) 若 实 数 a, b ? 0 , 且 有 a ? b ? (a ? b) ? 1 , 求 出 a ? b 的 最 小 值 。
? (2)已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 1 ,求 u ?

2 3 ? 的最小值。 x y
4 。 3

3 3 2 2 ? 变式: (1)已知 a, b ? R , a ? b ,且 a ? b ? a ? b ,求证: 1 ? a ? b ?

(2)已知: 0 ? x ? 1 , 求证:

a2 b2 ? ? ( a ? b) 2 。 x 1? x

规律总结 1.在应用均值定理求最值时,要把握定理成立的三个条件,就是“一正——各项均为正; 二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件,就会出现错误. 有时要能“凑”均值不等式的模式。 2. 对于函数 f ( x) ? ax ?

b x

(a ? 0, b ? 0) 定义域内不含实数 ?

b 的类型的最值问题, 要 a

会用函数的单调性求解. 基础训练 一、选择题

1 的最小值是( ) a ?1 a A 2 B a C 2 D 3 a ?1 a b 2.已知 a, b ? R ,且 a + b = 3,则 2 ? 2 的最小值是(
1.若 a>1,则 a+ A. 6 B. 4 2 C. 2 2 D. 2 6

).

2 8 ? ? 1 则 xy 有( ) x y 1 1 A 最大值 64 B 最小值 C 最小值 D 最小值 64 2 64 1 1 2?b 4.已知正实数 a , b 满足 ? ? 1 ,则 的最大值为( ) a b 2 ab 5 1 9 3 A、 B、 C、 D、 16 2 16 4 5.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为(
5.当 x>0,y>0,且 (A) 3 -1 二、填空题 6.若 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=20 , 则 xy 的最大值为 7.设 a, b ? R , 且 a ? b ? 1, 则 ab ? 6. 已知 x, y ? R? 且 x+y=4, 求
1 xy
?

) (D) 2 3 -2

(B)

3 +1

(C) 2 3 +2

; .

1 的最小值是 ab

1 2 ? 的最小值。 某学生给出如下解法: 由 x+y=4 得,4 ? 2 xy x y 2 ④,即所求最小值为

①,即

?

1 2 1 1 2 2 ②,又因为 ? ? 2 ③,由②③得 ? ? x y 2 x y xy

2 ⑤。请指出这位同学错误的原因 ___________________________。

三、解答题 9. (1)如果正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围。 (2)已知 a , b 均 为正数,且有 a ? 2b ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值。 a b

10. ( 1 ) 若 有 x ? 1, 求 函 数 y ? (2) 0 ? x ? 能力提高 11.设 a, b, c ? R ? ,则三个数 a ? A、都大于 2 B、都小于 2

2x 2 ? x ? 1 的最小值。 x ?1

?
2

时,求函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值 sin 2 x

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a

) D、至少有一个不小于 2

C、至少有一个大于 2

? 12.若 a 、 b ? R , a ? b ? 1 ,求证: (a ?

1 1 25 )( b ? ) ? 。 a b 4

3.4 基本不等式(第二课时)参考答案 范例分析 例 1. (1)因为 x ? 0 ,所以 y ? 12 x ? 当且仅当 12 x ?

3 3 ? 2 12 x ? ? 12 , x x

3 1 ,即 x ? 时, ymin ? 12 ; x 2

(2)因为 x ? 0 ,所以 ? y ? (?12 x) ? 当且仅当 ?12 x ?

3 3 ? 2 (?12 x) ? ? 12 , ?x ?x

3 1 ,即 x ? ? 时, ymax ? ?12 ; ?x 2

(3)因为 x ? 1 ? 0 ,所以 y ? ( x ? 1) ? 当且仅当 x ? 1 ?

1 ?1 ? 2 x ?1

? x ? 1? ?

1 ? 1 ? 1, x ?1

1 ,即 x ? 0 时, ymin ? 1 ; x ?1 4 ? 3 ?1, (4)因为 x ? 1 ? 0 ,所以 y ? ? x ? 1? ? x ?1 4 当且仅当 x ? 1 ? ,即 x ? 1 时, ymin ? 1 ; x ?1
例 2.解:①令 t ?

x ? 1 ? 1 ,则 y ?
2

x2 ? 5 x ?1
2

?t?

4 ? 4; t

当 t ? 2 ,即 x ? ? 3 时, ymin ? 4 ; ②令 t ?

x2 ? 4 ? 2 ,则 y ?

x2 ? 5

1 ? t ? 在 ?2, ??? 上单调递增, t x2 ? 4
5 。 2

当 t ? 2 ,即 x ? 0 时, ymin ?

变式:令 t ?

x ? c ? c ,则 y ?
2

x2 ? 1 ? c

?2, 0 ? c ? 1 1 ? ; ? t ? ; ymin ? ?1 ? c 2 , c ? 1 t x ?c ? c ?

例 3. (1)因为 a, b ? 0 ,所以
2 2 1 1 2a ? ? b ? 1? 2 2 解 1: u ? a b ? 1 ? ? 2a ? b ? 1? ? ? ? 2 2 2 2 2

当且仅当 2a ? b ? 1 即 a ? 1 时取等号,故 a b 2 ? 1 的最大值为 2 。
2 2

解 2: u ? a b ? 1 ?
2

2 ? a ?2 ? a
2

2

??

2?

a2 ? ? 2 ? a2 ? 2
2

? 2;

解 3: u ? a b2 ? 1 ?

2 ? a2 ? 2 ? a2 ? ? 2 ? ? ? a ? 1? ? 1 ? 2 。

(2)因为 ?1 、 ?2 、 a1 、 a2 ? R* , a1 ? a2 ? 1 ,所以 方法 1:左 ?

1

?1?2

(?1a1 ? ?2 a2 )(?1a2 ? ?2 a1 )
2

1 ? ? ?1a1 ? ?2 a2 ? ? ? ?1a2 ? ?2 a1 ? ? ? ? ? ?1?2 ? 2 ?
2 方法 2:左 ? a12 ? a2 ??

(?1 ? ?2 )2 ? ? 右; 4?1?2

? ?1

? ?2

?

? ?1 ?2 ? ?2 ? 2 ? a1a2 ? ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? 2 ? a1a2 ?1 ? ? ?2 ?1 ?
2

?? ? ? ? a ? a ? (? ? ? ) 2 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? 右; 4?1?2 ? ?2 ?1 ? ? 2 ?

? a?b? 例 4.解: (1)因为 a, b ? 0 ,所以 1 ? ? a ? b ? ? ab ? ? ? ,解得 a ? b ? 2 ? 2 2 , ? 2 ?
当且仅当 a ? b ? 1 ? 2 时, a ? b 有 最 小 值 2 ? 2 2;
? (2)因为 x, y ? R ,且 x ? y ? 1 ,所以

2

方法 1: u ? ? x ? y ? ?

?2 3? 2 y 3x ? ? ? 5? ? ? 5? 2 6 , x y ?x y?

当且仅当

2 y 3x ? ,即 x ? 6 ? 2 时,等号成立,故 u 的最小值为 5 ? 2 6 。 x y

方法 2: u ?

2 3 2? x ? ? ? x 1 ? x x ?1 ? x ?

1 6 ? ? 5 ? ?? x ? 2 ? ? x ? 2? ? ?

?

1 ? 5? 2 6 , 5?2 6

当且仅当 x ? 6 ? 2 时,等号成立。 方法 3: u ?

2 3 2? x ? ? ? 5 ,得 ux2 ? ?1 ? u ? x ? 2 ? 0 , x 1 ? x x ?1 ? x ?
2

由 ? ? ?1 ? u ? ? 8u ? 0 ,得 u ? 5 ? 2 6 ,当且仅当 x ? 6 ? 2 时,等号成立。
2 2 变式: (1)因为 a, b ? R ? , a ? b ,所以由已知, a ? ab ? b ? a ? b ,

即 ab ? ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? 0 ,得 a ? b ? 1 ,
2

又 a ? b ,得 ab ? ?

4 ? a?b ? ? ,解得 1 ? a ? b ? 3 。 ? 2 ?

2

(2)因为 0 ? x ? 1 ,令 y ? 1 ? x ? 0 ,则

? a 2 b2 ? a 2 y b2 x 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ? a ? b ? 。 u ? ? x ? y ? ? ? ? ? a 2 ? b2 ? ? y? x y ? x
基础训练 1~5 DBDCD; 5.提示:若 a, b, c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3, 所以 a ? ab ? ac ? bc ? 4 ? 2 3 ,
2

4 ? 2 3 ? a 2 ? ab ? ac ? bc ?

1 1 (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? 2bc) ≤ (4a 2 ? 4ab ? 4ac ? 2bc ? b 2 ? c 2 ) 4 4

∴ (2 3 ? 2)2 ≤ (2a ? b ? c)2 ,则( 2a ? b ? c )≥ 2 3 ? 2 ,选 D.

20 17 17 1? 1? ? a?b? 1 6. ; 7. ; 提示:t ? ab ? ? 所以 y ? t ? ? 0 ? t ? ? 的最小值是 。 ? , ? 7 4 4 t? 4? ? 2 ? 4
8.①③两个不等式中,等号不能同时取到 9.解: (1)方法 1: ab ? a ? b ? 3 ? 2 ab ? 3 ,得 ab ? 9 ; 方法 2:由已知 ? a ?1??b ?1? ? 4 , ab ? ? a ?1??b ?1? ? ? a ?1? ? ?b ?1? ?1

2

? ? a ?1? ? ? b ?1? ? 5 ? 2 4 ? 5 ? 9 ,当且仅当 a ? b ? 3 取等号。
(2) u ? ( ? ) ? a ? 2b ? ? 3 ?

1 a

1 b

2b a 2? 2 ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 b ? 取等号。 a b 2

10.解: (1)令 t ? x ? 1 ? 0 ,则 y ? 3 ? 2 ? t ? ? ? 3 ? 4 ? 7 ,当且仅当 x ? 2 取等号。

? ?

1? t?

1 2cos 2 x ? 8sin 2 x ? cot x ? 4 tan x ? 4 ,当且仅当 tan x ? (2) 因为 0 ? x ? , f ( x) ? 2 2 2sin x cos x
取等号。 能力提高 11.D.提示: (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? 6 。
? 12.证明:因为 a 、 b ? R ,所以 (a ? )(b ? ) ? ab ?

?

1 b

1 c

1 a

1 a

1 b

1 b a 1 ? ? ? 2 ? ab ? , ab a b ab

? a ?b ? 1 又 a ? b ? 1 ,所以 ab ? ? ? ? , ? 2 ? 4
所以 ab ?

2

1 1 25 1 ? 1 ? 15 1 1 15 17 。 ? ? ab ? ? ? 4 ? ,即 (a ? )( b ? ) ? ?? ? ? 2 a b 4 ab ? 16ab ? 16 ab 16 16 4

也可以由 nake 函数性质加以说明。

3.4 基本不等式(第 3 课时)
学习目标 1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究,体会数学建模的思想。 3.开拓视野,认识数学的科学价值和人文价值. 要点精讲 1.不等式的应用大致可分为两类:一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际 应用问题;另一类是建立函数关系,利用均值不等式求最值问题. 2.建立不等式的主要途径有: (1)利用问题的几何意义; (2)利用判别式; (3)利用函 数的有界性; (4)利用函数的单调性. 3.解不等式应用问题的三个步骤: (1)审题,必要时画出示意图; (2)建立不等式模型,即根据题意找出常量与变量的不等关系; (3)利用不等式的有关知识解题, 即将数学模型转化为数学符号或图形符号. 4.利用重要不等式求最值时,要注意条件:一正、二定、三相等,即在 x+y≥2 xy 中,

x 和 y 要大于零,要有定积或定和出现;同时要求“等号”成立.
范例分析 例 1.甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米∕时。已 知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v (千米∕时)的平方成正比,比例系数为 b ;固定部分为 a 元。 (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米∕时)的函数,并指出这个函数的定 义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?

例 2.某工厂用 7 万元 钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年保险、动力消耗的 费用也为 2 千元, 每年的保养、 维修、 更换易损零件的费用逐年增加, 第一年为 2 千元, 第二年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元。问这台机器最佳使 用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值。

例 3.某工厂有一段旧墙长 14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为 126m2 的厂房,工程条件是: (1)建 1m 新墙的费用为 a 元; (2)修 1m 旧墙的费用为 用可得的建材建 1m 的新墙的费用为

a 元; (3)拆去 1m 的旧墙, 4

a 元,经讨论有两种方案: 2
[来源:学科网]

①利用旧墙一段 xm(0 ? x ? 14) 为矩形一边;

②矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ? 14 ,问如何利用旧墙建墙费用最省? 试比较①、②两种方案哪个更好
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com

http://www.xjktyg.com/wxc/

例 4.如图 3-1,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为

图 3-1

2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中 该杂质的质量分数与 a 、 b 的乘积 ab 成反比.现有制箱材料 60 平方米,问当 a , b 各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质 的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计) .

规律总结 1.应用不等式解决应用问题时,应先弄清题意,列出有关的不等式或函数式,再利用 不等式知识求解. 不等式应用大致分为两类: 一类是建立不等式求解或求参数取值范围问题; 另一类是建立函数关系,利用基本不等式求最值问题. 2.对于分母是一次式,分子是二次式的分式

Ax 2 ? Bx ? C ,可令 t ? Dx ? E 转化为 Dx ? E

b at ? ? c 形式后利用基本不等式求最值. t
基础训练 一、选择题 1.有甲、 乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食, 他们共购进粮食 两次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮 10000 千克,乙每次购粮食 10000 元,在两次 统计中,购粮的平均价格较低的是( ) A、甲 B、乙 C、一样低 D、不确定 2.为适应社会发展的需要, 国家决定降低某种存款的利息, 现有四种降息方案.方案Ⅰ:先降 息 p%,后降息 q%(其中 p,q ? 0,p≠q 下同) ;方案Ⅱ:先降息 q%,后降息 p%;方案Ⅲ: 先降息

p?q p?q %,再降息 %;方案Ⅳ:一次降息(p+q)%.在上述四种方案中,降息 2 2

最少的是( ) (A)方案Ⅰ (B)方案Ⅱ (C)方案Ⅲ (D)方案Ⅳ 3.某种汽车购车时费用为 10 万元,每年的保险、养路、汽油费用共 9 千元,汽车的维修费 逐年以等差数列递增,第一年为 2 千元,第 2 年为 4 千元,第三年为 6 千元,??问这 种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低)( )? A.8 年 B.9 年? C.10 年 D.11 年? 4.在与水平地面垂直的墙壁上挂有一幅矩形画,画的上下边缘在观察者水平视线上方 a m 和 b m 处,要使观察者的视角最大,观察者与墙的距离为( )

A. ab m

B.

a?b m 2

C.a m

D.b m

5.已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,若 S?AOB ? 4, S?COD ? 9 ,则四边 形 ABCD 面积的最小值为( ) A 、21 B、25 C、26 D、36 二、填空题 6.某同学去实验室领 200 g 氯化钠.实验室暂时只有一台受损天平(两臂不等长) .实验员 先将 100 g 的砝码放入天平左盘,称出一份氯化钠,然后将 100 g 砝码放入天平右盘,再 称出一份氯化钠.这样称出的两份氯化钠质量之和________200 g ( 在下列符号中,选择 最恰当的填入:>、=、<、≥、≤ ) . 7.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 吨. 8. 如果一个正方形的四个顶点都在三个形的三边上, 称该正方形是该三角形的内接正方形, 在锐角 ?ABC 中,若该三角形的面积为 S ,则当正方形的边长为 时,正方 形的面积最大。 三、解答题 9.一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 V 公里/小时的速度匀速直达灾区,已知两地公路 线长 400 公里,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于(V / 20)2 公里,那么这批物资 全部到达灾区,最少需要多少小时? 10. 某自来水厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级净水处理池(如图所 示) ,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间一道隔墙建造单价为每 米 100 元,池底建造单价为每平方米 60 元,池壁厚度忽略不计. (Ⅰ)设净水池的长边 AB 为 x 米,总造价为 y 元.写出 y 关于 x 的函数表达式.并求出 当 x 等于多少时, 可使总造价最低? (Ⅱ)如果受地形限制,净水池的长和宽都不能超过 14.5 米,那么此时净水池的长边 AB 为多少米时,可使总造价最低? A B

C

D

能力提高 11.若直角三角形周长为定值 l ? l ? 0? ,则三角形面积的最大值为 。

12.某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用为 12 万元,以后每年都增

加 4 万元,每年捕鱼收益为 50 万元. (1)问从第几年起开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:一是,年平均获利最大时,以 26 万元出售该船;二是, 总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该船.问:哪种方案合算?(注:取 51 ? 7.2 )

3.4 基本不等式(第 3 课时)参考答案 范例分析 例 1.解: (1) y ? (bv ? a )
2

S , v ? ? 0, c ? ; v

(2)y ? (bv ? a)
2

a a S a? ? 2 当 ? c 时, 取v ? (千米∕时) ,ymin ? 2 abS ; ? S ? bv ? ? , b v v? b ?



a a? ? ? c 2 时,取 v ? c (千米∕时) , ymin ? S ? bc ? ? 。 b c? ?

例 2.解:设使用 x 年的总费用 S ? 72000 ? 2000 x ? [2000 x ?

x ? x ? 1? ?1000] 元, 2

则年平均费用 y ?

S 144 ? ? ? ? 500 ? x ? ? ? 3500, x ? N , x x ? ?
a a ,拆旧墙造新墙费用为 (14 ? x) ? , 2 4

当 x ? 12 年时,年平均费用的最小值为 15500 元。 例 3. (1)方案①:修旧墙费用 x ? 其余新墙费用: (2 x ?

2 ? 126 ? 14)a x

∴总费用 y ? 7 a (

x 36 ? ? 1) (0 ? x ? 14) 4 x

x 36 x 36 x 36 ? x ? 12 时, y min ? 35a ? ? ?2 ? ? 6 ,∴当且仅 ? 4 x 4 x 4 x
(2)方案②,利用旧墙费用为 14 ? 建新墙费用为 (2 x ?

a 7a ? (元) 4 2

252 ? 14)a (元) x 126 21 ) ? a ( x ? 14 ) 总费用为: y ? 2a ( x ? x 2 126 126 )? ? 1 ? 2 ? 0 ∵当 x≥14 时, ( x ? x x 126 在?14,?? ? 上为增函数,∴当 x = 14,ymin = 35 ∴函数 x ? x
∴采用方案①更好些 例 4.解 设流出的水中杂质的质量分数为 y ,由题意子

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

5a

y?

k (k ? 0) ,其中 k 为比例系数, ab

又根据题意可得 2 ? 2b ? 2ab ? 2a ? 60 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,

? b?

30 ? a k k ? ,由 a ? 0 , b ? 0 可得 0 ? a ? 30 , ? y ? 2?a ab 30a ? a 2 2?a

令 t ? a ? 2 ,则 a ? t ? 2 ,

? y?

k k k k k ? ? ? ? 2 2 64 18 30(t ? 2) ? (t ? 2) 34t ? t ? 64 34 ? (t ? ) 34 ? 2 t ? 64 t t t t
64 ,即 t ? 8 , a ? 6 时取“=” ,由 a ? 6 可得 b ? 3 , t

当且仅当 t ?

故当 a ? 6 米, b ? 3 米时,经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小. 基础训练 1~5 BCCAB ; 3.提示:设使用 n 年的总费用为 S ? 10 ?10 ? 9000n ? 2000 ?1? 2 ? ?? n? ,则
4

S 105 ? 100 ? 年平均费用 y ? ? ? 1000 ? n ? 1? ? 9000 ? 1000 ? n ? ? ? 10000 n n n ? ?
? 30000 ,当且仅当 n ? 10 时,等号成立。
4.提示:设观察者所在位置 O 与墙的距离为 x ,画的上下边缘对应点 A、B,则

a b ? a ?b a ?b ,当且仅当 x ? ab 时, ?AOB 有最大值。 tan ?AOB ? x x ? ? ab ab 2 ab 1? 2 x ? x x
5.提示:设 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , ?AOB ? ? ,则

S?AOB ? S ABCD
6. ? ;

1 1 ab sin ? ? 4, S?COD ? cd sin ? ? 9 2 2 1 ? ? ab ? bc ? cd ? da ? sin ? ? 4 ? 9 ? 2 4 ? 9 ? 25 。 2
400 次,运 x

7.20;提示:某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买

费为 4 万元 / 次,一年的总存储费用为 4 x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为

400 400 1600 ? 4 ? 4 x 万元, ? 4 ? 4 x ≥160,当 ? 4 x 即 x ? 20 吨时,一年的总运费与 x x x
总存储费用之和最小。 8.

2S BC 边长为 a , BC 边上的高为 h , h ?S 2 , ; 提示: 设正方形有一边在 BC 边上, 则a 2 ah 1 1 ? ah ? 2S 。 正方形的边长为 x ? a?h 2 2

9.解:设两辆汽车的间距 d ? ? 时间 t ?

? v ? ? 公里,从第一辆汽车出发到最后一辆汽车到达,所需 ? 20 ?

2

400 ? 25d 400 v ? ? 25 ? ? 10 ,当且仅当 v ? 80 公里/小时,取等号, v v 400

故这批物资全部到达灾区,最少需要 10 小时。 10.解: (1) y ? 2 ? x ?

? ?

200 ? 200 ?100 ? 200 ? 60 ? ? 400 ? x ? x

? 800( x ?

9 ? 25 ) ? 12000, x ? 0 ,则当 x ? 15 米时,可使总造价最低; x 200 225 ? 400 29 ? ? 14.5 , t ? x ? 在? 上为减函数, , x x ? 29 2 ? ?

(2)若限制 x ? 14.5 ,

则当 x ? 14.5 米时,可使总造价最低; 能力提高 11.设直角边长为 a , b ,则 l ? a ? b ? a2 ? b2 ? 2 ab ? 2ab , 即 ab ?

3? 2 2 2 2? 2 l 。 l ,当且仅当 a ? b 时, Smax ? 4 2

12.解: (1)设纯收入与年数 n 的函数关系为 f ? n ? ,则

2 f ? n ? ? 50n ? ? ?12 ? 16 ? ? ? ? 8 ? 4n ? ? ? ? 98 ? ?2n ? 40n ? 98 ,解不等式 f ? n? ? 0 ,

得 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 ,故 n ? 3, 4,?,17 。故从第 3 年开始获利。 (2)方案一,年平均收入 y ?

f ? n? 49 ? ? ? 40 ? 2 ? n ? ? ? 40 ? 28 ? 12 , n n ? ?

当 n ? 7 时取等号,此时,总收益为 12 ? 7 ? 26 ? 110 (万元) ; 方案二, f ? n ? ? ?2 ? n ? 10 ? ? 102 ,当 n ? 10 时, f ? n ? 的最大值为 102 万元,总收
2

益为 102 ? 8 ? 110 (万元) ; 比较两种方案,总收益均为 110 (万元)但方案一只需 7 年时间,故方案一合算。

3.4 基本不等式(第 4 课时)
学习目标 1.拓展基本不等式的内涵,了解均值不等式不等式链; 2.能综合应用均值不等式解决一些较复杂的问题。 要点精讲

2 a?b a 2 ? b2 1.均值不等式(不等式链) :若 a, b ? R ,则 。 ? ab ? ? 1/ a ? 1/ b 2 2
?

其中,

2 a ? b a 2 ? b2 分别称为正数 a , b 的调和平均数(H) 、几何平 , ab , , 1/ a ? 1/ b 2 2

均数(G) 、算术平均数(A) 、平方平均数(P) ,即有 H ? G ? A ? P 。基本功能有: (1) P ? A ,将平方和与两数和互化; (2) A ? G ,将和与积互化; (3) A ? H ,将和与倒数和互化; (4)重要变形: a ? b ?

a ? b ? 2 ? a ? b ? ,其中 a , b 为正数。

2.含有参变量的恒成立问题,常用分离参量的方法,转化为最值问题得以解决。 范例分析 例 1. (1)已知 a, b, c 为正数,则 ? a ? b ? c ? ? (2)已知 a , b 为正数,且 a ? b ? 4 ,则

1? ? 1 ? ? 的最小值为 ? a?b c ?
; ;



1 1 ? 的最小值为 a b
2 2

(3)已知 a , b 为正数,且 ab ? a ? b ,则 a ? b 的最小值为

例 2. (1)已知 x2+y2=4,则 A.-2 B.-

2 xy 的最小值为( x? y?2
C.2-2 2

) D.2+2 2 的最大值是 ( )

4 3

2 2 x ? n y (2) 若实数 m, n, x, y 满足 m ? n ? a ,x 2 ? y 2 ? b(a≠b) 则m

(A)

a?b 2

(B) ab
2

(C)

a2 ? b2 2
2

(D)

ab a?b


? 1 ? ? 1 ? (3)若 x, y 为正数,则 ? x ? ? ? ? y ? ? 的最小值是( 2y ? ? 2x ? ?
A、3 B、

7 2

C、4

D、

9 2


例 3. (1)设 x ? y ? z , n ? N ,且 A、2 B、3 C、4

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值是( ? ? x? y y?z x?z

D、5

(2)若 m, x, y 都是正实数,且不等式 m x ? y ? 则 m 的最小值是( )

x ? y 恒成立,

A. 2 2

B.

2

C. 2

D. 1

2 2 2 2 (3)若对任意的 x, y ? R , a1 ? x ? y ? x ? y ? a2 ? x ? y 恒成立,则实数 a1 的 最

大值为

,实数 a2 的最小值为



例 4、记 F ? x, y ? ? x ? y ? a x ? 2 2xy , x , y ? R 。
?

?

?

(1)是否存在 x0 ? R? ,使 F ? x0 , 2? ? 2 ?请说明理由; (2)若对任意的 x, y ? R ,恒有 F ? x, y ? ? 0 ,请求出 a 的取值范围。
?

请思考:若改 F ? x, y ? ? x ? y ? a x ? 2 3xy , x, y ? R , (2)的结论如何?
?

?

?

规律总结 1.应用不等式解决数学问题时,关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系,以及不 等关系的转化等,把问题转化为不等式的问题求解. 2.与不等式相关联的知识较多,如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析 几何与不等式,要善于寻找它们之间的联系,从而达到综合应用的目的. 3.化归思想在解决不等式问题中占有重要位置,等式和不等式之间的转化、不等式和不 等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等,对于这些转化,一定要注意条件. 4.引进待定系数巧用基本不等 式,体现了一定的数学智慧。 基础训练 一、选择题 1.已知 a ? b ? 0 ,全集为 R ,集合 M ? ? x b ? x ?

? ?

a ?b? ? , N ? x ab ? x ? a , 2 ?

?

?

P ? x b ? x ? ab ,则 M , N , P 满足(
A、 P ? M ? ?CR N ? B、 P ? ?CR M ? ? N

?

?

) C、 P ? M ? N D、 P ? M ? N )

2.若 a ? b ? 1 , P ? lg a ? lg b , Q ? A、 R ? P ? Q 3.已知不等式(x+y)( A.2 B.4 B、 P ? Q ? R

1 a?b ,则( ? lg a ? lg b ? , R ? lg 2 2
D、 P ? R ? Q

C、 Q ? P ? R

1 a + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x y C.6 D.8
a? b 2

)

4..已知 a、b 是不相等的正数,x=

,y= a ? b ,则 x、y 的关系是(



A.x>y

B.y>x

C.x> 2 y
1? ? ? ? ?a b?

D.不能确定

5.设 a ? b ? 0, a ? b ? 1 且 x ? loga b, y ? log? 1 是( ) A. y ? x ? z 二、填空题 6.函数 y ? 2 ? x ? 2 ? x 的值域为

ab, z ? log 1 a 则 x, y, z 之间的大小关系
b

B. z ? y ? x

C. y ? z ? x

D. x ? y ? z

。 。

7. ?ABC 的三边 a, b, c 成等比数列,则 ? B 的取值范围是

8.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在[1,12]上恒成立,求实数

a 的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路, 你认为他们所讨论的问题的正确结论, 即 a 的取值范围是 三、解答题 9.已知函数 f ? x ? ? log2 ? x ? m? ,且 f ? 0? , f ? 2? , f ? 6? 成等差数列。 (1)求实数 m 的值; (2)若 a, b, c 是两两不等的正数,且 a, b, c 成等比数列,试判断 f ? a ? ? f ? c ? 与 2 f ? b ? 的 大小关系,并证明你的结论。 .

10. (1)证明:一次函数 f ? x ? ? kx ? h ? k ? 0? ,若 m ? n, f ? m? ? 0, f ? n? ? 0 ,则对任 意的 x ? ? m, n ? ,都有 f ? x ? ? 0 ; (2)试证明:若 a, b, c ? R, a ? 1, b ? 1, c ? 1,则 ab ? bc ? ca ? ?1 。

能力提高 11.已知 x, y, z ? R ,且 xyz ? x ? y ? z ? ? 1 ,则 ? x ? y ?? y ? z ? 的最小值为(
?



A、1

B、2

C、3
2

D、4

12.已知 a ? b ? 0 ,求 a ?

16 的最小值。 b ?a ? b?

[来源:学_科_网]

3.4 基本不等式(第 4 课时)参考答案 范例分析 例 1.解: (1)当 a ? b ? c 时,最小值为 4; (2)当 a ? b ? 2 时,最小值为 1; (3)

1 1 2 a 2 ? b2 2 2 ? ? 1 ,由 ,得 a ? b ? 8 ,当 a ? b ? 2 时,最小值为 8; ? a b 1/ a ? 1/ b 2

例 2.解: (1)方法 1:令 x ? 2cos ? , y ? 2sin ? ,则 u ?

2 xy 4sin ? cos ? , ? x ? y ? 2 sin ? ? cos ? ? 1

再令 t ? sin ? ? cos ? ?

?? ? 2 sin ?? ? ? ? ? ? 2, 2 ? ? ,则 4? ? ?

u?

2 ? t 2 ? 1? t ?1

?? 2 ? t ? 1? ? 2 ? 2 ? 1 ,当且仅当 x ? y ? ? 2 取等号。选 C。
2

?

?

? x ? y? ? 4 ? x ? y ? 2 ? 2 ? 2 2 。 2 xy 方法 2: u ? ? ? ? x? y?2 x? y?2
2 2 2 2 (2)方法 1, 2ab ? a x ? y ? b m ? n ? 2 ab ? mx ? ny ? ,

?

? ?

?

当且仅当

m2 n 2 a ? ? 时, mx ? ny 的最大值是 ab ;选 B。 x2 y 2 b

方法 2,令 m ? a cos ? , n ? a sin ? , x ? b cos ? , y ? b sin ? ,则

mx ? ny ? ab cos ?? ? ? ? ? ab ;选 B。
m2 ? x 2 n2 ? y 2 a ? b ? ? 评注:若由 mx ? ny ? ,则错选 A,为什么? 2 2 2

方法 3,设 p ? ? m, n ? , q ? ? x, y ? ,则 mx ? ny ? p ? q ? p ? q ?
2 2

? ?

?

? ? ?

? ? ?

ab 。选 B。

? 1 ? ? 1 ? ? 2 1 ? ? 2 1 ? ? x y? (3) ? x ? ? ?? y ? ? ? ?x ? 2 ??? y ? 2 ??? ? ? ? 4 , 2y ? ? 2x ? ? 4x ? ? 4y ? ? y x ? ?
当且仅当 x ? y ?

1 时等号成立。 2

例 3.解: (1)令 a ? x ? y ? 0, b ? y ? z ? 0 ,则 n ? ? a ? b ? ? 因为 ? a ? b ? ?

?1 1? ? ? 恒成立, ?a b?

?1 1? ? ? ? 4 ,故 n 的最大值为 4 。 ?a b?
x? y

[来源:Z#xx#k.Com]

(2)原问题转化为 m≥

x? y

恒成立.从而 m 的最小值就是

x?

y

x? y

的最大值.

∵x>0,y>0,∴ x ? y ≥

2 ( x ? y)

2

=

x? 2

y

.



x?

y

x? y



x? x? 2

y y

= 2 .∴m 的最小值为 2 .

x2 ? y 2 ( 3)因为 x ? y ? 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ,所以实数 a2 的最小值为 2 ; 2
又 x? y ?

x 2 ? y 2 ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ,所以实数 a1 的最大值为 1。

评注:分离参数法是求参数的范围问题常用的方法,化归是解这类问题常用的手段. 例 4.解: (1) F ? x0 , 2 ? ? 2 ? x0 ? a x0 ? 4 x0 ? 因为 x0 ? R? ,所以 ?1 ? a ? x0 ? 4a 。 当 0 ? a ? 1 时,存在 x0 ?

?

?

? x0 ? ??1 ? a ? x0 ? 4a ? ,

16 a 2

? a ? 1?

2

满足条件;

当 a ? 1 或 a ? 0 时,这样的 x0 不存在。 (2)由 F ? x, y ? ? 0 知, a ?

x? y ? 对任意的 x, y ? R 成立,只需 a 不大于 x ? 2 2 xy

u?

x? y 的最小值。 x ? 2 2 xy

方法 1,因为 2 2 xy ? x ? 2 y ,从而 u ?

1 x? y x? y 1 ? ? ,故 a ? 。 2 x ? 2 2 xy x ? ? x ? 2 y ? 2

方法 2,根据分子、分母为齐次式的特点,令 t ?

2y ,则 x

1 x? y 2 ? t2 1 ? 9 ? 1 当且仅当 t ? 1 时取等号, 故a ? 。 u? ? ? ??1 ? 2t ? ? ? 2? ? , 2 1 ? 2t x ? 2 2 xy 2 ? 4t 8 ? ? 2
评注: (2)中方法 1,由于系数的特殊性,很巧妙地利用基本不等式进行了放缩,但对 于更一般的系数, 如根号下的系数 2 改为 3, 怎么办?——引入待定系数, 再用基本不等式:

2 3xy ? 2 3? x ?

1

?

y ? 3? x ?

1

?

y ? ? ? 0 ? ,则 u ?

x? y

?1 ? 3? ? x ?

1



?

y

只需 1 ? 3? ? 基础训练 1~5 AABBC;

1

?

,即 ? ?

13 ? 1 13 ? 1 13 ? 1 ,就有 u ? ? ? ,从而 a ? 。 6 6 6

3. 提示: 不等式(x+y)(

1 a y ax y 恒成立, 则1 ? a ? ? ≥ a ? 2 a ?1 ? )≥9 对任意正实数 x, x y x y

≥9,∴

a ≥2 或 a ≤-4(舍去),所以正实数 a 的最小值为 4,选 B.
1 1 ( a + b )2= (a+b+2 ab ) , 2 2

4.提示:∵x2= y2=a+b=

1 1 (a+b+a+b)> (a+b+2 ab )=x2,又 x>0,y>0.∴y>x. 2 2

5.提示:令 t ?

y 4 xy ?y ? 0 ,则 x x2

2

16 xy ? x 2 1 1 ? 4t ? t 在 ? 0, ??? 上为增函数; ? ? 2 16 y 2 t 16t
2

在 ? 0, ??? 上为减函数; 从而 u ?

1 1? 1 1 ? 9 2 当且仅当 t ? 时等号成立。 ? 4t ? t ? ? 2 ? ? , 2 2? t 16t ? 4
2 2

6.令 a ? 2 ? x , b ? 2 ? x ,则 a ? b ? 4 ,由

a?b a 2 ? b2 得y?2 2, ? 2 2

当 x ? 0 时,最大值为 2 2 ;当 x ? ?2 时,最小值为 2 。 或 y ? 4 ? 2 4 ? x ? ? 4,8? ,所以 y ? ? 2, 2 2 ? 。
2 2

?

?

7. 0 ? B ?

?
3

;提示: b ? ac , cos B ?
2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 ? ? 。 2ac 2ac 2

8. a ?(??,10] ;提示:由 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | ,

x

而 x ? 25 ? 2 x?25 ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;且 | x 2 ? 5 x |? 0 ,等号当

x

x

且 仅 当 x ? 5? [1,1 2时 ] 成 立 ; 所 以 , a ? [ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]m i n?10 , 等 号 当 且 仅 当

x

x ? 5?[1,12] 时成立;故 a ?(??,10] 。
9.解: (1)由已知, ? m ? 2 ? ? m ? m ? 6 ? ,得 m ? 2 ;
2

(2)因为 a, b, c 是两两不等的正数,且 b ? ac , 所以
2

? a ? 2?? c ? 2 ? ? ? b ? 2 ?

2

? 2 ? a ? c ? 2b ? ? 4
2

?

ac ? b ? 0 ,

?

即 ? a ? 2 ?? c ? 2 ? ? ? b ? 2 ? ,两边取以 2 为底的对数,得 f ? a ? ? f ? c ? ? 2 f ? b ? 。 10. (1)若 k ? 0 ,则 f ? x ? ? f ? m? ? 0 ;若 k ? 0 ,则 f ? x ? ? f ? n ? ? 0 ; 综上,对任意的 x ? ? m, n ? ,都有 f ? x ? ? 0 ; (2)令 f ? a ? ? ?b ? c ? a ? bc ? 1 ,因为 ?1 ? a, b, c ? 1 ,所以

f ?1? ? ?1? b??1? c ? ? 0 , f ? ?1? ? ?1? b??1? c ? ? 0 ,
由(1)知, f ? a ? ? ?b ? c ? a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1 。 能力提高 11.B;提示: ? x ? y ?? y ? z ? ? y ? x ? y ? z ? ? xz ? 2 xyz ? x ? y ? z ? ? 2 。

?b ? ?a ? b? ? a2 12.解:因为 a ? b ? 0 ,所以 b ? a ? b ? ? ? ? ? , 2 4 ? ?
2

u ? a2 ?

16 64 ? a 2 ? 2 ? 16 。 b ? a ? b? a

? ?b ? a ? b, ?a ? 2 2, 当且仅当 ? 2 ,即 ? 时取等号. ? ?a ? 8 ?b ? 2

全 品中考网


相关文章:
3.4基本不等式导学案
3.4.1 基本不等式【学习目标】1.能够叙述发现基本不等式的过程;会用多种方法...基本不等式教学设计 8页 2下载券 3.4.1基本不等式1 6页 免费 不等式证明方...
【学案】3.4基本不等式
【学案】3.4基本不等式_数学_高中教育_教育专区。2016 届文科人教版数学不等式教案 姓 名: 沈金鹏 数学学院 院、系: 专 业: 数学与应用数学 2015 年 11 ...
3.4基本不等式教学设计
3.4基本不等式教学设计_数学_高中教育_教育专区。基本不等式,数学,必修五《...2 【归纳总结】 如果 a , b 都是正数,那么 ab ? a?b ,当且仅当 a ?...
3.4 基本不等式导学案
3.4 基本不等式导学案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。导学案 基本不等式导学案 中大附中 高一年级组 杨坤学习目的: 1. 能够叙述发现基本不等式的过程; 会...
3.4 基本不等式学案
§3.4 简单应用定理证明不等式及求最值。 一、主要知识: 1 、重要不等式: 2、基本不等式: 基本不等式: ab ? a?b 2 学习目标:1、学会推导并掌握两个...
学案:3.4基本不等式(2)
学案:3.4基本不等式(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修 5 3.4 基本不等式(学案)(第 2 课时) 【知识要点】 1.基本不等式及其成立的条件; 2.利用...
3.4基本不等式4学案
3.4基本不等式4学案 隐藏>> 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 3.4.4 基本不等式(第 4 课时)35 **学习目标** 1.拓展基本...
3.4 基本不等式(一) 学案(人教A版必修5)
3.4 基本不等式(一) 学案(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。3.4 基本不等式: ab≤自主学习 a+ b (一) 2 知识梳理 1.如果 a,b∈R,那么 a2+...
3.4基本不等式-学案
基本不等式教案 6页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 3.4基本不等式-学案 隐藏>> §3.4.1 ...
更多相关标签:
基本不等式学案 | 3.4基本不等式 | 3.4基本不等式ppt | 3.4基本不等式教案 | 3.2不等式的基本性质 | 均值不等式学案 | 一元一次不等式学案 | 3.4一元一次不等式组 |