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2013届高三数学二轮复习 专题二 第1讲 三角函数的图像与性质教案


专题二 三角函数、解三角形、平面向量第 1 讲 质
自主学习导引

三角函数的图象与性

真题感悟 1.(2012?浙江)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是

解析 利用三角函数的图象与变换求解.

结合选项可知应选 A. 答案 A 2.(2012?湖北)已知向量 a=(cos ω x-sin ω x,sin ω x),b=(-cos ω x-sinω x,2 3 cos ω x),设函数 f(x)=a?b+λ (x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω 、λ 为常数,

?1 ? 且 ω ∈? ,1?. ?2 ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

?π ? ? 3π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. 4 5 ? ? ? ?
解析 (1)因为 f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x? cos ω x+λ π? ? =-cos 2ω x+ 3sin 2ω x+λ =2sin?2ω x- ?+λ . 6? ? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π? ? 可得 sin?2ω π - ?=±1. 6? ? π π k 1 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z),即 ω = + (k∈Z). 6 2 2 3
2 2

-1-

5 ?1 ? 又 ω ∈? ,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω = . 6 ?2 ? 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 π ? ? ?π ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ,0?,得 f? ?=0, ?4 ? ?4? 5 π π? π ? 即 λ =-2sin? ? - ?=-2sin =- 2. 4 ?6 2 6 ? ?5 π ? 即 λ =- 2,故 f(x)=2sin? x- ?- 2. 6? ?3 3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6 1 ? 5 π? 所以- ≤sin? x- ?≤1, 6? 2 ?3 ?5 π ? 得-1- 2≤2sin? x- ?- 2≤2- 2, 6? ?3 3π 故函数 f(x)在[0, ]上的取值范围为[-1- 2,2- 2]. 5 考题分析 本节内容高考的重点就是利用三角函数性质,如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性 及“五点作图法”等,去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题, 三角函数的图象主要考查其变换,题型既有选择题也有填空题,也有解答题,难度中等偏下. 网络构建

高频考点突破 考点一:三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【例 1】(2012?北京东城模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将点 A(1, 3)绕原点 O 顺时针旋 转 90°到点 B,那么点 B 的坐标为________;若直线 OB 的倾斜角为 α ,则 sin 2α 的值为 ________. [审题导引] 根据三角函数的定义求出点 B 的坐标,进而求出角α ,可求 sin 2α .

-2-

[规范解答] 如图所示, ∵点 A 的坐标为( 3,1), ∴∠AOx=60°,又∠AOB=90°,∴∠BOx=30°, 过 B 作 BC⊥x 轴于 C, ∵OB=2, ∴OC= 3,BC=1, ∴点 B 的坐标为( 3,-1), 5π 5π 则直线 OB 的倾斜角为 ,即 α = , 6 6 ∴sin 2α =sin 5π 2π 3 =-sin =- . 3 3 2 3 2

[答案] ( 3,-1) - 【规律总结】

三角函数的定义与诱导公式的应用 (1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础,应用三角函数的 定义求三角函数值有时反而更简单. (2)应用诱导公式化简三角函数式,要注意正确地选择公式,注意公式的应用条件. 【变式训练】 1.(2012?惠州模拟)在(0,2π )内,使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为 A.?

?π ,π ?∪?π ,5π ? ? ? ? 4 ? ?4 2? ?

?π ? B.? ,π ? ?4 ?

?π 5π ? C.? , ? 4 ? ?4

D.

?π ,π ? ?4 ? ? ?



?5π ,3π ? ? 4 ? 2 ? ?
解析 在单位圆中画三角函数线,如图所示,要使在(0,2π )内,sin x >cos x ,则 x ∈ ?π ,5π ?. ?4 4 ? ? ?

答案 C π? 1 ? 2.(2012?海淀一模)若 tan α = ,则 cos?2α + ?=________. 4? 2 ? π? ? 解析 cos?2α + ?=-sin 2α =-2sin α cos α 2? ?
-3-

1 2? 2 2sin α cos α 2tan α 4 =- 2 =- =- =- . 2 2 sin α +cos α 1+tan α 1?2 5 ? 1+? ? ?2? 4 答案 - 5 考点二:三角函数图象变换及函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式 π? ? 【例 2】(1)(2012?宿州模拟)函数 y=sin?2x+ ?的图象可由 y=cos 2x 的图象经过怎样的 3? ? 变换得到 π A.向左平移 个单位 6 π C.向左平移 个单位 12 π B.向右平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 12

(2)(2012?泰州模拟)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图 ?π ? 象如图所示,则 f? ?的值是________. ?6?

[审题导引] (1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数,然后比较二者的差异可得; (2)先由图象求出 f(x)的周期,从而得ω 的值,再由关键点求φ ,由最小值求 A,故得 f(x), 可求 f. π? ? [规范解答] (1)y=sin?2x+ ? 3? ? =cos?

? π -?2x+π ??=cos?2x-π ? ? ? 3 ?? 6? ?? ? ? ? 2 ?

? π? =cos 2?x- ?, ? 12?
π? π ? 故函数 y=sin?2x+ ?的图象可由 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位得到,故选 D. 3? 12 ?

T 7 π π (2)如图所示, = π - = , 4 12 3 4 ∴T=π .则 ω =2. π π 又 2? +φ =π ,∴φ = , 3 3
又易知 A= 2, π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+ ?, 3? ? 2π 6 ?π ? ∴f? ?= 2sin = . 3 2 ?6?
-4-

[答案] (1)D (2)

6 2

【规律总结】 求函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的解析式及其图象变换的规律方法 (1)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图 中的最高点、最低点求 A,由函数的周期确定 ω ,由图象上的关键点确定 φ . (2)一般地,函数 y=sin(ω x+φ )的图象,可以看作把曲线 y=sin ω x 上所有点向左(当 φ ?φ ? >0 时)或向右(当 φ <0 时)平移? ?个单位长度而得到的. ?ω ? 【变式训练】 3.(2012?临沂模拟)若函数 y= 3sin x-cos x 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所 得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 π π π 2π A. B. C. D. 6 4 3 3 π? ? 解析 y= 3sin x-cos x=2sin?x- ?,函数图象向右平移 m(m>0)个单位长度,得到的函 6? ? π? π π ? 数解析式为 y=2sin?x-m- ?,要使所得到的图象关于 y 轴对称,则有 m+ = +kπ ,k 6? 6 2 ? π π ∈Z,即 m= +kπ ,k∈Z,所以当 k=0 时,m= ,选 C. 3 3 答案 C 4.(2012?房山一模)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的图象如图所示,则 ω =________,φ =________.

3π 5π =π - ,∴T= , 2 8 4 2π 8 ∴ω = = . T 5 8 3π 3π 9 又 ? +φ = ,∴φ = π . 5 8 2 10 8 9 答案 π 5 10 考点三:三角函数图象与性质的综合应用 解析 【例 3】(2012?北京东城 11 校联考)已知函数 f(x)=cos ω x- 3sin ω x?cos ω x(ω >0) 的最小正周期是 π . (1)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心; (2)若 A 为锐角△ABC 的内角,求 f(A)的取值范围. [审题导引] 把 f(x)化为 y=Acos(ω x+φ )+k 的形式后求单调区间与对称中心,再根据 A
2

T

-5-

的范围求 f(A)的取值范围. 1+cos 2ω x 3 [规范解答] (1)f(x)= - sin 2ω x 2 2 π? 1 ? =cos?2ω x+ ?+ , 3? 2 ? 2π T= =π ,ω =1. 2ω π? 1 ? f(x)=cos?2x+ ?+ , 3? 2 ? π -π +2kπ ≤2x+ ≤2kπ ,k∈Z, 3 2π π - +kπ ≤x≤- +kπ . 3 6 π ? 2π ? 函数 f(x)的单调增区间为?- +kπ ,- +kπ ?,k∈Z, 6 ? 3 ? π π π kπ 令 2x+ = +kπ ,x= + , 3 2 12 2 π kπ 1? ? ∴对称中心为? + , ?,k∈Z. ?12 2 2? π π π 4π (2)0<A< , <2A+ < , 2 3 3 3 π? 1 ? -1≤cos?2A+ ?< , 3? 2 ? π? 1 1 ? - ≤cos?2A+ ?+ <1, 3? 2 2 ? ? 1 ? 所以 f(A)的取值范围为?- ,1?. ? 2 ? 【规律总结】 三角函数性质的求解方法 (1)三角函数的性质问题,往往都要先化成 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式再求解. (2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基 本思想即可求三角函数的单调性,最值与周期. [易错提示] (1)在求三角函数的最值时,要注意自变量 x 的范围对最值的影响,往往结合图 象求解. (2)求函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的单调区间时,只有当ω >0 时,才可整体代入并求其解, 当ω <0 时,需把ω 的符号化为正值后求解. 【变式训练】 ? π? 5.(2012?朝阳模拟)已知函数 f(x)=cos?x- ?. 4? ? 7 2 (1)若 f(α )= ,求 sin 2α 的值; 10

? π? ? π π? (2)设 g(x)=f(x)?f?x+ ?,求函数 g(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 2? ? ? 6 3?
π? 7 2 ? 解析 (1)因为 f(α )=cos?α - ?= , 4 ? 10 ?

-6-

所以

2 7 2 (cos α +sin α )= , 2 10

7 所以 cos α +sin α = . 5 49 2 2 平方得,sin α +2sin α cos α +cos α = , 25 24 所以 sin 2α = . 25

? π? (2)因为 g(x)=f(x)?f?x+ ? 2? ? ? π? ? π? =cos?x- ??cos?x+ ? 4? 4? ? ?
2 2 (cos x+sin x)? (cos x-sin x) 2 2 1 1 2 2 = (cos x-sin x)= cos 2x. 2 2 π π? ? ? π 2π ? 当 x∈?- , ?时,2x∈?- , ?. 3 ? ? 6 3? ? 3 1 所以,当 x=0 时,g(x)的最大值为 ; 2 π 1 当 x= 时,g(x)的最小值为- . 3 4 名师押题高考 π 3 ?π ? 【押题 1】已知 <θ <π ,sin? +θ ?=- ,则 tan(π -θ )的值为 2 5 ?2 ? = A. 3 4 4 B. 3 3 C.- 4 4 D.- 3

3 ?π ? ?π ? 解析 ∵sin? +θ ?=cos θ =- ,θ ∈? ,π ?, 5 ?2 ? ?2 ? 4 4 ∴sin θ = ,∴tan θ =- , 5 3 4 tan(π -θ )=-tan θ = . 3 答案 B [押题依据] 本题以选择题的形式考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式,重点突出、 考查全面,题目考查内容基础性较强,符合高考的方向,故押此题. 【押题 2】(2012?北京东城一模)已知函数 f(x)=(sin 2x+cos 2x)2-2sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期 π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位 8

? π? 长度得到的,当 x∈?0, ?时,求 y=g(x)的最大值和最小值. 4? ?
解析 (1)因为 f(x)=(sin 2x+cos 2x) -2sin 2x
-72 2

π? ? =sin 4x+cos 4x= 2sin?4x+ ?, 4? ? π 所以函数 f(x)的最小正周期为 . 2 ? ? π? π? (2)依题意,y=g(x)= 2sin? 4?x- ?+ ?+1 8? 4? ? ? π? ? = 2sin?4x- ?+1. 4? ? π π π 3π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤4x- ≤ . 4 4 4 4 π π 3π 当 4x- = ,即 x= 时,g(x)取最大值 2+1; 4 2 16 π π 当 4x- =- ,即 x=0 时,g(x)取最小值 0. 4 4 [押题依据] 将三角函数式化为 y=Asin(ω x+φ )的形式,再求其周期、单调区间、最值等, 一直是高考的热点考向,也是三角函数的重要内容,本题考查内容重点突出,难度适中,故 押此题.

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