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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 2.4二次函数与幂函数课件 理


必考部分

第二章
函数、导数及其应用

第四节

二次函数与幂函数

主干知识· 整合
热点命题· 突破

课堂实效· 检测
课时作业

主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源

幂函数<

br />1.幂函数的定义
α y = x 形如 ________ (α ∈ R) 的函数称为幂函数,其中 x 是 自变量 ,α 为________ 常数. ________

2.五种幂函数的图象

3.五种幂函数的性质

幂函数与指数函数有何不同? 提示:本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变 量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置.

1.判断下列说法是否正确? (1)函数 f(x)=x2 与函数 f(x)=2x2 都是幂函数.( (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).( (3)幂函数的图象不经过第四象限.( ) ) )

答案:(1)×

(2)×

(3)√

2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单 调递减的函数是( A.y=x-2 C.y=x2 ) B.y=x-1 D.y=x
1 3

解析:∵y=x 和 y=x 都是奇函数,故 B、D 错误.又 y=x2 虽为偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故 C 错误.y 1 - =x 2=x2在(0,+∞)上为减函数,且为偶函数,故 A 满足 题意.

-1

1 3

答案:A

二次函数

1.二次函数的三种常见解析式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a≠0), (m, n)为顶点坐标; (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)其中 x1,x2 分别 是 f(x)=0 的两实根.

2.二次函数的图象和性质

ax2 +bx+c>0(a≠0)与 ax2 +bx+ c<0(a≠0)恒成立的充 要条件分别是什么? 提 示 : (1)ax2 + bx + c>0(a≠0) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
? ?a>0, ? ? ?Δ<0.

(2)ax

2

? ?a<0, +bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是? ? ?Δ<0.

3.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值 为-1,则它的解析式为________.

解析:依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1, 1 又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,∴a=2. 1 ∴f(x)=2(x-2)2-1.
1 答案:f(x)=2(x-2)2-1

4. 抛物线 y=8x2-(m-1)x+m-7 的顶点在 x 轴上, 则 m=________.

4×8×?m-7?-?m-1?2 解析:∵ =0, 4×8 ∴m2-34m+225=0,∴m=9 或 25.
答案:9 或 25

5.若函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于 直线 x=1 对称,则 f(x)max=________.

? a+2 ?- =1, 2 解析:由题知? ? ?a+b=2.

? ?a=-4, ∴? ? ?b=6.

∴f(x)=x2-2x+6,x∈[-4,6], ∴当 x=-4 或 6 时,f(x)max=30.
答案:30

1.幂函数的图象特征 α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成 立. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内, 一定不会出现 在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的 奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如 果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

2.二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方 程根的分布问题,解决的主要思路是等价转化,多用到数形 结合思想与分类讨论思想. 3.对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注 意等价转化思想的运用.

热点命题· 突破 02
考点突破 解码命题

幂函数的图象与性质

【例 1】 (1)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2), 则幂函 数 y=f(x)的图象是( )

(2)当 0<x<1 时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2 的大小 关系是________.
【解析】 (1)设幂函数的解析式为 y=xα,

∵幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2), 1 ∴2=4α,解得 α=2.

∴y= x,其定义域为[0,+∞),且是增函数, 当 0<x<1 时,其图象在直线 y=x 的上方,对照选项, 故选 C. (2)如图所示为函数 f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由 此可知 h(x)>g(x)>f(x).
【答案】 (1)C (2)h(x)>g(x)>f(x)

(1) 幂函数解析式一定要设为 y = xα(α 为常数)的形式;(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称 性、 单调性; (3)在比较幂值的大小时, 必须结合幂值的特点, 选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂 函数的图象和性质是解题的关键.

比较下列各组数的大小: (1)1.1 ,0.9 ,1;
? (2)? ?- ?
1 2 1 2

2? ? 2? ?

2 3

? 10?- ,? - 7 ? ? ?

2 3

,(-1.1)

4 3

.

解:(1)把 1 看作 1 ,幂函数 y=x 在(0,+∞)上是增 函数. ∵0<0.9<1<1.1,∴0.9 <1 <1.1 . 即 0.9 <1<1.1 ,
? (2)因为? ?- ? ? 10?- ?- ? 7? ?
2 3 2 ? 2? 2 2? ?3 ? ?3 = ? 2 ? , 2? ? ? ? 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

? 7? =?-10? ? ?

?7? =?10? ? ?

2 3



(-1.1)

4 3

=(1.1 )
2 3

2

2 3

=1.21 ,

2 3

7 2 幂函数 y=x 在(0,+∞)上是增函数,且10< 2 <1.21.
? 10?- ∴?- 7 ? ? ?
2 3

? <? ?- ?

2 2? ?3 <(-1.1) 2? ?

4 3

.

二次函数的图象问题

【例 2】 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一 部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=-1.给出下面四 个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b. 其中正确的是( A.②④ C.②③ )

B.①④ D.①③

【解析】 因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0, 即 b2>4ac,①正确; b 对称轴为 x=-1,即- =-1,2a-b=0,②错误; 2a 结合图象,当 x=-1 时,y>0,即 a-b+c>0,③错误; 由对称轴为 x=-1 知,b=2a.又函数图象开口向下, 所以 a<0,所以 5a<2a, 即 5a<b,④正确.

【答案】 B

解决二次函数的图象问题有以下两种 方法: (1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点; (2)讨论函数图象,依据图象特征,得到参数间的关系.

a (1)函数 y=ax +a 与 y=x(a≠0)在同一坐标系中的图象
2

可能是(

)

(2)(2014· 江苏卷)已知函数 f(x)=x2+mx-1, 若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是 ________.

解析:(1)当 a>0 时,二次函数 y=ax2+a 的图象开口向 上,且对称轴为 x=0,顶点坐标为(0,a),故排除 A,C; 当 a<0 时,二次函数 y=ax2+a 的图象开口向下,且对称轴 a 为 x=0,顶点坐标为(0,a),函数 y=x 的图象在第二、四象 限,故排除 B,选 D.

(2)根据题意,得
2 2 ? ?f?m?=m +m -1<0, ? 2 ? f ? m + 1 ? = ? m + 1 ? +m?m+1?-1<0, ?

2 解得- 2 <m<0.
答案:(1)D
? (2)? ?- ? ? 2 ? ,0? 2 ?

二次函数的性质及应用

【例 3】 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上 是单调函数; (3)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间.

解答 (1) 和 (2) 可根据对称轴与区间的关 系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为 分段函数,再求单调区间.

【解】 (1)当 a=-2 时, f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在[-4,2]上为减函数,在(2,6]上为增函数,∴f(x)min =f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. 2a (2)函数 f(x)=x +2ax+3 的对称轴为 x=- 2 =-a,
2

∴要使 f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4 或- a≥6,解得 a≥4 或 a≤-6.

(3)当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3=
2 2 ? ?x +2x+3=?x+1? +2,x≤0 ? 2 2 ? x - 2 x + 3 = ? x - 1 ? +2,x>0 ?

其图象如图所示:

又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1]和[0,1]上为减 函数,在区间(-1,0)和(1,6)上为增函数.

有关二次函数的问题,数形结合,密切联系 图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不 等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.

已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2)在(1)的条件下, f(x)>x+k 在区间[-3, -1]上恒成立, 试求 k 的范围.

解:(1)由题意有 f(-1)=a-b+1=0, b 且-2a=-1,∴a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-∞,-1],单调增 区间为[-1,+∞). (2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为 x2+x+1>k 在区间[-3,-1]上恒成立,

设 g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则 g(x)在[-3,- 1]上递减. ∴g(x)min=g(-1)=1. ∴k<1,即 k 的取值范围为(-∞,1).

热点微专题之数学思想系列(二) 二次函数在闭区间上的最值问题 研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对 称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的 关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: (1)轴定区间定求最值; (2)轴动区间定求最值; (3)轴定区间动求最值.

【典例】 值.

已知 f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小

【规范解答】 (1)当 a=0 时, f(x)=-2x 在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)当 a>0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向上,且 1 对称轴为 x=a. 1 ①当 ≤1, 即 a≥1 时, f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1] a 内,

? ?1 ? 1? ∴f(x)在?0,a?上递减,在?a,1?上递增. ? ? ? ? ? 1? 1 2 1 ? ? ∴f(x)min=f a =a-a=-a. ? ?

1 ②当a>1,即 0<a<1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在 [0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.

(3)当 a<0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向下,且 1 对称轴 x= <0,在 y 轴的左侧, a ∴f(x)=ax2-2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. a-2,a<1, ? ? 综上所述 f(x)min=? 1 - ,a≥1. ? ? a

名师点评

1.本题在求二次函数最值时,用到了分类讨

论思想,求解中既对系数 a 进行了讨论,又对对称轴进行了 讨论;在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要 一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量 避免分类,绝不无原则的分类讨论. 2.在有关二次函数最值的求解中,若轴定区间动,仍 应对区间进行分类讨论.

设函数 y=x2-2x, x∈[-2, a], 求函数的最小值 g(a).
解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a] 内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,

则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1] 上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=- 1.
2 ? ?a -2a,-2<a<1, 综上,g(a)=? ? ?-1,a≥1.

课堂实效· 检测 03
当堂检验 小试牛刀

1.函数 y=x-x 的图象大致为(

1 3

)

解析: 函数 y=x-x 为奇函数. 当 x>0 时, 由 x-x >0, 即 x3>x 可得 x2>1,即 x>1,结合选项,选 A.

1 3

1 3

答案:A

2.已知二次函数的图象如图所示,那么此函数的解析 式可能是( )

A.y=-x2+2x+1 B.y=-x2-2x-1 C.y=-x2-2x+1 D.y=x2+2x+1

解析:设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由题图象得:a<0,b<0,c>0.选 C.

答案:C

3.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)= f(4)>f(1),则( )

A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0

解析:由 f(0)=f(4)得 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x= b - =2,∴4a+b=0,又 f(0)>f(1),∴f(x)先减后增,于是 2a a>0.

答案:A

4.若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1, 则实数 a 等于________.

解析:函数 f(x)=x2-ax-a 的图象为开口向上的抛物 线,∴函数的最大值在区间的端点取得,∵f(0)=-a,f(2)
? ?-a>4-3a, =4-3a,∴? ? ?-a=1 ? ?-a≤4-3a, 或? ? ?4-3a=1,

解得 a=1.

答案:1

5.已知幂函数 f(x)=x(m

2+m)-1

(m∈N*),经过点(2, 2),

试确定 m 的值, 并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取 值范围.

解:∵幂函数 f(x)经过点(2, 2),∴ 2=2(m2+m)-1, 即 2 =2
1 2

(m2+m)-1

.∴m2+m=2.

解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N*,∴m=1. ∴f(x)=x ,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义 域上为增函数. ?2-a≥0, ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0, ?2-a>a-1, ?
? 3? 3 解得 1≤a<2.∴a 的取值范围为?1,2?. ? ?
1 2


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