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2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质模拟创新题文


【大高考】 2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第五 节 抛物线及其性质模拟创新题 文 新人教 A 版
一、选择题 1.(2016·河南洛阳统考)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AF| =5,则|BF|=( A. C. 1 4 5 4 ) B.1 D.2
2

解析 不妨设点 A 位于 x 轴上方,由|AF|=5 得 xA=5-1=4,所以 yA=4,则直线方程为

y=

4-0 4 1 1 5 (x-1),即 y= (x-1),与抛物线的方程联立解得 xB= ,所以|BF|= +1= , 4-1 3 4 4 4

故选 C. 答案 C 2.(2014·陕西高三质检一)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y =2x 的焦 点为 F,点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是( A. C. 7 2 5 2 B.3 D.2 )
2

解析 1 抛物线的准线方程为 x=- ,由图知,当 MQ∥x 轴时,|MQ|-|QF|取得最小值,此时|QM| 2 1 5 -|QF|=|2+3|-|2+ |= ,选 C. 2 2 答案 C 3.(2016·江西师大附中,鹰潭一中联考)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,准线方程为 x =-1,直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若线段 AB 的中点为(2,1),则直线 l 的方程 为( ) B.y=-2x+5 D.y=x-1

A.y=2x-3 C.y=-x+3

1

解析 易知抛物线的方程为 y =4x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则?
?y1=4x, ? ? ?y2=4x2
2 2

2

两式相减得:(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以 AB

的斜率 k= 答案 A 二、填空题

y1-y2 4 4 = = =2,从而直线 AB 的方程为 y-1=2(x-2),即 y=2x-3. x1-x2 y1+y2 2

4.(2016·湖南株洲 3 月模拟)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与

C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为________. p |AB| 12 2 解析 设抛物线方程为 y =2px(p>0).∵当 x= 时,|y|=p,∴p= = =6. 2 2 2
1 又 P 到 AB 的距离始终为 p,∴S△ABP= ×12×6=36. 2 答案 36 创新导向题 抛物线的几何性质应用 5.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,两条 曲线的交点的连线过点 F,则双曲线的离心率为( A. C. 1+ 5 2 1+ 2 2 ) B.1+ 5 D.1+ 2
2

x2 y2 a b

? ? 解析 两曲线的一个交点坐标为? ,p?, ?2 ?
p
从而 =c,p= , 2 a 故 b =2ac=c -a ,e -2e-1=0 解得 e=1+ 2. 答案 D 抛物线定义的应用 → → 2 6.已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,A,B 为抛物线上两点,若AF=3FB,O 为坐标原点,则 △AOB 的面积为( A. C. 3 3 4 3 3 ) B. D. 8 3 3 2 3 3
2
2 2 2 2

p

b2

解析 如图所示,

3m 4 设|BF|=m,则|AD|=|AF|=3m,|AG|= ,又|AD|-|AG|=2|OF|=2,∴m= , 2 3 8 3 又|CD|=|BE|= , 3 1 4 3 所以 S△AOB= |OF||CD|= . 2 3 答案 C 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题 7.(2016·忻州四校一联)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点 F,M 为抛物线 C 上一点,若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且外接圆的面积为 9π , 则 p=( A.2 C.6 解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径, ∵圆的面积为 9π ,∴圆的半径为 3, 又∵圆心在 OF 的垂直平分线上,|OF|= ,∴ + =3, 2 2 4 ∴p=4. 答案 B 二、填空题 1 2 8.(2016·山东北镇中学,莱芜一中,德州一中 4 月联考)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点 2p 与双曲线 C2: -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平 3 行于 C2 的一条渐近线,则 p=________. ) B.4 D.8
2

p

p p

x2

2

3

3 2 解析 由题意可知,双曲线 C2: -y =1 的右焦点为 F(2,0),渐近线方程为 y=± x, 3 3 1 2? 1 2 ? p? ? 抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点为 F′?0, ?,设点 M 的坐标为?x0, x0?(x0>0),则 kMF′ 2p ? 2p ? 2? ? 1 2 p p x0- 2p 2 2 1 2 1 2 2 2 =kFF′,所以 = ,所以 2x0+p x0-2p =0.由 y= x 得 y′= x,所以 C1 在点 M x0 -2 2p p 1 3 3 4 3 2 2 2 处的切线的斜率为 x0= ,所以 x0= p,代入 2x0+p x0-2p =0 可得 p= . p 3 3 3 答案 4 3 3

x2

三、解答题 9.(2015·甘肃兰州诊断)如图, 已知抛物线 C: y =2px(p>0)的焦点坐标为 F(1, 0),过 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,直线 AO,BO 分别与直线 m:x =-2 相交于 M,N 两点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)证明:△ABO 与△MNO 的面积之比为定值. (1)解 由焦点坐标为(1,0)可知 =1, 2 所以 p=2,所以抛物线 C 的方程为 y =4x. (2)证明 当直线 AB 垂直于 x 轴时,△ABO 与△MNO 相似,
2 2

p

所以

S△ABO ?OF?2 1 =? ? = ; S△MNO ? 2 ? 4

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 设 M(-2,yM),N(-2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y=k(x-1), ? ? ?y =4x
2

消 y 并整理得 k x -(4+2k )x+k =0,

2 2

2

2

所以 x1·x2=1. 1 ·AO·BO·sin∠AOB S△ABO 2 AO BO x1 x2 1 所以 = = · = · = , S△MNO 1 MO NO 2 2 4 ·MO·NO·sin∠MON 2 综上,

S△ABO 1 = ,即△ABO 与△MNO 的面积之比为定值. S△MNO 4
创新导向题

抛物线与椭圆综合求解问题
4

x2 y 2 6 2 10.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,焦距为 4 2,抛物线 C2:x =2py(p>0) a b 3
的焦点 F 是椭圆 C1 的顶点. (1)求 C1 与 C2 的标准方程; → → (2)若 C2 的切线交 C1 于 P,Q 两点,且满足FP·FQ=0,求直线 PQ 的方程. 解 (1)设椭圆 C1 的焦距为 2c,依题意有 2c=4 2, =

c a

6 , 3

解得 a=2 3,b=2,故椭圆 C1 的标准方程为 + =1; 12 4 又抛物线 C2:x =2py(p>0)开口向上, 故 F 是椭圆 C1 的上顶点, ∴F(0,2),∴p=4,故抛物线 C2 的标准方程为 x =8y. (2)显然直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则
2 2

x2

y2

FP=(x1,y1-2),FQ=(x2,y2-2),
→ → ∴FP·FQ=x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4=0, 即(1+k )x1x2+(km-2k)(x1+x2)+m -4m+4=0(*)
2 2





y=kx+m, ? ? 2 2 联立? x y 消去 y 整理得, + =1 ? ?12 4
(3k +1)x +6kmx+3m -12=0(**). 依题意,x1,x2 是方程(**)的两根, Δ =144k -12m +48>0, -6km 3m -12 ∴x1+x2= 2 ,x1·x2= 2 , 3k +1 3k +1 将 x1+x2 和 x1·x2 代入(*)得
2 2 2 2 2 2

m2-m-2=0,解得 m=-1,(m=2 不合题意,应舍去),
联立?
? ?y=kx-1, ?x =8y ?
2

消去 y 整理得,

x2-8kx+8=0,令 Δ ′=64k2-32=0,
1 1 2 2 解得 k = ,经检验 k = ,m=-1 符合要求. 2 2 故直线 PQ 的方程为 y=± 2 x-1. 2

5


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