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全国高中数学联赛1981-1990年


全国高中数学联赛

历届真题

1981 第一届全国高中数学联赛 试题部分 一、选择题 下面 7 个题目各提出四个答案,将你认为正确的答案的英文字母代号填写在题后的括号内. 1. 条件甲:两个三角形的面积和二条边对应相等.条件乙两个三角形全等. (A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要

条件,也不是充分条件 答( ) 2.条件甲:

1 ? sin ? ? a .条件乙: sin

?
2

? cos

?
2

?a.

(A)甲是乙的充分必要条件 (C)甲是乙的充分条件 3.设 a ?

(B)甲是乙的必要条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 答( )

k? sin a ? tan a (k ? 0, ?1, ?2,...) , T ? . 2 cos a9 ? cot a
(A)T 取负值 (C)T 取正值 (B)T 取非负值 (D)T 取值可正可负 答( )

4.下面四个图形中,哪一个面积最大? (A) ? ABC : ?A ? 600 , ?B ? 450 , AC ? 2 (B)梯形:两对角线长度分别为 2 和 3 ,夹角为 75 (C)圆:半径为 1 (D)正方形:对解线的长度为 2.5 答( 5.给出长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,下列十二条直线: )
0

AB ', BA ', CD ', DC ', AD ', DA ', BC ', CB ', AC, BD, A ' C ', B ' D ' 中有多少对异面直线?
(A)30 对 (C)24 对 (B)60 对 (D)48 对
A' B' D' C'

C D

A

B

答(

)

6.在坐标平面上有两个区域 M 和 N.M 是由 y ? 0, y ? x ,和 y ? 2 ? x 这三个不等式确定的.N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t ? x ? t ? 1 所确定的, t 的取值范围是 0 ? t ? 1 .设 M 和 N 的公 共面积是函数 f (t ) .则 f (t ) 为: (A) ?t ? t ?
2

1 2

(B) ?2t ? 2t
2

(D) 1 ?

1 2 t 2

(D)

1 (t ? 2) 2 ?BPQ ? n 2
答( )

7.对方程 x | x | ? px ? q ? 0 进行讨论,下面的结论中,哪能个是错误的? (A)至多有三个实根 (C)仅当 p2 ? 4q ? 0 才有实根 (B)至少有一个实根 (D)当 p ? 0 和 q ? 0 时,有三个实根 答( 二、下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正. ) 5

x
1gx

0.021

0.27

105

208

3

2a ? b ? c ? 3
6

6a ? 3b ? 2
7

3a ? b ? c
8

1 ? 2a ? 2b ? c
9

2a ? b
14

a?c

x
1gx

1? a ? b ? c

2(b ? c)

3 ? 3a ? 3c

4a ? 2b
0

1 ? c ? 2b

三、在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45 角.若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径长为 1.求证: PC ? QE ? PD ? QF ? 2 . 四、组装甲、乙、丙三种产品,需用 A,B,C 三种零件.每件甲需用 A,B 各 2 个;每件乙需 用 B,C 各 1 个;每件丙需用 2 个 A 和 1 个 C.用库存的 A,B,C 三种零件,如组装成 p 件甲 产品、 q 件乙产品和 r 件丙产品,则剩下 2 个 A 和 1 个 B,但 C 恰好用完.试证:无论臬改 变产品甲、乙、丙的件数,也不能把库存的 A,B,C 三种零件都恰好用完. 五、一张台球桌开头是正六边形 ABCDEF.一个球从 AB 的中点 P 击出,击中 BC 边上的某点 Q,并且依次碰击 CD,DE,EF,FA 各边,最后击中 AB 边上的某一点,设 ?BPQ ? ? ,求 ? 的 取值范围. 提示:利用入射角等于反射角的原理 1982 试题部分 一、选择题 本题共有 8 个小题,每一小题都有(A)(B)(C)(D)四个答案供选择,其中有一 、 、 、 个且只有一个答案是正确的,请把你认为正确的那个答案前的代号写在题后的括号内. 1. 如果凸 n 边形 F (n ? 4) 所有对角线都相等,那么

(A) F ? 四边形

?

? ? ?

(B) F ? 五边形

?

(C) F ? 四边形 ? 五边形

?

? ?

(D) F ? 各边相等的多边形 ? 内角相等的多边形

?

? ?

?
答( )

2. 极坐标方程 (A)圆

1 1 ? cos ? ? sin ?
(B)椭圆

所确定的曲线是 (C)双曲线 (D)抛物线 答( )

3. 如果 1og 2 ?1og 1 (1og 2 x) ? ? 1og3 ?1og 1 (1og3 y) ? ? 1og5 ?1og 1 (1og5 z ) ? ? 0 ,那么

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

2

3

5

(A) z ? x ? y

(B) x ? y ? z

(C) y ? z ? x

(D) z ? y ? x 答( )

4.由方程 | x ? 1| ? | y ? 1|? 1 确定的曲线所围成的图形的面积是 (A)1 5.对任何 ? ? (0, (B)2 (C) ? (D)4 答( )

?
2

) ,都有:
(B) sin sin ? ? cos ? ? cos cos ? (D) sin cos ? ? cos ? ? cos sin ? 答(
2 2

(A) sin sin ? ? cos ? ? cos cos ? (C) sin cos ? ? cos ? ? cos sin ?



2 2 6.已知 x1 , x2 是方程 x ? (k ? 2) x ? (k ? 3k ? 5) ? 0 (k为实数) 的两个实数根, x1 ? x2 的

最大值是 (A)19 (B)18 (C) 5

5 9

(D)不存在 答( )

7.设 M ? ?( x, y) :| xy |? 1, x ? 0? , N ? ?( x, y) : arctan x ? arctan y ? ? ? ,那么 (A) M ? N ? ?( x, y) :| xy |? 1 ? (B) M ? N ? M (C) M ? N ? N (D) M ? N ? ( x, y) :| xy |? 1, 且x, y不同时为负数

?

?
答( )

8.当 a , b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 甲: ( a ?

1 1 )(b ? ) , a b

乙: ( ab ?

1 2 ) ab

丙: (

a?b 2 2 ? ) . 2 a?b
答( )

中间,值最大的一个 (A)必定是甲 (C)必定是丙

(B)必定是乙 (D)一般并不确定,而与 a , b 的取值有关 答( )

二、已知四面体 SABC 中, ?ASB ? SC 为棱的二面角的平面角为 ? . 求证: ? ? ? ? arccos(cot ? cot ? ) .

?
2

, ?ASC ? ? (? ? ? ?

?
2

), ?BSC ? ? (0 ? ? ?

?
2

) ,以

三、已知: (1)半圆的直径 AB 长为 2r ;(2)半圆外的直线 L 与 BA 的延长线垂直,垂足为点 T,

r | AT |? 2a(2a ? ) ;(3)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离 | MP | 、NQ | 满足条 | 2


| MP | | NQ | ? ?1. | AM | | AN |

求证: | AM | ? | AN |?| AB | . 四、 已知边长为 4 的正三角形 ABC.D,E,F 分别是 BC,CA,AB 上的点,且 | AE |?| BF |?| CD |? 1, 连接 AD,BE,CF,交成 ? RQS .P 点在 ? RQS 内及其边上移动,P 点到 ? ABC 三边的距离分别记 作 x, y , z . (1)求证:当 P 点在 ? RQS 的顶点位置时,乘积 xyz 有极小值; (2)求上述乘积 xyz 的最小值. 五、已知圆 x ? y ? r (r 为奇数),交 x 轴于 A(r , 0), B(?r , 0) ,
2 2 2 m n ? 交 y 轴于 C (0, ?r ), D (0, r ), P (u , )是圆周上的点, u ? p ,? ? q ( p, q 都是质数, m, n 都是

自然数)且 u ? ? .点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别是 M,N. 求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别是 1,9,8,2. 1983 试题部分 第一试

一、选择题 本题共 8 个小题.每一小题都有代号(A)(B)(C)(D)四个答案供选择,其中有一个且 、 、 、 只有一个答案是正确的,请把你认为正确的那个答案前的代号写在题后的括号内. 1.设 p, q 是自然数,条件甲: p3 ? q3 是偶数;条件乙: p ? q 是偶数,那么, (A) (B) (C) (D) 甲是乙的充分而非必要条件 甲是乙的必要而非充分条件 甲是乙的充要条件 甲即不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答( 2. x ? )

1

1 1 1og 1 1og 1 3 3 2 5

?

1

的值是属于区间

(A) (?2, ?1) (C) (?3, ?2)

(B)(1,2) (D)(2,3) 答( )

3.已知等腰 ? ABC 的底边 BC 及高 AD 的长都是整数,那么 sin A 和 cos A 中, (A) (B) (C) (D) 一个是有理数,另一个是无理数 两个都是有理数 两个都是无理数 是有理数还是无理数要根据 BC 和 AD 的数值来确定 答( )

2 2 2 4.已知 M ? ( x, y ) | y ? x , N ? ( x, y ) | x ? ( y ? a ) ? 1 .那么,使 M ? N ? N 成立

?

?

?

?

的充要条件是: (A) a ? 1

1 4
2

(B) a ? 1

1 4

(C) a ? 1

(D) 0 ? a ? 1 答( )

5.已知函数 f ( x) ? ax ? c 满足:

?4 ? f (1) ? ?1, ?1 ? f (2) ? 5 .那么, f (3) 应满足:
(A) 7 ? f (3) ? 26 (C) ?1 ? f (3) ? 20 (B) ?4 ? (3) ? 15 (D) ?

28 35 ? f (3) ? 3 3
答( )

6.设 a, b, c, d , m, n 都是正实数. P ? (A) P ? Q

ab ? cd , Q ? ma ? nc ?

b d ? ,那么: m n

(B) P ? Q (C) P ? Q (D) P, Q 间的大小关系不确定,而与 m, n 的大小有关 答( )

7.在正方形 ABCD 所在平面上有点 P,使 ? PAB,? PBC,? PCD,? PDA 都是等腰三角形. 那么,具有这样性质的 P 点个数共有: (A)9 个 (B)17 个 (C )1 个

(D)5 个 答( )

8.任间 ? ABC ,设它周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为 l , R 与 r ,那么: (A) l ? R ? r (C ) (B) l ? R ? r (D) ( A)( B)(C ) 三种关系都不对 答 ( 二、填空题 1. 在 ? ABC 中, sin A ? )

1 ? R ? r ? 6l 6

3 5 , cos B ? ,那么, cos C 的值等于____________. 5 13

2. 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有_____________个. 3. 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样两个多面 体的内切球的半径之比是一个既约分数 第二试 一、求证: arcsin x ? arccos x ?

m .那么,积 m ? n 是______________________. n

?
2

,其中 x?? ?1,1? .

二、函 数 f ( x ) 在 0,1 上 有 定义 , f (0) ? f (1) , 如果对 于任 意不 同的 x1 , x2 ??0,1? , 都 有

? ?

| f ( x2 )? f ( x ) ? | x ? x .求证: | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |? 1 | 2 1 |

1 . 2

D

三、如图,在四边形 ABCD 中, ? ABD,? BCD,? ABC 的面积比是 3:4:1,点 M,N 分别在 AC,CD 上,满足 AM:AC=CN:CD,并且 B,M,N 三点共线. 求证:M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点.

N

E A M B C

四、在六条棱分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中,最大的体积是多少?证明你的结 论.

五、函数 F ( x) ?| cos2 x ? 2sin x cos x ? sin 2 x ? Ax ? B | 在 0 ? x ? 数 A,B 有关.问 A,B 取什么值时 M 为最小?证明你的结论. . 1984 试题部分

3 ? 上的最大值 M 与参 2

第一试
一选择题 本题共有 8 个小题每一小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有结论是正 确的,请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.
2 1. 集合 S ? z | arg z ? a, a ? R 在复平面的图形是

?

?

(A)射线 arg z ? 2 a (C)射线 arg z ? ? a

(B)射线 arg z ? ?2 a (D)上述答案都不对 答( )

2. 下列四个图的阴影部分(不包括边界)满足不等式 log x (log x y 2 ) ? 0 的是

答( 3. 对所有满足 1 ? n ? m ? 5 的 m, n ,极坐标方程 ? ? 是 (A)15 (C)7 4. 方程 sin x ? lg x 的实根是 (A)1 (C )3 (B)2 (D)大于 3 答( 5. 若 a ? 0, a ? 1, F ( x) 是奇函数,则 G ( x) ? F ( x)( (A) (B) (C) (D) 奇函数 偶函数 不是奇函数也不是偶函数 奇偶性与 a 的具体数值有关 答(

)

1 表示的不同双曲线条数 1 ? C cos ?
n m

(B)10 (D)6 答( )

)

1 1 ? )是 a ?1 2
x

)

6. 若 F (

1? x ) ? x ,则下列等式中正确的是 1? x
(B) F ( ? x) ? F (

(A) F (?2 ? x) ? ?2 ? F ( x) (C) F ( x ?1 ) ? F ( x)

1? x ) 1? x

(D) F ( F ( x) ? ? x 答( )

7. 若动点 P( x, y) 以等角速度 ? 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(?2 xy, y 2 ? x2 ) 的运动方 程是 以角速度 ? 在单位圆上顺时针运动 以角速度 ? 在单位圆上逆时针运动 以角速度 2 ? 在单位圆上顺时针运动 以角速度 2 ? 在单位圆上逆时针运动 答( 8.若四面体的条棱长是 x ,其余棱长都是 1,体积是 F ( x) ,则函数 F ( x) 在其定义域上 (A)是增函数但无最大值 (B)是增函数且有最大值 (C)不是增函数且无最大值 (D)不是增函数但有最大值 答( 二、填空题 1. 如图, 是单位圆的直径, AB 上任取一点 D, D ? B AB 在 作 C A
y

(A) (B) (C) (D)

)

)


C

交圆周于 C,若 D 点的坐标为 ( x, 0) ,则当 x ? (, ) 时,线段 AD,
A O D B x

BD,CD 可构成三角形.

2.方程 cos

x ? cos x 的通解是( 4

),在 (0, 24? ) 内,不相同的解有(

).

第二试 一、下列命题是否正确?若正确,请给予证明. 1. 若 P,Q 是直线 l 同侧的两个不同点,则必存在两个不同的圆,通过点 P,Q 且和直 线 l 相切. 2. 若 a ? 0, b ? 0 且 a ? 1, b ? 1 ,则 log a b ? logb a ? 2 .
2 2 2 3. 设 A,B 是坐标平面上的两个点集, Cr ? ( x, y ) | x ? y ? r .若对任何 r ? 0 都有

?

?

Cr ? A ? Cr ? B ,则必有 A ? B .
二、已知两条异面直线 a , b 所成的角为 ? ,它们的公垂线 A ' A 的长度为 d ,在直线 a , b

上分别取点 E,F,设 A ' E ? m, AF ? n ,求 EF.( A ' 在直线a 上,A 在直线 b 上) 三、如 图 , 在 ? ABC 中 ,P 为 边 BC 上 任 意 一 点 , PE // BA, PF // CA . 若 S? ABC ? 1 , 证 明
F A E

S? B P ,FS?

P C E? PEAF ,中至少有一个不小于

和S

4 .(S 9

表示图形的面积)

B

C P

四,设 an 是 1 ? 2 ? ... ? n 的个位数字, n ? 1, 2,3,... 试证 0.a1a2 ...an ... 是有理数.
2 2 2

五.设 x1 , x2 ,..., xn 都是正数,求证:

2 x2 x2 x12 x2 ? ? ... ? n?1 ? n ? x1 ? x2 ? ... ? xn . x2 x3 xn x1

1985 试题部分 第一试 一、选择题 本题共有 8 个小题每一小题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有结论是正 确的,请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 假如有两个命题:
?1 ?1 甲: mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) a 是大于零的实数;乙: a ? b 且 a ? b ,那么

(A) (B) (C) (D)

甲是乙的充分而不必要条件 甲是乙的必要而不充分条件 甲是乙的充分必要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答(
2

)

2. PQ 为经过抛物线 y ? 2 px 焦点的任意一条弦,MN 为 PQ 的准线 l 上的射影,PQ 线 l 转一 周所得的旋转面面积为 S1 ,以 MN 为直径的球面面积为 S2 ,则下面的结论中,正确是 (A) S1 ? S2 (C) S1 ? S2 (B) S1 ? S2 (D)有时 S1 ? S2 ,有时 S1 ? S2 ,有时 S1 ? S2 答( 3. 已知方程 arccos (A) x ? )

24 25

4 4 ? arccos(? ) ? arcsin x ,则 5 5 24 (B) x ? ? (C) x ? 0 25
2

(D)这样的 x 不存在 答(
2 2

)

4. 在下列四个图形中,已知有一个是方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0) 在同 一坐标系中的示意图,它应是

答(

)

5. 设 Z ,W , ? 为 复 数 , | ? | 1, 关 于 Z 的 方 程 Z ? ? Z ? W 下 面 有 四 个 结 论 : I. ?

Z?

?W ? W
1? | N |2

是这个方程的解; II.这个方程只有一个解;III.这个方程有两个解;IV.这个方

程有无穷多解.则 (A)只有 I 和 II 是正确的 (C)只有 I 和 IV 是正确的

(B)只有 I 和 III 是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 答(



6. 设 0 ? a ? 1 ,若 x1 ? a, x2 ? a x1 , x3 ? a x2 ,...xn ? a xn?1 ,... 则数列 ?xn ? (A)是递增的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 二、填空题 1. 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a, b, c . 若 角 A,B,C 的 大 小 成 等 比 数 列 , 且 (B)是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 答( )

b2 ? a 2 ? ac ,则角 B 的孤度数等于____________________.
2. 方程 2x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? x8 ? x9 ? x10 ? 3 的非负整数解共有_________组. 3. 在已知数列 1,4,8,10,16,19,21,25,30,43 中,相领若干数之各能被 11 整除的数组共有 _______. 4. 对任意实数 x, y ,定义运算 x * ? 为 x * ? ? ax ? b? ? cx? ,其中, a, b, c 为常数,等式右端 中的运算是通常的实数加法、乘法运算,现已知 1*2 ? 3, 2*3 ? 4 ,并且有一个非零实数

d ,使得对于任意实数 x 都有 x * d ? x ,则 d ? _____________________.

第二试 一、在直角坐标系 x?? 中,点 A( x1 , ? 1 ) 和 B( x2 , ? 2 ) 的坐标均为一位正整数, ? A 与 x 轴正方 向的夹角大于 45o , ? B 与 x 轴正方向的夹角小于 45o ,B 在 x 轴上的射影为 B ', A 在 ? 轴上的射影为 A ' , ?OB ' B 的面积比 ?OA ' A 的面积大 33.5,
D1 C1 A1 F B1

D E A B

C

由 x1 , ? 1 , x2 , ? 2 组成四位数,并写出求解过程. 二、如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,F 在 AA1 上,且 A F : FA ? 1: 2 ,求 1 1 平面 B1EF 与底面 A1B1C1D1 所成的二面角. 三、某足球邀请赛有十六个城市参加,每市派出甲、乙两个队.根据比赛规则,每两队之间至多 赛一场,并且同一城市的两队之间不进行比赛;比赛若干天后进行统计,发现除 A 市甲队 外,其它各队已比赛过的场数各不相同.问 A 市乙队已赛过多少场?请证明你的结论. 四、平 面 上 任 给 五 个 相 异 的 点 , 它 们 之 间 的 最 大 距 离 与 最 小 距 离 之 比 记 为 ? , 求 证 :

? ? 2sin 54o ,并讨论等号成立的充要条件.
1986 试题部分 第一试 一、选择题 本题共有 6 个小题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有 结论是正确的,请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 设 ?1 ? a ? 0,? ? arcsin a ,那么不等式 sin x ? a 的解集为 (A) (B) (C) (D)

?x | 2n? ? ? ? x(2n ?1)? ?? , n ? Z? ?x | 2n? ?? ? x(2n ?1)? ? ? , n ? Z? ?x | (2n ?1)? ?? ? x ? 2n? ?? , n ? Z? ?x | (2n ?1)? ?? ? x ? 2n? ?? , n ? Z?
答( )

2. 为 Z 为复数, M ? Z | (Z ?1)2 ?| Z ?1|2 ,那么 (A) M ? 纯虚数 (C)

?

?

?

?

(B) M ? 实数

?

?
?
答( )

?实数? ? M ? ?复数?

(D) M ? 复数

?

3. 设实数 a, b, c 满足 (A) (??, ??) (C) (0, 7)

?

a 2 ? bc ? 8a ? 7 ? 0 ,那么 的取值范围是 a b ? c 2 ? bc ? 6a ? 6 ? 0
2

(B) (??,1) ??9, ??? (D) ?1,9? 答( )

4. 如果四面体的每一个面都不是等腰三角形,那么其长度不等的棱的条数最少为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 答(

)

5. 平面上有一个点集 M 和七个不同的圆 C1 , C2 ,...C7 ,其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点,圆

C6 恰好经过 M 中的 6 个点,……,圆 C1 恰好经过 M 中的 1 个点,那么 M 中的点数最少为
(A)11 (B)12 (C)21 (D)28 答( )

6. 边长为 a, b, c 的三角形,其面积等于

1 ,而外接圆半径为 1,若 4

s ? a ? b ? c,t ?
(A) s ? t

(B) s ? t

1 1 1 ? ? ,则 s 与 t 的大小关系是 a b c
(C) s ? t (D)不确定 答( )

二、填空题 本题共有 4 个小题,每个小题的答案都是 000~999 的某一个整数,请把你认为正确的答案填 在( )上. 1.在底面半径为 6 的圆柱内,有两个半径也为 6 的球面,其球心距为 13.若作一平面与这二球面 相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则这个椭圆的长轴与短轴长之和是( ). 2.已知 f ( x) ?|1 ? 2x |, x ??0,1? 那么方程 f ( f ( f ( x ))) ? 3. f ( x ) ? 设 (

1 x 的解的个数是( 2

).

4x ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1000 ? ,那么和式 f ? ?? f ? ?? f ? ? ? ... ? f ? ? 的值等于 4 ?2 ? 1001 ? ? 1001 ? ? 1001 ? ? 1001 ?
x

).
5 x ?9 y ? 4 z

4.设 x, y, z 为非负实数,且满足方程 4 最大值与最小值的乘积等于(

? 68 ? 2
).

5 x ?9 y ? 4 x

? 256 ? 0 ,那么 x ? y ? z 的

第二试 一、已知数列 a0 , a1 , a2 ,...满足 a0 ? a1 且 ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1, 2,3...) ,求证:对于任何自然 数 n, p( x) ? a0Cn (1 ? x) ? a1Cn (1 ? x)
0 n 1 n ?2 n n ? ... ? an?1Cn ?1 (1 ? x) ? anCn xn 是 x 的一次多

项式. 二、已 知 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 半 径 是 R, 点 D,E,F 分 别 在 边 BC,CA,AB 上 , 求 证:AD,BE,CF 是 ? ABC 的三条高的充要条件是 S ?

R ( EF ? FD ? DE ) ,式中 S 是三角 2

形 ABC 的面积. 三、平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点称为整点.请设计一种方法将所有的整点染 色,每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色,使得 (1) 三种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上无穷多次; (2) 对任意白点 A、红点 B 和黑点 C,总可以找到一个红点 D,使得 ABCD 为一平行四 边形. 证明你设计的方法符合上述要求.

1988 试题部分 第一试
一选择题 本题共有 5 题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有 结论是正确的,请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 有三个函数,第一个是 y ? ? ( x) ,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第 二个函数的图像关于直线 x ? y ? 0 对称,那么第三个函数是 (A) y ? ?? ( x) (C) y ? ?? ?1 ( x) (B) y ? ?? (? x) (D) y ? ?? ?1 (? x) 答(
2 2 2 2

)

2. 已知原点在椭圆 k x ? y ? 4kx ? 2ky ? k ?1 ? 0 的内部,那么参数 k 的取值范围是 (A) | k |? 1 (C) 1? ? k ? 1 (B) | k |? 1 (D) 0 ?| k |? 1 答( )

? 3. 平面上有三个点集 M,N,P: M ? ( x, y )| x | ? | y |? 1 ,
? ? 1 1 1 1 ? ? N ? ? ( x, y ) ( x ? ) ? ( y ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 2 ? , ? 2 2 2 2 ? ? ? ?

?

?

P ? ( x, y)| x ? y |? 1,| x |? 1,| y |? 1 .则 ?
(A) M ? P ? N (C) P ? N ? M (B) M ? N ? P (D)(A)、 (B)(C)都不成立 、 答(

?

?



4. 已知三个平面 ? , ? , ? ,每两个平面之间的夹角都是 ? , 且 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? ? ? ? c .若有命题甲: ? ?

?
3

;命题乙: a, b, c 相交于一点.则

(A) (B) (C) (D)

甲是乙的充分条件但不必要 甲是乙的必要条件但不充分 甲是乙的充分必要条件 (A)、 (B)(C)都不对 、

答( ) 5. 在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们有 I 表示所有直线的集合,M 表示恰 好通过一个数点的直线的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多 个整点的直线的集合,那么表达式 (1) M ? N ? P ? I ; (3) N ? ? ; N ? ?; (2) (4) P ? ? . 中正确的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答( ) 二、填空题 1. 设 x ? y , 且 两 数 列 x, a1 , a 2 , a3 , y 和 b1 , x, b 2 , b3 , b4 均 为 等 差 数 列 , 那 么

b4 ? b3 =____________. a2 ? a1
2. ( x ? 2)2n?1 的展开式中, x 的整数次幂的各项系数之和为____________________. 3. ? ABC 中,已知 ?A ? a, CD, BE 分别是 AB,AC 上的高,则

DE ? _____________. BC

4.甲、 乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛, 双方先由 1 号队员比赛, 负者被淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,……直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜, 形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为______________________.

三、长为 2 ,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体体 积. 四、复平面上动点 z1 的轨迹方程为 | z1 ? z0 |?| z1 |, z0 为定点, z0 ? 0 ,另一个动点 z 满足

z1 z ? ?1 ,求点 z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.
1 1 ? ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ,(a ? b)n ? an ? bn ? 22n ? 2n?1 . a b
第二试
A

五、已知 a , b 为正数,且

一、



P

Q B

R C

?5a ? 3an , an ?an ?1为偶数时; a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? ? n?1 ? an ?1 ? an , an ?an ?1为奇数时.
试证:对一切 kn kn?1 ? 0, n ? 1, 2,3,... n ? N , an ? 0, an 不是 4 的倍数. 二、 如图,在 ? ABC 中,P,Q,R 将其周长三等分,且 P,Q 在 AB 边上,求证:

S? PQR S? ABC

?

2 . 9

三、

在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1 , l2 ,..., ln ,... 的直线族,它满足条 件:(1)点 (1,1) ? ln , n ? 1, 2,3,...;

(2) kn?1 ? an ? bn , 其 中 k n ?1 是 ln ?1 的 斜 率 , an 和 bn 分 别 是 ln 在 x 轴 和 y 轴 上 的 截 距, n ? 1, 2,3,...; (3) kn kn?1 ? 0, n ? 1, 2,3,... .并证明你的结论. 1989 试题部分 第一试 一选择题 本题共有 6,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有结论是正 确的,请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 若 A,B 是锐角 ? ABC 的两个内角,则复数 z ? (cos B ? sin A) ? i(sin B ? cos A) 在复平面 内所对应的点位于 (A)第一象限 2. 函数 f ( x) ? arctan x ? (A) (?? , ? )

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限 答( )

1 arcsin x 的值域是 2
(C) ? ?

(B) ? ?

? 3? 3? ? , ? 4 4? ?

? 3? 3? ? , ? ? 4 4 ?

(D) ? ?

? ? ?? ,? ? 2 2? ?
答( )

? 3. 对 任 意 的 函 数 y ? f ( x) , 在 同 一 个 直 角 坐 标 系 中 , 函 数 y ? f( x 1 )与 函 数 y ? f (? x ? 1) 的图像恒
(A)关于 x 轴对称 (C)关于直线 x ? ?1 对称 (B)关于直线 x ? 1 对称 (D)关于 y 轴对称 )

答( 4. 以长方体 8 个顶点中的任意 3 个为顶点的所有三角形中,锐角三角形的个数为

(A)0

(B)6

(C)8

(D)24 答( )

5. 若 M ? ? z | z ?

? ?

t 1? t ? ?i , t ? R, t ? ?1, t ? 0? , 1? t t ?

N ? z | z ? 2 ?cos(arcsin t ) ? i cos(arccos t )? , t ? R,| t |? 1 ,
则 M ? N 中元素的个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 答( 6. 集合 M ? u | u ? 12m ? 8n ? 4l, 其中m, n, l ? Z , )

?

?

?

?

N ? ?u | u ? 20 p ?16q ?12r, 其中p, q, r ? Z? 的关系为
(A)M=N (C) M ? N 二、填空题 1.若 loga (B) M 刎N , N (D) M ? N 答( )

M

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是________________________.

2.已知直线 l : 2 x ? y ? 10 ,过点 (?10,0) 作直线 l ' ? l ,则 l ' 与 l 的交点坐标为____________. 3.设函数 f0 ( x) ?| x |, f0 ( x) ?| f0 ( x) ? 1|, f2 (x ) ? | f1 (x ) ? 2 |,则函数 y ? f 2 ( x) 的图像与 x 轴 所围成图形中的封闭部分的面积是_____________________. 4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为______________. 5. 如 果 从 数 1,2,…,14 中 , 按 由 小 到 大 的 顺 序 取 出 a1 , a2 , a3 , 使 同 时 满 足 a2 ? a1 ? 3 与

a3 ? a2 ? 3 ,那么所有符合上述要求的不同取法有__________种.
6. 当 s 和 t 取 遍 所 有 实 数 时 , 则 (s ? 5 ? 3| cos t |) ? (s ? 2 | sin t |) 所 能 达 到 的 最 小 值 是
2 2

______________. 三、已知 a1 , a2 ,..., an 是 n 个正数,满足 a1 ? 2 ? ? n ? 1. a ... a 求证: (2 ? a1 )(2 ? a2 )...(2 ? an ) ? 3 .
n
S

四、 已知正三棱锥 S ? ABC 的高 SO ? 3 ,底面边长为 6,过 A 点向它所对的侧面 SBC 作垂线,垂足为 O ' ,在 AO ' 上取 一点 P,使 积.

AP ? 8 ,求经过 P 点且平行于底面的截面的面 PO '

B O A

C

五、已知对任意的 n ? N ,有 an ? 0 ,且 求证: an ? n .

? a3j ? (? a j )2 .
j ?1 j ?1

n

n

第二试 一、 在 ? ABC 中,AB>AC, ? A 的一个外角的平分线交 ? ABC 的外接圆于点 E,过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F,求证: 2AF ? AB ? AC . 二、 已知 xi ? R(i ? 1, 2,..., n; n ? 2) 满足

? | xi |? 1, ? xi ? 0 .求证: | ?
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

xi 1 1 |? ? n . i 2 2

三、 有 n ? n(n ? 4) 的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入+1 与 ?1 两数中的一 个,现将表内 n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项. 试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被 4 整除(即总能表 成 4k 的形式,其中 k ? Z ). 1990 试题部分 第一试

一选择题 本题共有 6,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有结论是 正确的,请把正确结论的代号定在题后的圆括号内. 1. 设 a ? ? (A) (cos a) (B) (cos a) (C) (sin a)

?? ? ? , ? ,则 (cos a)cos a ,(sin a)cos a ,(cos a)sin a 的大小顺序是 ?4 2?
cos a

? (sin a)cos a ? (cos a)sin a ? (cos a)sin a ? (sin a)cos a ; ? (cos a)cos a ? (cos a)sin a ? (cos a)cos a ? (sin a)cos a
答( )

cos a

cos a

(D) (cos a)

sin a

2. 设 f ( x ) 是 定义在实数 集上的周期 为 2 的周期函 数,且是 偶函数 ,已知当 x ? ? 2, 3 ? 时, f ( x) ? x ,则当 x ?? ?2,0? 时, f ( x ) 的解析式是 (A) f ( x) ? x ? 4 (C) f ( x) ? 3? | x ? 1| (B) f ( x) ? 2 ? x (D) f ( x) ? 2? | x ? 1|

答(

)

3. 设双曲线的左右焦点是 F1 , F2 ,左右顶点是 M,N,若 ? PF1 F2 的顶点 P 在双曲线上,则

? PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点位置是
(A) 在线段 MN 内部 (B) 在线段 F1M 内部或线段 NF2 内部 (C) 点 M 或点 N (D) 不能确定的 答( 4. 点集 ?( x, y ) lg( x ? ?
3

)

? ?

1 3 1 ? y ? ) ? lg x ? lg y ? 中元素的个数为 3 9 ?
(C)2 (D)多于 2 答( )

(A)0

(B)1

5. 设非零数复数 x, y 满足 x2 ? xy ? y 2 ? 0 ,则代数式 ( (A) 2 (B) ?1 (C)1 (D)以上答案都不对
?1990

x 1990 y 1990 ) ?( ) 的值是 x? y x? y

答( 6. 已知椭圆

)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 通过点(2,1),则这些椭圆上满足 | y |? 1 的点的集合用阴 a 2 b2

影表示是下面图中的

答( 二、填空题 1.设 n 为自然数, a 、b 为正实数,且满足 值是________.

)

?C
i ?1

n

i

? 1990 a ? b ? 2 ,则

1 1 ? 的最小 n 1 ? a 1 ? bn

o o 2.设 A(2, 0) 为平面上的一定点, P(sin(it ? 60 ),cos(2t ? 60 )) 为动点,则当 t 由 15 变到
o

45o 时,线段 AP 所扫过的图形的面积是________________.
3.设 n 是自然数,对任意实数 x, y, z 恒有 ( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? n( x4 ? y 4 ? z 4 ) 成立,则 n 的最小值 是___________________. 4.在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数 n ,连结原点 O 与点

An (n, n ? 3) ,用 f (n) 表示线段 OAn 上除端点外的整点个数,
则 f (1) ? f (2) ? ... ? f (1990) ? _______________. 5.设 n ? 1990 ,则

1 2 4 6 1988 1990 (1 ? 3Cn ? 32 Cn ? 33 Cn ? ... ? 3994 Cn ? 3995 Cn ) ? ___________. n 2

6.8 个女孩和 25 个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站两个男孩,那么,共有__________种 不同的排列方法(只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的). 三、已知 a , b 均为正整数,且 a ? b,sin ? ? 求证对一切自然数 n , An 均为整数. 四、 n2 (n ? 4) 个正数排成 n 行 n 列,

2ab ? (其中 0 ? ? ? ), A n ? (a2 ? b2 )n sin ? . 2 a ?b 2
2

a11 a21 a31 a41


a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14

...

a1n a2n a3n a4n

a24 … a34 … a44 …

an1

an 2

an 3

an 4 …

ann

其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知

1 3 a2 4 ? 1, a 4 2 , a 4? ? ,求 a11 ? a22 ? a33 ? a44 ? ... ? ann . 3 8 16
5.设棱锥 M ? ABCD 的底面是正方形,且 MA ? MD, MA ? AB ,如果 ? AMD 的面积为 1,试 求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 第二试 一、四边形 ABCD 内接于圆 O,对角线 AC 与 BD 相交于 P,设三角形 ABP,BCP,CDP 和 DAP 的外接圆圆心分别是 O1 , O2 , O3 , O4 .求证: OP, O1O3 , O2O4 三直线共点. 二、设 E ? ?1,2,3,...,200? , G ? ?a1, a2 , a3 ,..., a100 ? ? E ,且 G 具有下列两条性质:

(I)

对任何 1 ? i ? j ? 100 ,恒有 ai ? a j ? 201 ;

(II)

?a
i ?1

100

i

? 10080 .

试证:G 中的奇数的个数是 4 的倍数,且 G 中所有数字的平方和为一个定数. 三、 某市有 n 所中学,第 i 所中学派出 Ci 名学生 (1 ? Ci ? 39,1 ? i ? n) 来到体育馆观看球 赛,全部学生总数为

?C
i ?1

n

i

? 1990 .看台上每一横排有 199 年座位.要求同一学校的学生

必须坐在同一横排,问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下?


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