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2013-2014学年度第二学期高一期中考试数学(理)


遂溪一中高一级第二学期期中考试数学试卷(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U ={x ? z|-3 ? x ? 3} ,集合 A ? {0,1, 2,3} 则
u

A=

(

)

A. {x? Z |? 3? x ? 3 } C. { ? 3? , 2? , 1}
A . y ?| x | B. y ? log2 x

B.{0,1, 2,3} D.{?3, ?2, ?1, 0}

3

2. 下列函数中,在 (??,??) 上单调递增的是 C.y?x D. y ? 0.5
x



3.函数 y ? cos2 x ? sin 2 x 是





? C. 最小正周期为 的偶函数 2
A.4? C .6? B.5? D.8?

A .最小正周期为 ? 的偶函数

B. 最小正周期为 ? 的奇函数

D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

4. 一个几何体的三视图是两个边长为 2 的正方形和一个圆,如图所示,则该组合体的表面 积 ( )

5.函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? 3 的零点所在的一个区间 是 ( ) 正视图 侧视图

1 A.(? , 0) 2 1 C.(0, ) 2
6. 已知

A.

1 3

1 B.( ,1) 2 3 D.(1, ) 2 1 1 ? 2sin ? cos ? tan ? ? ? ,则 =( ) 2 sin 2 ? ? cos 2 ? 1 B.3 D. ? 3 C. ? 3

俯视图(题 5)

7. 设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( A.若 ? ? ?,m ? ?,n ? ?,则 m ? n C.若 m ? n,m ? ?,n ? ?,则 ? ? ?



B.若 ?∥?,m ? ?,n ? ?, 则 m∥ n D.若 m ? ?,m∥n,n∥?, 则? ? ? ( )

8. 已知两个非零向量 a 与 b ,定义 | a ? b |?| a || b | sin ? ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角,若

a ? (0, 2) , b ? (?3, 4) ,则 | a ? b | 的值为
A.-8 B.-6 C.8 D.6 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 9.函数 y ?

1 的定义域为_______________ x ?1
1

10.已知 a ? ( x ?1,2), b ? (2,1) 且 a ? b ,则 x ? ___________ 11. 点 (1, 2) 到直线

x y ? ? 1 的距离是_______________ 3 4
? 2 ?

12.计算: 3 ? sin 70 ? 2sin 10 ? ___________ 13.若单位向量两两所成的角相等,则 | a ? b ? c | 等于_________ 14. 若定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(

1 )=0,则不等式 2

f (log4 x) ? 0 的解集是______________
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)已知 | | a ? 2,|b| ? 1,(2a-3b) ? (2a ? b) ? 9 (1)求 a与b 的夹角 ? ; (2)求 的值. | a?b |

16. (本小题满分 13 分)已知 f ( x) ?

1 ? 1 ? sin 2 x ? cos ? cos 2 x sin 2 6 2 6

(1)函数 f ( x ) 的最小正周期,及最大值; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间; (3)若 f ( ) ?

?

2

1 ,求 sin(? ? ? ) 的值 2

2

17. (本小题满分 13 分)直线 l 经过 P(5,5) 并且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 25 相交截得的弦长为

4 5 ,求 l 的方程.

18. (本小题满分 14 分)如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等 边三角形, AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点. (1)求三棱锥 D ? BAC 的体积; (2)求证: AF // 平面 BCE ; (3)求二面角 B ? CD ? A 的大小 C F D B A E

3

19. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? (1)求 f ( x ) 的对称轴方程;

2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x . 4

?

? (2) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ?? , 都 有 g ( x ) ? g ( x

?

), 且 当 x ? [ 0 , ]时 , 2 2

?

g ( x) ? f ( x) ? 1 ,求 g ( x) 在区间 [?? , 0] 上的解析式

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 3a) , (1)当 a ? ?1 时,求函数的定义域与值域; (2)如果 f ( x) ? 1 在区间 [2,3] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

遂溪一中高一级第二学期期中考试数学答案(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 C 2 3 4 5 B 6 C 7 D 8 D

C
10.

A
0

C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 9. 12.

(1, ??)
2

11.

2 5 1 2

13 . 0 或 3

14. (0, ) ? (2, ??)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 (2a- 3b) ? (2a ? b) ? 9 得 4|a |2 ?4a ? b ? 3| b |2 ? 9 …………………………2 分

|a |? 2,| b |? 1,? a ? b =1…………………………………………………………4 分
则 cos ? ?

? a ?b 1 1 ? ? ,? a与b 的夹角 ? = ………………………………7 分 3 | a || b | 2 ?1 2
2 2 2

(2) | a ? b |? (a ? b) ? | a | ?2a ? b? | b | 16. (本小题满分 13 分) 解: f ( x) ?

? 4 ? 2 ?1 ? 1 ? 7 ……………12 分

1 ? ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) ……………………………………………1 分 2 6 6 1 ? ? sin(2 x ? ) ………………………………………………………………2 分 2 6 2? 1 ? ? ,最大值为 ………………………4 分 (1)函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 2
(2)由 ?

?

?

?
3

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

? k? ? x ?

?
6

6

?

?

2

? 2k? , k ? z 得…………………………………6 分

? k? , k ? z ……………………………………………………8 分

? f ( x) 的单调递增区间为 [?
(3)由 f ( ) ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ], k ? z ……………… 9 分

?

2

1 ? ? 得 sin(? ? ) ? 1 ,所以 ? ? ? 2k? , k ? z …………………11 分 2 6 3

则 sin(? ? ? ) ? ? sin( 17. (本小题满分 13 分)

?
3

? 2k? ) ? ? sin

?
3

??

3 …………………………13 分 2

解:如图所示, | OH | 是圆心到直线 l 的距离,
5

| OA | 是圆的半径, | AH | 是弦长 | AB | 的一半,
在 Rt ?AHO 中, | OA | =5 …………………………………………………………3 分

1 | AH ? | ? 4 5 ? 2

2 …………………………………………………………… 5 5分

?| OH |? | OA |2 ? | AH |2 ? 5 …………………………………………………7 分

1 | 5 (? 1K ) | ? 5 ,解得 K ? 或 K ? 2 ……………………………………………10 分 2 K 2 ?1

? 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 ………………………………13 分
18. (本小题满分 14 分) 解: (1) △ ACD 为等边三角形,且边长为 2

3 ? 4 ? 3 ………………………………………………………………1 分 4 AB ? 平面 ACD ,? BA 是三棱锥 B ? ACD 的高,且 BA ? 1 1 1 3 ………………………………………………………3 分 ? VB ? ACD ? ? 3 ?1 ? 3 3 1 3 ……………………………………………………………4 分 则 VD ? ACB ? VB ? ACD ? 3 (2)证明:取 CE 的中点为 H ,连接 BH , FH 1 F 为 CD 的中点, ? FH ED 且 FH ? ED …………………………………5 分 2 1 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , AB ? ED 2 ? FH AB ,且 FH ? AB ……………………………………………………………6 分 ? 四边形 BHFA 是平行四边形,即 BH FA ………………………………………7 分 BH ? 平面 BCE , FA ? 平面 BCE

? S?ACD ?

? AF // 平面 BCE ;…………………………………………………………………8 分
(3)连接 BD ,在等边三角形△ ACD 中, F 为 CD 的中点 ? AF ? CD …………………………………………………………………………9 分

AB ? 平面 ACD ,? ?BAD ? 90? AD ? 2 , BA ? 1 ,由勾股定理得 BD ? 5
同理可得 BC ? 5 ,? BC ? BD F 为 CD 的中点, ? BF ? CD ……………………………… ………………11 分 ? ? BFA 就是二面角 B ? CD ? A 的平面角………………………………………12 分

BA 1 3 ……………………………………………………13 分 ? ? AF 3 3 ? ? 二面角 B ? CD ? A 的大小为 …………………………………………………14 分 6
则 tan ?BFA ? 19. (本小题满分 14 分)
6

解:证明:(1)

f ( x) ? 2(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? 1 ? cos 2 x …………1 分 4 4

?

? 1 ? sin 2 x ………………………………………………2 分 k? ? ? ? , (k ? z ) ……5 分 ? 由 2 x ? k? ? , (k ? z ) 得 f ( x) 的对称轴方程为 x ? 2 4 2 ? (2) 当时 x ? [0, ] 时, g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 1 ? sin 2 x ? 1 = sin 2 x ,故………6 分 2 ? ? ? ①当 x ? [? , 0] 时, x ? ? [0, ] ……………………………………………7 分 2 2 2 ? 对任意 x ?? ,都有 g ( x ) ? g ( x ? ) 2 ? ? x ? ) sin[2 x (? ? )] sx i n? ? ( 2 ? ?) x s i n 2 10 分 …………… ? g ( x )? g ( ? 2 2 ? ? ②当 x ? [?? , ? ] 时, x ? ? ? [0, ] ,从而……………………………………11 分 2 2
g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin[2( x ? ? )] ? sin(2 x ? 2? ) ? sin 2 x ……………………13 分
综合①②得 g ( x) 在区间 [?? , 0] 上的解析式为

? ? sin 2 x, x ? [ ?? , ? ] ? ? 2 g ( x) ? ? ………………………………………………14 分 ? ?? sin 2 x, x ? [ ? , 0] ? ? 2
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? log2 (? x2 ? 2x ? 3) ……………………………………1 分
2 令 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 ,所以函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,3) …………2 分 2 2 令 t ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 4 ,则 0 ? t ? 4 ……………………………………3 分

所以 f ( x) ? log2 t ? 2 ,因此函数 f ( x ) 的值域为 (??, 2] …………………………4 分 (2)f ( x) ? 1 在区间 [2,3] 上恒成立等价于 ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 在区间 [2,3] 上恒成立,
2

令 g ( x) ? ax ? 2x ? 3a ? 2 …………………………………………………………5 分
2

当 a ? 0 时, g ( x) ? 2 x ? 2 ? 0 ,所以 a ? 0 满足题意………………………………6 分 当 a ? 0 时, g ( x) 是二次函数,对称轴为 x ? ? 当 a ? 0 时, ?

1 ,………………………………8 分 a

1 ? 0 ? 2 ,函数 g ( x) 在区间 [2,3] 上是增函数,…………………9 分 a

7

g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 ;…………………………………………10 分
2 1 5 ? a ? 0 , ? ? , g ( x)min ? g (2) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 ……………11 分 5 a 2 2 1 5 2 当 a ? ? 时, 0 ? ? ? , g ( x)min ? g (3) ? 6a ? 4 ? 0 解得 a ? ? ,………12 分 5 a 2 3 2 综上, a 的取值范围是 [? , ??) ……………………………………………………14 分 3
当?

8


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