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临沂三中高二下学期数学模拟试题(理)


临沂三中高二下学期数学模拟试题(理科)
一、选择题: (每题 5 分共 60 分) 1.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A. )

5 2
x ?1

B. 5

C.

15 2

D. 10

2. 下列命题中的假命题


* B. ? x ? N , ( x ? 1)2 ? 0 ?0 C. ? x ? R , lg x ? 1 D. ? x ? R , tan x ? 2 2 3.由曲线 y ? x 和直线 x ? 1 围成图形的面积是 4 3 A.3 B. C. 2 3

A. ?x ? R, 2

( D.
2



2 3


4. ?ABC 中, A、 C 的对边分别为 a 、b 、c , a ? c ? b ? 3ac , B= 在 角 B、 若 则 (
2 2

A. 30

0

B. 60

0

C. 30

0

或 150

0

D. 60 或 120

0

0

5.下列命题正确的是( ) A.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d C.若 a ? b , c ? 0 ,则 ac ? bc 6、设双曲线

B. a ? b ? 0 , 0 ? c ? d ,则 ac ? bd D.若 0 ? a ? b , c ? 0 ,则

c c ? a b

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点,已知原点到 a 2 b2 3 直线 L 的距离为 ) C ,则双曲线的离心率为( 4 2 2 3 3 2 A. 2 B. 2 或 C. D. 3 3 ? ? ? ? 7. 已知向量 a ? (0, 2,1), b ? (?1,1, ?2) ,则 a 与 b 的夹角为 ( )
A. 0° B. 45° C. 90° D.180° 8.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,则 EF 与对角面 A1C1CA 所成角的度 数是( ) A.30? B.45? C.60? D.150? 9.等比数列 ?an ? 的公比为 2,前 n 项和为 S n ,则

S4 ?( a2



15 17 D. 2 2 10.已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ? 2 ,则 ab 的最大值为( 4 1 1 A. B. C. D. 1 25 6 12
A.2 B.4 C.



? x? y ?3 ? 11. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , 则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ( ?2 x ? y ? 3 ?
A.6 B.7 C.8 D.23



1

12. 如果不等式 5 ? x ? 7 x ? 1 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 有相同的解集,则实数 a ,b 的值为(
2



A. a ? ?1 , b ? 2 C. a ? ?1 , b ? 9 二.填空题: (每题 5 分共 20 分) 13、函数 f ( x) ? 最小值为

B. a ? ?4 , b ? ?9 D. a ? ?8 , b ? ?10

x 2 ? 2x ? 9 ( x ? 0) ,当 x ? x


,时,函数 f (x) 有最小值,

14. 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 5n( n ? 1, 3…) 则此数列的通项公式为 2, , 15 . 在 ?ABC 中 , cos A ?



3 10 0 , C ? 150 , BC ? 1 , 则 10
D

D1 E C A B

AB ?



16. 如图,矩形 ABCD 中,DC= 3 ,AD=1,在 DC 上截取 DE=1,将△ADE 沿 AE 翻折到 D1 点, D1 在平面 ABC 上的射影落在 AC 上时, 点 二面角 D1— AE—B 的平面角的余弦值是 . 三.解答题

0 17、 (12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a ? b ? 4 ,C ? 60

(1)若 c ?

7 ,求边 a , b ;

(2)求 ?ABC 的面积的最大值.

18、 (12 分)设数列 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,

a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13
(1) 求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和为 S n ,证明 S n ? 6 . ? bn ?

2

19. 如图在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60 ,AB=2,PA=1,PA⊥平面 ABCD, E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点。(12 分) (1)求证:BE∥平面 PDF; P (2)求证:平面 PDF⊥平面 PAB; (3)求二面角 P ? BC ? A 的大小。
E D A F B C

0

20. 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 个不同的交点 P 和 Q .(12 分) (I)求 k 的取值范围;

x2 ? y 2 ? 1有两 2

(II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向 量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

??? ??? ? ?

??? ?

21.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F 分别是 BA、BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (12 分) (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角θ 的大小.

3

5 的双曲线 C 的中心在坐标原点,左、右焦点 F1、F2 在 x 轴上,双曲线 C 2 的右支上一点 A 使 AF ? AF2 ? 0 且 ?F1 AF2 的面积为 1。(12 分) 1
22.已知离心率为 (1) 求双曲线 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与双曲线 C 相交于 E、F 两点(E、F 不是左右顶点) ,且以 EF 为直径的圆过双曲线 C 的右顶点 D。求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

临沂三中高二下学期数学模拟试题(理科)参考答案
一、选择题: (每题 5 分共 60 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 C 6 D 7 C 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B

二.填空题: (每题 5 分共 20 分) 13. 3 , 4 14. an ? 2n ? 6 15.

10 2

16. 2 ? 3

2 2 17.解: (1)由余弦定理得, 7 ? a ? b ? 2ab cosC 即 ab ? 3 ,与 a ? b ? 4 得

4

?a ? 1 ?a ? 3 或 ? ? ?b ? 3 ?b ? 1
(2)由 a ? b ? 4 和均值不等式得, ab ? 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立, 所以 ?ABC 的面积 S ?

1 ab sin C ? 3 2

故 ?ABC 的面积最大值为 3 . 18.解:设数列 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,由题意得, ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21 2 ?1 ? 4d ? q ? 13

? q ? 0 解得 d ? q ? 2
(1) 得 an ? 2n ? 1 , bn ? 2 n?1 (2)

1 3 5 2n ? 1 S n ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 ① 1 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2n
-

② ②
n ?1





?1? 1? ? ? ? ? 1 2 2 2 2 2n ? 1 ? ? S n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 1 ? 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 2n ? 3 所以 S n ? 6 ? n ?1 <6. 2

?

2n ? 1 2n ? 3 ? 3? n 2 2n

19.

证明: (1)取 PD 中点为 M,连 ME,MF ∵ E 是 PC 的中点 ∴ ME 是△PCD 的中位线 ∴ ME //

1 CD 2

∵ F 是 AB 中点且由于 ABCD 是菱形,AB // CD ∴ BE∥MF

∴ ME // FB

∴ 四边形 MEBF 是平行四边形

∵ BE ? 平面 PDF ,MF ? 平面 PDF ∴ BE∥平面 PDF ………4 分 (2)∵ PA⊥平面 ABCD DF ? 平面 ABCD ∴ DF⊥PA ……………5 分 0 ∵ 底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60 ∴ △DAB 为正△ ∵ F 是 AB 中点 ∴ DF⊥AB ∵ PA、AB 是平面 PAB 内的两条相交直线 ∴ DF⊥平面 PAB ∵ DF ? 平面 PDF ∴ 平面 PDF⊥平面 PAB ………………8 分

5

(3)建系如图:A (0,0,0) (0,0,1) ,P

B( 3 ,1 ,0) , C ( 3 ,3,0) , D(0, 2 ,0)
E( 3 3 1 3 1 , , ) , F( , ,0) 2 2 2 2 2

设平面 PBC 的法相量为: u ? ( x , y , z) ,则

? x ?1 ?u ? BC ? 0 ? y ? 0 ? ? ,? ,? y ? 0 ? ? u ? PC ? 0 ? 3x ? z ? 0 ? ? ?z ? 3

u ? (1,0 , 3) , 平 面 ABC 的 法 相 量 为 :
AP ? (0, 0,1) , cos ? u , AP ??
u ? AP | u | ? | AP ? 3 ,二面角 P ? BC ? A 的大小为 30? 2

-----------------------------------------------------12 分 20、 (Ⅰ )由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入椭圆方程得

x2 ?1 ? ? (kx ? 2)2 ? 1 整理得 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ① ……………2 分 2 ?2 ?
2

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k ? 4 ? 分 解得 k ? ?

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,……3 ?2 ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? , ∞ ? .……5 分 ? ? 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ??? ? 2 ? ? 2 2 2 ? ? ? ? ??? ??? ? ? (Ⅱ )设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,

由方程① x1 ? x2 ? ? ,

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . 而 A( 2,,B(01) ??? AB ? (? 21) . 0) ,, ,



??? ?

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) ,……8 分 将②代入上式,解得 k ? ③

??? ??? ? ?

??? ?

2 .……10 分 2

6

由(Ⅰ )知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k .……12 分 2 2

21.(Ⅰ)以 C 为原点,分别以 CB、CA、CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 F (1,0,0) ,E(1,1,0) ,A(0,2,0) 1(0,0,2) ,C ,

AC1 ? (0,?2,2)
设 G(0,2,h) ,则 EG ? (?1,1, h).? AC1 ? EG,? EG ? AC1 ? 0. ∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1,即 G 是 AA1 的中点. ……………………6 分 (Ⅱ)设 m ? ( x, y, z) 是平面 EFG 的法向量,则 m ? FE, m ? EG. 所以 ? 分 ∵ sin ? ? ∴? ?

?0 ? x ? 1? y ? 0 ? z ? 0, 平面 EFG 的一个法向量 m=(1,0,1)…………………8 ?? x ? y ? z ? 0.
| m ? AC1 | | m | ? | AC1 | ? 2 2?2 2 ? 1 , 2

?
6

, 即 AC1 与平面 EFG 所成角 ? 为

? 6

………………………12 分

22. ( 1 ) 由 题 意 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 由 已 知 得 : a2 b2

c a2 ? b2 5 解得 a ? 2b ………………………………………2 分 e? ? ? a a 2 ∵ AF ? AF2 ? 0 且 ?F1 AF2 的面积为 1 1 1 2 2 2 ∴ | F1 A | ? | F2 A |? 2a, S ?F1 AF2 ? | F1 A | ? | F2 A |? 1 , | F1 A | ? | F2 A | ?| F1 F2 | 2 2 2 2 ∴ (| F1 A | ? | F2 A |) ? 4c ? 4 ? 4a ∴ b ? 1, a ? 2 ………………………………………4 分
x2 ? y 2 ? 1 。………………………………………5 分 4 ? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) ,联立 ? x 2 得 (4k ? 1) x ? 8kmx? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4 1 显然 k ? ? 否则直线 l 与双曲线 C 只有一个交点。 2 2 ? ? (8km) ? 4(4m2 ? 4)(4k 2 ? 1) ? 0 即 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 0
∴双曲线 C 的标准方程为

8km ? ? x1 ? x 2 ? ? 4k 2 ? 1 ? 则? ……………………………8 分 2 ? x x ? 4m ? 4 ? 1 2 4k 2 ? 1 ? 2 2 又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m
∵以 EF 为直径的圆过双曲线 C 的右顶点 D(2,0) ∴ DE ? DF ? 0 即 ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y 2 ) ? 0
7

∴ (k 2 ? 1) x1 x2 ? (km ? 2)(x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4 ? 0

4m 2 ? 4 ? 8km ? (km ? 2) ? 2 ? m2 ? 4 ? 0 2 4k ? 1 4k ? 1 2 2 化简整理得 3m ? 16km ? 20k ? 0 10 2 2 ∴ m1 ? ?2k , m2 ? ? k ,且均满足 4k ? m ? 1 ? 0 3 当 m1 ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点(2,0) ,与已知矛盾! 10 10 10 当 m 2 ? ? k 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点( ,0) 3 3 3 10 ∴直线 l 定点,定点坐标为( ,0) 。……………………………12 分 3
∴ (k ? 1) ?
2

8


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