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08-14江苏高考真题汇编-压轴题(数列、函数)


08-14 江苏高考数列与函数
一 概述 以 08-14 近六年高考的江苏真题为背景,研究数列与函数两 个部分解答题的命题特点,解题思路,解答技巧。 二 真题方法提炼
1 数列

(08)19. (1)设

是各项均不为零的 n ( n ≥ 4 )项等差数列,

且公差 d ? 0 ,若将此数列删去某

一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数 列. a (i)当 n ? 4 时,求 1 的数值; d (ii)求 n 的所有可能值. (2)求证:对于给定的正整数 n ( n ≥ 4 ),存在一个各项及公差均不为零的等 差数列 ? bn ,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列. b1,b2, 初等数论的简单应用

1

(09)17. (本小题满分 14 分)


?an ?

是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前

n 项和,满足

2 2 2 2 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (2)试求所有的正整数 m ,使得 简单的分离常数,整体法

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

2

(10)19. (16
2a2 ? a1 ? a3 ,数列

分)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知
n

? S ?是公差为 d 的等差数列.

①求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ② 设 c 为 实 数 , 对 满 足 m ? n ? 3k且m ? n 的 任 意 正 整 数 m, n, k , 不 等 式

S m ? S n ? cSk 都成立。求证: c 的最大值为
基本不等式,初等数论的简单应用

9 2

3

(12) 20. (本小题满分 16 分)已知各项均为正数的两个数列 {a } 和 {b } 满
n n

足: an?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

(1)设 bn ?1 ? 1 ?

2 ? bn ?? b ? ? ? ,n ? N? ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; an a ? ?? n ? ? ?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

基本不等式与函数单调性的应用

4

(13)19.(2013 江苏,19)(本小题满分 16 分)设{a }是首项为 a,公
n

差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项和.记 bn ?

nSn ,n∈N*,其中 c 为实 2 n ?c

数. (1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.
待定系数法求解

5

(11)20、设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a } 的首项 a
n

1

? 1 ,前 n 项

和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立 (1)设 M={1} , a2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式

6

(14)20.(本小题满分 16 分)
设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n . 若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得
S n ? a m ,则称 {a n } 是“H 数列”.
n ? (1)若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 ( n ? N ),证明: {a n } 是“H 数列”;

(2)设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {a n } 是 “H 数列” ,求 d 的 值; (3)证明:对任意的等差数列 {a n } ,总存在两个“H 数列” {bn } 和 {cn } ,使得
a n ? bn ? c n

( n ? N )成立.

?

7

2 函数

(08) 20.已知函数 f ( x) ? 3
1

x ? p1

, f2 ( x) ? 2 ? 3 x? p2 ( x ? R, p1 , p2 为常数) .函

? f ( x), 若f1 ( x) ? f 2 ( x) 数 f ( x) 定义为:对每个给定的实数 x , f ( x) ? ? 1 ? f 2 ( x), 若f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充分必要条件(用 p1 , p2 表示) ; (2)设 a , b 是两个实数,满足 a ? b ,且 p1, p2 ? (a, b) .若 f (a) ? f (b) ,求证:函数
f ( x) 在区间 [a, b ] 上的单调增区间的长度之和为
b?a (闭区间 [ m, n ] 的长度定义 2

为 n ? m) 用到不等式的知识 利用图像进行讨论

8

(09)20.(本小题满分 16 分)
设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x ? ( x ? a) | x ? a | .
2

(1) 若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2) 求 f ( x) 的最小值; (3) 设 函 数 h( x) ? f ( x), x ? (a ?? , , ) 直 .接 .写出 ..( 不 需 给 出演 算 步骤 ) 不 等 式

h( x ) ? 1的解集.
利用图像分析求解

9

(10) 20.(16 分)设 f ( x) 使定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .
如果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h( x) >0 ,使得

f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P (a ) .
(1)设函数 f ( x) ? h( x) ?
b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数 x ?1

①求证:函数 f ( x) 具有性质 P(b) ②求函数 f ( x) 的单调区间 (2) 已 知 函 数 g ( x) 具 有 性 质 P(2) , 给 定 x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 且 ? ? 1, ? ? 1 , 若 | g (? ) ? g ( ? ) |<|
g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围
先讨论内容较少,较易拿分的 深刻理解题目的含义,利用不等式的传递性,放缩的思想

10

(12)18. (本小题满分 16 分)已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数
f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点.

(1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;
2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ?[?2 ,

找特殊点,待定系数法求高次多项式的根 利用图像找零点

11

(11) 19、 已知 a, b 是实数, 函数 f ( x) ? x
区间 I 上单调性一致

3

? ax, g ( x) ? x 2 ? bx, f ?( x) 和 g ?( x )

是 f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在

(1)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取 值范围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性 一致,求|a-b|的最大值 找特殊点,缩小范围

12

(13)20.(2013 江苏,20)(本小题满分 16 分)设函数 f(x)=ln x-ax,
g(x)=ex-ax,其中 a 为实数. (1)若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且 g(x)在(1,+∞)上有最小值, 求 a 的取值范围; (2)若 g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求 f(x)的零点个数,并证明
你的结论. 常规方法 先找较易求解的进行讨论,同时结合图像

13

(14)19.(本小题满分 16 分)
已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范 围; 3 (3)已知正数 a 满足: 存在 x0 ? [1,??) , 使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小,并证明你的结论.

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