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河北省廊坊市文华高中2016届高三上学期9月月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年河北省廊坊市文华高中高三(上)9 月月考数学试 卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=( ) A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,1] D.[1,2)

/>2.复数 A.

的共轭复数是( B. C.﹣i

) D.i

3.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 ) 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A. B. C. D.

4. A.﹣40 B.﹣20 C.20

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( D.40

)

5.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(

)

A.

B.

C.

D.

6.由曲线 y= A. B.4

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6

)

7.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 ) 与平面 BED 的距离为( A.2 B. C. D.1

,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1

8.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=( A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣7 9.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 ) 的面积为( A.2 B.2 C. 2 D.4

)

x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4

,则△ POF

10.在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) (n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的 散点图中,若所有样本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的 样本相关系数为( A.﹣1 B.0 C. ) D.1

11.已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=﹣x2,则下列命题中为真命题的是( A.¬p∧¬q B.p∧¬q C.¬p∧q D.p∧q

)

12.已知函数 f(x)=

,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是(

)

A. (﹣∞,0] B. (﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为__________.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为__________.

15.△ ABC 中,∠B=120°,AC=7,AB=5,则△ ABC 的面积为__________. 16.给出下列命题: ①已知 a,b,m 都是正数,且 ,则 a<b;

②已知 f′(x)是 f(x)的导函数,若?x∈R,f′(x)≥0,则 f(1)<f(2)一定成立; ③命题“?x∈R,使得 x2﹣2x+1<0”的否定是真命题; ④“x≤1,且 y≤1”是“x+y≤2”的充要条件. 其中正确命题的序号是__________. (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . (Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 18.从某企业生产的产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如 下频数分布表: [75,85) [85,95) [95,105) 质量指标值 分组 6 26 38 频数 (1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图; [105,115) 22 [115,125) 8

(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的 产品至少要占全部产品 80%”的规定? 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值.

20.为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服 用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时 间(单位:h)实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 a、b 的值;

+ ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+2y﹣3=0.

(Ⅱ)证明:当 x>0,且 x≠1 时,f(x)>



请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写 清题号. 【选修 4-1,几何证明选讲】 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (选修 4﹣4:坐标系与参数方程)

已知曲线 C1 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年河北省廊坊市文华高中高三(上)9 月月考 数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则 A∩B=( ) A.[﹣2,﹣1] B.[﹣1,2) C.[﹣1,1] D.[1,2) 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论. 【解答】解:A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3 或 x≤﹣1},B={x|﹣2≤x<2}, 则 A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}, 故选:A 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2.复数 A.

的共轭复数是( B. C.﹣i

) D.i

【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,然后 求出共轭复数,即可. 【解答】解:复数 = = =i,它的共轭复数为:﹣i.

故选 C 【点评】本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,共轭复数的概念,常考题型. 3.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 ) 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A. B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是 3×3 种结果,满足条件的事件是这 两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果,根据古典概型概率公式得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是 3×3=9 种结果, 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有三个小组,则有 3 种结果,

根据古典概型概率公式得到 P=



故选 A. 【点评】本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含 的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目.

4. A.﹣40 B.﹣20 C.20

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( D.40

)

【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题. 【分析】给 x 赋值 1 求出各项系数和,列出方程求出 a;将问题转化为二项式的系数和;利用 二项展开式的通项公式求出通项,求出特定项的系数. 【解答】解:令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项系数和为 1+a ∴1+a=2 ∴a=1 ∴ = ∴展开式中常数项为 ∵ 的 的系数和 =

展开式的通项为 Tr+1=(﹣1)r25﹣rC5rx5﹣2r

令 5﹣2r=1 得 r=2;令 5﹣2r=﹣1 得 r=3 展开式中常数项为 8C52﹣4C53=40 故选 D 【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开 式的特定项问题. 5.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】作图题. 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,是由一个三棱锥和被轴截 面截开的半个圆锥组成,根据组合体的结构特征,得到组合体的侧视图.

【解答】解:由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体, 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成, ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形, 故选 D. 【点评】本题考查简单空间图形的三视图,考查由三视图看出原几何图形,再得到余下的三 视图,本题是一个基础题. 6.由曲线 y= A. B.4 ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6 )

【考点】定积分在求面积中的应用. 【专题】计算题. 【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= ,直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 【解答】解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为: .故选 C.

【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考 查学生的转化与化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 7.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 ,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 ) 与平面 BED 的距离为( A.2 B. C. D.1 【考点】直线与平面所成的角. 【专题】计算题. 【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE,再将线面距离转化为点面距 离,最后利用等体积法求点面距离即可

【解答】解:如图:连接 AC,交 BD 于 O,在三角形 CC1A 中,易证 OE∥C1A,从而 C1A∥ 平面 BDE, ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距离,设为 h, 在三棱锥 E﹣ABD 中,VE﹣ABD= S△ ABD×EC= × ×2×2× 在三棱锥 A﹣BDE 中,BD=2 ∴VA﹣BDE= ×S△ EBD×h= ×2 ∴h=1 故选 D ,BE= ×h= ,DE= = × =2

,∴S△ EBD= ×2

【点评】本题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算 方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题 8.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=( A.7 B.5 C.﹣5 D.﹣7 )

【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可 求 a1,a10,即可 【解答】解:∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4,a7=﹣2 或 a4=﹣2,a7=4 当 a4=4,a7=﹣2 时, ,

∴a1=﹣8,a10=1, ∴a1+a10=﹣7 当 a4=﹣2,a7=4 时,q3=﹣2,则 a10=﹣8,a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选 D 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力. 9.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 ) 的面积为( A.2 B.2 C.2 D.4 【考点】抛物线的简单性质. x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 ,则△ POF

【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据抛物线方程,算出焦点 F 坐标为( ) .设 P(m,n) ,由抛物线的定义结 合|PF|=4 ,算出 m=3 ,从而得到 n= ,得到△ POF 的边 OF 上的高等于 2 ,最 后根据三角形面积公式即可算出△ POF 的面积. 【解答】解:∵抛物线 C 的方程为 y2=4 x ∴2p=4 ,可得 = ,得焦点 F( )

设 P(m,n) 根据抛物线的定义,得|PF|=m+ =4 即 m+ =4 ,解得 m=3 ∵点 P 在抛物线 C 上,得 n2=4 = ∴n= ∵|OF|= ∴△POF 的面积为 S= |OF|×|n|= 故选:C ,

×3

=24

=2

【点评】本题给出抛物线 C:y2=4 x 上与焦点 F 的距离为 4 的点 P,求△ POF 的面积.着 重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 10.在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) (n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的 散点图中,若所有样本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的 样本相关系数为( A.﹣1 B.0 C. ) D.1

【考点】相关系数. 【专题】规律型. 【分析】所有样本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,故这组样本数据完全正 相关,故其相关系数为 1. 【解答】解:由题设知,所有样本点(xi,yi) (i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,

∴这组样本数据完全正相关,故其相关系数为 1, 故选 D. 【点评】本题主要考查样本的相关系数,是简单题. 11.已知命题 p:?x∈R,2x<3x;命题 q:?x∈R,x3=﹣x2,则下列命题中为真命题的是( A.¬p∧¬q B.p∧¬q C.¬p∧q D.p∧q )

【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】举反例说明命题 p 为假命题,则¬p 为真命题.由 x3=﹣x2,可得 x=0 或﹣1,从而得 到命题 q 为真命题,由复合命题的真假得到答案. 【解答】解:因为 x=﹣1 时,2﹣1>3﹣1,所以命题 p:?x∈R,2x<3x 为假命题,则¬p 为真命 题. 因为 x3=﹣x2,所以 x=0 或﹣1,所以命题 q:?x∈R,x3=﹣x2 为真命题. 则¬p∧q 为真命题. 故选:C. 【点评】本题考查了复合命题的真假,考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法,解答 的关键是熟记复合命题的真值表,是基础题.

12.已知函数 f(x)=

,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是(

)

A. (﹣∞,0] B. (﹣∞,1] C.[﹣2,1] D.[﹣2,0] 【考点】其他不等式的解法. 【专题】压轴题;不等式的解法及应用. 【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,由导数求切线斜率可得 l 的斜率,进而数形结合可得 a 的范围. 【解答】解:由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,

由图象可知:函数 y=ax 的图象为过原点的直线,当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意,直线 l 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2﹣2x, 求其导数可得 y′=2x﹣2,因为 x≤0,故 y′≤﹣2,故直线 l 的斜率为﹣2, 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于﹣2 与 0 之间即可,即 a∈[﹣2,0] 故选:D 【点评】本题考查其它不等式的解法,数形结合是解决问题的关键,属中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y=4x﹣3. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题. 【分析】先求导函数,求出切线的斜率,再求切线的方程. 【解答】解:求导函数,可得 y′=3lnx+4, 当 x=1 时,y′=4, ∴曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为 y﹣1=4(x﹣1) ,即 y=4x﹣3. y=4x 3 故答案为: ﹣ . 【点评】本题考查导数的几何意义,考查点斜式求直线的方程,属于基础题.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为 4.

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x+y,得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,由图象可知当直线 y=﹣3x+z,经过点 A 时,直线 y=﹣3x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(1,1)

此时 z 的最大值为 z=3×1+1=4, 故答案为:4.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

15.△ ABC 中,∠B=120°,AC=7,AB=5,则△ ABC 的面积为 【考点】正弦定理的应用;余弦定理. 【专题】解三角形.



【分析】先利用余弦定理和已知条件求得 BC,进而利用三角形面积公式求得答案. 【解答】解:由余弦定理可知 cosB= 求得 BC=﹣8 或 3(舍负) ∴△ABC 的面积为 ?AB?BC?sinB= ×5×3× 故答案为: 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.在求三角形面积过程中,利用两边和 夹角来求解是常用的方法. 16.给出下列命题: ①已知 a,b,m 都是正数,且 ,则 a<b; = =﹣ ,

②已知 f′(x)是 f(x)的导函数,若?x∈R,f′(x)≥0,则 f(1)<f(2)一定成立; ③命题“?x∈R,使得 x2﹣2x+1<0”的否定是真命题; ④“x≤1,且 y≤1”是“x+y≤2”的充要条件. 其中正确命题的序号是①③. (把你认为正确命题的序号都填上) 【考点】命题的否定;不等关系与不等式. 【专题】压轴题;阅读型. 【分析】对于:①②③④中的②④可通过举反例进行否定:对于②若 f(x)是常数函数, 则 f(1)<f(2)不成立;故错; 对于④若“x=1.8,且 y=0.1”则“x+y≤2”不能推得“x≤1,且 y≤1”故④错;对于①③可根据不等 式的性质进行证明其正确性. 【解答】解:对于: ①已知 a,b,m 都是正数,且 ?ab+b>ab+a?a<b;正确;

②若 f(x)是常数函数,则 f(1)<f(2)不成立;故错; ③命题“?x∈R,使得 x2﹣2x+1<0”的否定是“?x∈R,使得 x2﹣2x+1≥0”真命题;正确; ④若“x=1.8,且 y=0.1”则“x+y≤2”不能推得“x≤1,且 y≤1”故④错; 正确命题的序号是①③. 故答案为:①③. 【点评】本小题主要考查命题的否定、不等关系与不等式等基础知识,通过举反例可证明一 个命题为假.属于基础题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . (Ⅰ)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 【考点】等比数列的前 n 项和.

【专题】综合题. 【分析】 (I)根据数列{an}是等比数列,a1= ,公比 q= ,求出通项公式 an 和前 n 项和 Sn, 然后经过运算即可证明. (II)根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式. 【解答】证明: (I)∵数列{an}为等比数列, a1= ,q= ∴an= × = ,

Sn=

又∵

=

=Sn

∴Sn= (II)∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+(﹣2log33)+…+(﹣nlog33) =﹣(1+2+…+n) =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为:bn=﹣ 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前 n 项和以及对数函数的运算性质. 18.从某企业生产的产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如 下频数分布表: [75,85) [85,95) [95,105) 质量指标值 分组 6 26 38 频数 (1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图; [105,115) 22 [115,125) 8

(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的 产品至少要占全部产品 80%”的规定? 【考点】极差、方差与标准差;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)根据频率分布直方图做法画出即可; (2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差,代入公式计算即可. (3)求出质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值,再和 0.8 比较即可. 【解答】解: (1)频率分布直方图如图所示:

(2)质量指标的样本平均数为 =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100, 质量指标的样本的方差为 S2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104, 这种产品质量指标的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68, 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品 至少要占全部产品 80%”的规定.

【点评】本题主要考查了频率分布直方图,样本平均数和方差,考查了学习的细心的绘图能 力和精确的计算能力. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥ 底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值.

【考点】直线与平面垂直的性质;用空间向量求平面间的夹角. 【专题】计算题;证明题;综合题;数形结合;转化思想. 【分析】 (Ⅰ)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得 BD= ,利用勾股定理证明 BD⊥AD,根据 PD⊥底面 ABCD,易证 BD⊥PD,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可 证 PA⊥BD; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,写出点 A,B,C,P 的坐标,求出向量 PAB 的法向量,平面 PBC 的法向量,求出这两个向量的夹角的余弦值即可. 【解答】 (Ⅰ)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得 BD= , 2 2 2 从而 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长, 射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz,则 A(1,0,0) ,B(0, ,0) ,C(﹣1, ,0) ,P(0,0,1) . =(﹣1, ,0) , =(0, ,﹣1) , =(﹣1,0,0) , 设平面 PAB 的法向量为 =(x,y,z) ,则 ,和平面

即 因此可取 =(

, ,1, ) ,

设平面 PBC 的法向量为 =(x,y,z) ,则

即:

可取 =(0,1,

) ,cos<

>=

=

故二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值为:﹣



【点评】此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理,以及应用空间向量求空间 角问题,查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力. 20.为了比较两种治疗失眠症的药(分别成为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服 用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时 间(单位:h)实验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (Ⅰ)分别计算两种药的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

【考点】众数、中位数、平均数;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)利用平均数的计算公式即可得出,据此即可判断出结论; (Ⅱ)利用已知数据和茎叶图的结构即可完成. 【解答】解: (Ⅰ)设 A 药观测数据的平均数据的平均数为 ,设 B 药观测数据的平均数据的 平均数为 , 则 = ×

(0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4)=2.3.

×(3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5) =1.6. 由以上计算结果可知:

.由此可看出 A 药的效果更好.

(Ⅱ)根据两组数据得到下面茎叶图:

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 果由

的叶集中在 2,3 上.而 B 药疗效的试验结

的叶集中在 0,1 上.由此可看出 A 药的疗效更好.

【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键.

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 a、b 的值;

+ ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+2y﹣3=0.

(Ⅱ)证明:当 x>0,且 x≠1 时,f(x)>



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 【分析】 (I)据切点在切线上,求出切点坐标;求出导函数;利用导函数在切点处的值为切线 的斜率及切点在曲线上,列出方程组,求出 a,b 的值. (II)构造新函数,求出导函数,通过研究导函数的符号判断出函数的单调性,求出函数的最 值,证得不等式. 【解答】解: (I) .

由于直线 x+2y﹣3=0 的斜率为﹣ ,且过点(1,1)

所以 解得 a=1,b=1 (II)由(I)知 f(x)=

所以

考虑函数



则 所以当 x≠1 时,h′(x)<0 而 h(1)=0, 当 x∈(0,1)时,h(x)>0 可得 ;

当 从而当 x>0 且 x≠1 时,

【点评】本题考查导函数的几何意义:在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函 数的符号求出函数的单调性;通过求函数的最值证明不等式恒成立. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写 清题号. 【选修 4-1,几何证明选讲】 22.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【专题】选作题;推理和证明. 【分析】 (Ⅰ)利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可得 ∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E, 即可证明△ ADE 为等边三角形. 【解答】证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E;

(Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形.

【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【考点】参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置;点的极坐标和直角坐标的互化. 【专题】压轴题;直线与圆. 【分析】 (Ⅰ)对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin2t+cos2t=1 即可得到圆 C1 的普通方 程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)先求出曲线 C2 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐 标与直角坐标的互化公式即可求出 C1 与 C2 交点的极坐标. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式 (t 为参数) ,

得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25 即为圆 C1 的普通方程, 即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0. 将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式,得. ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ 化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0, 由 ,解得 或 .

∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(



) , (2,

) .

【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化.熟练掌握 极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

【考点】绝对值不等式的解法;函数单调性的性质. 【专题】压轴题;不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设 y=|2x ﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数 y 的图象,数形结合可得结论. (Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2 对 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0. 都成立.故﹣ ≥a﹣2,由此解得

设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=

,它的图象如图所示:

结合图象可得,y<0 的解集为(0,2) ,故原不等式的解集为(0,2) . (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 对 都成立. 时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2

故﹣ ≥a﹣2,解得 a≤ ,故 a 的取值范围为(﹣1, ].

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体 现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.


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