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高中数学竞赛辅导讲座-数列(二)


高中数学竞赛辅导讲座—数列(二)
【基础知识】 1、概念:① 、递归式:一个数列{an}中的第 n 项 an 与它前面若干项 an-1,an-2…an-k, (k<n)的关系式称为递归式。 ② 、递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为 递归数列。 2、常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法,不动点法,归纳猜想等。 3、思想策略:构造新数列的思想。 4、常见类型

: 类型Ⅰ ? :
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为: (1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0)

(2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0)

解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ ? :
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

解题方法:利用特征方程 x2=px+q,求其根α、 ,构造 an=Aαn+Bβn, β 代入初始值 求得 A , B 。 类型Ⅲ n+1=f(an)其中函数 f(x)为基本初等函数复合而成。 :a 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。 5、与递归数列有关的综合问题,一般可先求其通项公式,利用通项公式,结合多 方面的知识和各种数学方法加以解决。如与不等式结合的综合题,就利用比较法、 放缩法等。若给出的数列难于求通项,可借助与构造法、数学归纳法、函数与方 程的知识等加以解决。 【例题选讲】 1、已知 a1= 2 ,an= 2 ? 2an?1 ,求数列{an}的通项公式。 解:由数学归纳法,不难证明 0< an <2(n=1,2,….),故可设 an=2cosθn(0<θn< 于是 2cosθn= 2 ? 2an?1 =2cos
1 故θn= θn-1 2

? ), 2

? n?1
2

,由 a1= 2 ,得θ1=

1 ? ? 因此,θn=θ1( )n-1= n ?1 ,所以 an=2cos n ?1 2 2 2

? 4

2、正整数 k,g(k)表示 k 的最大奇因子(例如 g(3)=3,g(20)=5) ,求 g(1) n + g(2)+ g(3)+……..+ g(2 )(其中 n∈N*) 解:设 Sn= g(1)+ g(2)+ g(3)+ ……. g(2n),则易知 S1= g(1)+ g(2)=2 由 g(k)定义知:当 k 为奇数时,g(k)=k;当 k 为偶数,即 k=2m(m∈N*) 时,g(k)=g(m) 。于是,有 Sn=[g(1)+g(3)+……g(2n -1)]+[g(2)+g(4)+……g(2n)] =[1+3+……+(2n -1)]+g(1)+g(2)+…..+g(2n -1)=(2n-1)2+Sn-1, 即 Sn-Sn-1=(2n-1)2 所以 Sn=(Sn-Sn-1)+(Sn-1+Sn-2)+……+(S2-S1)+S1= (2n-1)2+ (2n-1-1)2 +……
n ?1 2-1)2+2 ? 4 ? 16 ? 2 n ? 2 ? n ? 9 + (2 3

3、已知数列{an}中,a1=2,an+1= 解:设 f(x)=

2a n ? 6 ,求 an an ?1

2x ? 6 ,解方程 f(x)=x,得 f(x)的不动点为-2 和 3 x ?1

设 bn=an-3,cn=an+2,则

bn+1=

bn 2a n ? 6 ? an ? 3 =? ?3= an ? 1 an ?1 an ?1

Cn+1=

2a n ? 6 4a ? 8 4a n ?2 ? n ? an ?1 an ?1 an ?1



b n ?1 1 bn , ?? c n ?1 4 cn

{

bn 1 } 是一个等比数列,公比为 ? ,首项为 4 cn

b1 a 1 ? 3 1 ?? ? 4 c1 a 1 ? 2
所以

a ?3 1 bn 1 2 ? 3 ? (?4) n ? , 从而由 n ? , 得 an= cn (?4) n a n ? 2 (?4) n (?4) n ? 1

4、将数字 1,2,3,……..,n 填入标号为 1,2,3,……..,n 的 n 个方格内,每 格一个数字,则标号与数字均不相同的填法有多少种? 解:设 an 为符合条件的填法。填加数 n+1 和标号为 n+1 的方格,则对于 an 中 的每一个填法,我们将第 k(k=1,2,3,…..n)格的数移到 n+1 格,而将 n+1

填入 k 格,得符合条件填法 nan 种; 对于 n 个数时,仅有第 k 格填入是 k(k=1,2,3,…..n) ,其他 n-1 个数 填法符合条件的为 an-1,我们也将第 k 格的数移到第 n+1 格,而将 n+1 填入 k 格,得符合条件的填法 nan-1 于是,共有 an+1=nan+nan-1 种。 易知 a1=0,a2=1。设 an=n!bn,则 (n+1)bn+1=nbn+bn-1, 1 (bn ? bn ?1 ) . 即 bn+1-bn= ? n ?1

? (bk ?1 ? bk ) ? ? [ ?
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

1 (bk ? bk ?1 )] . k ?1
2 1 (b2 ? b1 ) ? (?1) n n! n!
n



bn-bn-1=(-1)n-2
n

故 bn= ? (b i ? b i ?1 ) ? ? ( ? 1 )
i ?1 i ?1

1 i!

故 an=n! ? ( ? 1 )
i ?1

n

i

1 (n ? 2) i!

5、用 1,2,3 三个数字写 n 位数,要求数中不出现紧挨着的两个 1,问 能构成多少个 n 位数? 解:设符合条件的 n 位数共有 an 种,按首位划分为: (1) 首位是 2 或 3,则以下 n-1 位各有 an-1 个,共 2an-1 个 (2) 首位是 1,第二位只能为 2 或 3,共有 2an-2 个。 故 an=2an-1+2an-2 易知 a1=3,a2=8 特 征 方 程 是 x2-2x-2=0, 特 征 根 为 1? 3 和 1? 3 , 所 以 可 设

an ? A(1? 3) n ? B(1 ? 3) n )n
取 n=1,2,得
? A(1 ? 3 ) ? B(1 ? 3 ) ? 3, ? ? ? A(1 ? 3 ) 2 ? B(1 ? 3 ) 2 ? 8 ?

? 3? 2 3 ?A ? ? 6 解得 ? ? B ? 3-2 3 ? 6 ?



an ?

3? 2 3 3?2 3 (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n 6 6

?an ? 7a n ? 6bn - 3 6、设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且 ? ?1 ?b n ?1 ? 8a n -1 ? 7bn - 4
(n=0,1,2,……….) 证明:an(n=0,1,2,…..)是完全平方数 证明:由已知,得 an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3 =7 an+48 an-1+42 bn-1-27 由 an=7an-1+6bn-1-3,得 42bn-1=7an-49an-1+21,从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27=14an-an-1-6 又 an=14an-1-an-2-6 ① ,整理,得 -② an+1=15an-15an-1+an-2 由特征方程 x3-15x2+15x-1=0 解得三个根 x=1, 7 ? 4 3

① ②

an ? A ?1n ? B(7 ? 4 3) n ? C(7 ? 4 3) n
由初始条件 a0 =1,b0=0 及递推公式可得 a1=4,a2=49,从而可得 1 1 A= ,B=C= 所以 2 4
1 1 a n ? [2 ? (7 ? 4 3 ) n ? (7 ? 4 3 ) n ] ? [( 2 ? 3 ) 2n ? 2 ? (2 ? 3 ) 2n ] 4 4

?[

(2 ? 3 ) n ? (2 ? 3 ) n 2 ] 2

根据二项式展开公式,不论 n 为奇数或偶数,
(2 ? 3 ) n ? (2 ? 3 ) n 都为整数,从而 an 是完全平方数. 2

7、已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ= 求证: 对一切正整数 n, 证明:

2ab ? (其中 0< ? ? ),An=(a2+b2)nsinnθ 2 2 a ?b
2

An 均为整数 2ab 2ab ? ? sin? ? 2 , a>b>0,0< ? ? , 2 2 a ?b

2 a b 2 a 2 ? b2 ?c o? ? 1? ( 2 s ) ? 2 a ? b2 a ? b2
由于 sinn(nθ)+sin(n-2)θ=2sin(n-1)θcosθ(n>2) 因此,将 sin n? ?

An 及 n 换成 n-1,n-2 后,将三个式子代入上 (a ? b 2 ) n
2

式,整理,得 A n ? 2(a 2 ? b 2 )A n ?1 ? (a 2 ? b 2 ) 2 A n ?2 (n ? 2) 由 a,b ? N * ,用数学归纳法证明
An 均是整数. 2ab

(1) 由题设,计算得 A1=2ab,A2=2ab· 2-b2).于是当 n=1,2 时,结论 2(a 成立; (2) 假设当 n<k(k>2)时,结论成立,则 Ak-2,Ak-1 皆为 2ab 的整数 倍。于是,由递推式知 Ak 亦是 2ab 的整数倍。故当 n=k 时,结论 亦成立. 所以对一切正整数 n,
An 均是整数。 2ab

8、 (1)证明: 3 ?

2 2 7 n2 ? 2 ? ? ? .......... ? . ?3 ; (n ? 1)! 2! 3! n!

(2) 求证整数 a, b,c,使得对任意 n ? N * (n>2) ,有

b?

c 2 3 ? a 33 ? a n3 ? a ? ? ?. . . . . . ? ?b (n ? 2)! 2! 3! n!
2 7 n2 ? 2 ? ? ......? ,则 2! 3! n!

解: (1)设 an= 3 ?

an ?1 ? an ?
变形为 a n ?1 ?
由于 a 2 ?

(n ? 1) 2 - 2 (n ? 1)!

n?2 n?3 n?2 } 是常数列 ? an ? ,故 {a n ? n! (n ? 1)! n!

2?2 n?2 ? 0, 所以 a n ? 2 ! n!

易证 0 ?

n?2 2 ? ,从而原不等式得证. n! (n ? 1)!

2 3 ? a 33 ? a n3 ? a ? ? ........? (2) 2! 3! n! ? 2 3 33 n3 1 1 1 ? ? . . . . ? . . ? a( ? ? . . . . . . . . . ? ) 2! 3! n! 2! 3! n!

通过不完全归纳计算:当 a=5,b=9 时,有
2 3 ? 5 33 ? 5 n3 ? 5 ? ? ........ ?9 2! 3! n! 2 3 ? 5 33 ? 5 n3 ? 5 仿( ),设 bn ? 9 ? 1 ? ? . . . .? . . . , 2! 3! n! 可得 bn ? n 2 ? 3n ? 5 n! 2 3 ? 5 33 ? 5 n3 ? 5 ? ?. . . . . . . . ? 9 2! 3! n!

? bn ? 0, ?
再寻找 bn ?

c (c ? N *, n ? 2)中的c (n ? 2)!

n 2 ? 3n ? 5 c ? ? n 2 ? 3n ? 5 ? cn(n ? 1) n! (n ? 2)!
当 n=3 时, c ? 取 c=4,则 bn ?
23 ?c?4 6

c ? n 2 ? 3n ? 5 ? 4n(n ? 1) (n ? 2)!

? 3n 2 ? 7n ? 5 ? 0 ? 3n(n ? 3) ? 2(n ? 3) ? 1 ? 0
对n ? 3, bn ? 4 恒成立 (n ? 2)!

故 a=5,b=9,c=4 满足所求. 9、 设 A,E 为正八边形的相对顶点,顶点 A 处有一只青蛙,除顶点 E 外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个,落到 顶点 E 时青蛙就停止跳动,设青蛙从顶点 A 恰好跳 n 次后到 E 的 方法数为 an,求 an

解:显然 a4=2,a1=a2=a3=0,且任何奇数次跳不到 E, a2m-1=0(m∈N*) 又从 A 跳到 2 次可到 C 和 G,设从点 C 处跳 n 步到 E 的跳法为 bn,则 b2=1. 从而,bn=an-2+2bn-2 ① (表示点 C 到 A,或由 C 到 B 或 D 后再回到 C) 或 an=2bn-2+2an-2 ② (表示点 A 到点 C 或 G,或者点 A 到 H 或 B 再回到 A) 由 ① ,化简,得 -② bn-2=an-2-an-4 从而 an=4an-2-an-4

当n ? 2m, a2 ? 0, a4 ? 2时,另cm ? a2m , 则 cm ? 4cm?1 ? 2cm?2 ? 0, c1 ? 0, c2 ? 4
由特征方程 x2-4x+2=0 得 特征根为 2 ? 2

故 cm ? A(2 ? 2 ) m ? B(2 ? 2 ) m
由c1 ? 0, c2 ? 4, 得 A? 1 2 (2 ? 2 ) ,B ? ?
1 2

1 2 (2 ? 2 )
1 2 (2 ? 2 ) m?1

故 a2 m ? cm ?

(2 ? 2 ) m?1 ?

10、 a1 , a2 ,....... n 表示整数 ,..... n的任意一排列,设 (n)为这些排列的数目, a 1 2, , f 使得: (1)a1=1(2)|ai-ai+1|≤2(i=1,2,……,n-1).确定 f (1996)是否能被 3 整除 解:易得发 f(1)=f(2)=1,f(3)=2 当 n≥4 时,有 a1=1,a2=2 或 3 (Ⅰ )当 a2=2 作如下处理:删除 a1,另 b1=a2-1,b2=a3-1,……bn-1=an-1. 得符合条件的排列 b1,b2,bn 其数目为 f(n-1) (Ⅱ )当 a2=3 时,对于 a3 分两种情况: ① a3=2 a3 ? 2 ,则有 a4=4 a4 ? 4 。同(Ⅰ 设 )处理得符合条件的排列数 列为 f(n-3) ② a3≠2 则 2 一定在 4 后面,由此得出,所有奇数顺序排列的后面是 设 所有偶数倒序排列,即 1357…8642,只有一个 因此, f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 3) ? 1

对于 n≥1,设 r(n)是 f(n)除以 3 所得的余数,则有

r (1) ? r (2) ? 1, r (3) ? 2, r (n) ? r (n ? 1) ? r (n ? 3) ? 1(mod3).于是, r (n ? 8) ? r (n ? 7) ? r (n ? 5) ? 1 ? [r (n ? 6) ? r (n ? 4) ? 1] ? [r (n ? 4) ? r (n ? 2)] ? 1
? r (n ? 6) ? 2r (n ? 4) ? r (n ? 2) ? [r (n ? 5) ? r (n ? 3) ? 1] ? 2r (n ? 4) ? r (n ? 2)

? {[r (n ? 4) ? r (n ? 2) ? 1] ? [r (n ? 2) ? r (n) ? 1] ? 1} ? 2r (n ? 4) ? r (n ? 2) ? r (n)(mod3)

所以 r(1996)=r(4+249×8)=r(4),而
r (4) ? r (3) ? r (1) ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1(mod3),

故 f(1996)不能被 3 整除。


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