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高中高考数学专题之 概率统计专题


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专题二 概率统计专题

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【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生 命题趋向】
活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识.概率与统计的引入, 拓广了应用问题取材的范围,概率的计算,离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良 好素材.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变 量的分布列与期望,统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,以排列组合和概 率统计等基础知识为工具,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合,化归与转化, 或然与必然思想的运用. 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查 基础知识和基本方法.该部分在高考试卷中,一般是 2—3 个小题和一个解答题.
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【考点透析】概率统计的考点主要有:概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生 考点透析】概率统计的考点主要有:
的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散型随机变量的分布列,离散 型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性回归等.
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【例题解析】 例题解析】

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题型 1 抽样方法 【例 1】在 1000 个有机会中奖的号码(编号为 000 999 )中,在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两 】 位数为的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C. 分层抽样 D.以上均不对 分析:实际"间隔距离相等"的抽取,属于系统抽样. 分析 解析: 题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码, 中奖号码依次为:088 , 188 ,288 ,388 ,488 ,588 ,688 , 解析: 788 , 888 , 988 .答案 B. 点评:关于系统抽样要注意如下几个问题: 1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先定出的规则从 点评:关于 ( ) 每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法. (2) 系统抽样的步骤:①将总体中的个体随机编号; ②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按事先研究的规则抽取样本. (3)适用范 围:个体数较多的总体. 某校共有学生 2000 名, 各年级男, 女生人数如表. 已知在全校学生中随机抽取 1 名, 例 2 2008 年高考广东卷理 3) ( ) 抽到二年级女生的概率是 0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 ( ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
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一 年级 女 生
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二 年级

三 年级

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373

x

y

分析:根据给出的概率先求出 x 的 值, 这样就可以知道三年级的学生人数, 男 z 377 370 问题就解决了. 生 数的 19% ,即 x = 2000 × 0.19 = 380 , 解析: 二年级女生占全校学生总 C 这样一年级和二年级学生的总数是 373 + 377 + 380 + 370 = 1500 ,三年级学生有 500 人,用分层抽样抽取的三年 级学生应是

64 × 500 = 16 .答案 C. 2000
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点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等可能性为出 发点考查随机抽样和分层抽样的知识. 例 3. 2009 江苏泰州期末第 2 题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画 ( 了样本的频率分布直方图(如下图) .为了分析居民的收入与年龄,学历,职业等方面的关系,要从这 10000 人 中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [ 2500,3500 )(元)月收入段应抽出
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人.

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分析:实际上是每 100 人抽取一人,只要把区间内的人数找出来即可. 分析 解析: 解析:根据图可以看出月收入在 [ 2500,3500 ) 的人数的频率是
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( 0.0005 + 0.0003) × 500 = 0.4 ,故月收入在 [ 2500,3500 ) 人数是10000 × 0.4 = 4000 ,
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故抽取 25 人. 点评:本题把统计图表和抽样方法结合起来,主要目的是考查识图和计算能力. 点评 题型 2 统计图表问题 例 4(安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 2 题)从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 50 名学 安徽省皖南八校 生的高校招生体检表中视力情况进行统计, 其结果的频率分布直方图如右图: 若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数为
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A. 10

B. 20

C. 8

D. 16
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分析:根据图找出视力在 0.9 以上的人数的频率即可.

解析:B. 视力住 0.9 以上的频率为 (1 + 0.75 + .025) × 0.2 = 0.4 ,人数为 0.4 × 50 = 20 . 解析

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点评: 点评:在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率,实际上小矩形 的高是频率除以组距. 例 5 (2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 13 题)某篮球运动员在一个赛季的 40 场比赛中的得分 的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ;众数是 .
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分析:根据茎叶图和中位数,众数的概念解决. : 解析: 解析:由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来,处在中间位置的一个(或是最中间两个数的平均 数) ,故从茎叶图可以看出中位数是 23 ;而众数是样本数据中出现次数最多的数,故众数也是 23 .
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点评:一表(频率分布表) ,三图(频率分布直方图,频率折线图,茎叶图) ,三数(众数,中位数,众数)和标 准差,是高考考查统计的一个主要考点. 例 5(2008 高考广东文 11)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 ( )
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量.产品数量的分组区间为 [ 45,55 ) , [55, 65 ) , [ 65, 75 ) , [ 75,85 ) ,

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[85,95) 由此得到频率分布直方图如图,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 [55, 75)

的人数是

.

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分析:找出频率即可. 解析:

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20 × ( 0.040 + 0.0025 ) × 10 = 13 .

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点评: 本题考查频率分布直方图, 解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距, 得出生产数量在 [55, 75 ) 的人数的频率. 平均数,标准差(方差) 题型 3 平均数,标准差(方差)的计算问题 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩, 统计如表, 则这 100 人成绩的标准差为 ( 例 6(2008 高考山东文 9) )
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)

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A. 3

B.

2 10 5

C. 3

D.

8 5
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分析:根据标准差的计算公式直接计算即可. 解析: 平均数是 标准差是
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5 × 20 + 4 × 10 + 3 × 30 + 2 × 30 + 1× 10 =3, 100
2 2 2 2

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s= =

20 × ( 5 3 ) + 10 × ( 4 3) + 30 × ( 3 3) + 30 × ( 2 3) + 10 × (1 3) 100 80 + 10 + 30 + 40 8 2 10 = = 100 5 5
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2

.

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答案 B. 点评:本题考查数据组的平均数和标准差的知识,考查数据处理能力和运算能力.解题的关键是正确理解统计表 的意义,会用平均数和标准差的公式,只要考生对此认识清楚,解答并不困难.
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(中山市高三级 例 7. 中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试理科第 9 题)若数据 x1 , x2 , x3 , , xn 的平均数 . (

x = 5 ,方差 σ 2 = 2 ,则数据 3x1 +1, 3x2 + 1, 3x3 +1, , 3xn +1的平均
分析:根据平均数与方差的性质解决. 解析: 解析 16,18
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数为

,方差为

.

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(浙江宁波市 例 8. 浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 3 题)如图是 2009 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七 . ( 位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4
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解析:C 解析 题型 4 用样本估计总体 例 8(2008 高考湖南文 12)从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示: ( )
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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人. 解析: 解析 60 由上表得 15000 ×

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23 21 = 2 × 30 = 60. 500
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点评:考查样本估计总体的思想. 点评 题型 5.线性回归分析 . (2007 高考广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产 高考广东) 例 9. . ( 能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据
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3 2.5
(1)请画出上表数据的散点图;
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6 4.5

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y = bx + a ;

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(3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤;试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100 吨 甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
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分析: 分析:本题中散点图好作,本题的关键是求 y 关于 x 的线性回归方程 y = bx + a ,它既可以由给出的回归系数公式

直接计算,也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小,用求二元函数最值的方 法解决. 解析: 解析
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(1)散点图如右 (2)方法一:设线性回归方程为 y = bx + a ,则 方法一: 方法一
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;

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f (a, b) = (3b + a 2.5)2 + (4b + a 3) 2 + (5b + a 4) 2 + (6b + a 4.5)2 = 4a 2 + 2a (18b 14) + (3b 2.5)2 + (4b 3)2 + (5a 4) 2 + (6b 4.5) 2
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∴a =

7 9b = 3.5 4.5b 时, f (a, b) 取得最小值 (1.5b 1) 2 + (0.5b 0.5) 2 + (0.5b 0.5) 2 + (1.5b 1)2 , 2
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5 ,∴ b = 0.7, a = 0.35 时 f ( a, b ) 取得最小值. 2 所以线性回归方程为 y = 0.7 x + 0.35 .

即 0.5[(3b 2)2 + (b 1) 2 ] = 5b2 7b +

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方法二: 方法二:由系数公式可知, x = 4.5, y = 3.5, b =

66.5 4 × 4.5 × 3.5 66.5 63 = = 0.7 5 86 4 × 4.52
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9 a = 3.5 0.7 × = 0.35 ,所以线性回归方程为 y = 0.7 x + 0.35 . 2

(3) x = 100 时, y = 0.7 x + 0.35 = 70.35 ,所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 19.65 吨标准 煤. 点评:本题考查回归分析的基本思想. 点评:本题考查回归分析的基本思想.求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程,这
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2




2

f ( a, b )
2




2





b





,



f ( a, b ) = 86b 2 + (36a 133)b + ( a 2.5 ) + ( a 3) + ( a 4 ) + ( a 4.5 ) ,而这个时候,当 b =

133 36a 时 172

f ( a, b ) 有最小值,结合上面解法中 a = 3.5 4.5b 时 f ( a, b ) 有最小值,组成方程组就可以解出 a , b 的值;方
法二前提是正确地使用回归系数的计算公式,一般考试中都会给出这个公式,但要注意各个量的计算;最后求出 的 19.65 是指的平均值或者是估计值,不是完全确定的值.对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数

r = 0.9899 ,相关指数 R 2 = 0.98 .这说明 x , y 具有很强的线性相关性,说明解释变量对预报变量的贡献率是
98% ,即耗煤量的 98% 是来自生产量,只有约 2% 来自其它因素,这与我们的直观感觉是十分符合的.本题容易 .
用错计算回归系数的公式,或是把回归系数和回归常数弄颠倒了. 例 10. 江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 17 题)为了分析某个高三学生的学习状态,对其 . (
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下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x ,物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试 的成绩.
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数 学 物 理 4 1 08 6 04
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8

3

17

2

08

00 01

12 06

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;

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(2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估计他的数学成绩 大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学,物理上的合理建议. 分析:成绩的稳定性用样本数据的方差判断,由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决. 分析
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12 17 + 17 8 + 8 + 12 = 100 ; 7 6 9 + 8 4 + 4 + 1 + 6 y = 100 + = 100 ; 7 994 250 2 2 , ∴ S数学 = =142 ,∴ S物理 = 7 7
解析: 解析 (1) x = 100 +
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从而 S数学 > S物理 ,所以物理成绩更稳定.
2 2

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(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到

497 = 0.5, a = 100 0.5 ×100 = 50 , b= 994
∴ 线性回归方程为 y = 0.5 x + 50 .当 y = 115 时, x = 130 .
建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高. 点评: 《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出"①会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变 点评: 量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程".2007 年广 东就以解答题的方式考查了这个问题,在复习备考时不可掉一轻心. 题型 6 古典概型与几何概型计算问题 . 例 11 (2008 高考江苏 2)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 ) 分析:枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后,根据古典概型的计算公式计算. 分析 解析:点数和为 4 ,即 (1,3) , ( 2, 2 ) , ( 3,1) ,基本事件的总数是 36 ,故这个概率是 解析

3 1 = .或是数形结合处理. 36 9

点评:古典概型的计算是一个基础性的考点,高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外,也以选 点评 择题,填空题的方式考查古典概型的计算. 例 12. 2009 年福建省理科数学高考样卷第 4 题)如图,边长为 2 的正方形内有一内切圆.在图形上随机投掷一 . ( 个点,则该点落到圆内的概率是 A.

π
4

B.

4

π

C.

4 π 4

D. π

分析:就是圆的面积和正方形面积的比值. 分析 解析: 解析:根据几何概型的计算公式,这个概率值是

π
4

,答案 A.

点评:高考对几何概型的考查一般有两个方面,一是以选择题,填空题的方式有针对性地考查,二是作为综合解 点评: 答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查. 例 13. 2008 高考山东文 18)现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄语, . ( )

C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语,俄语和韩语的志愿者各 1 名,组 成一个小组.

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(1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 分析:枚举的方法找出基本事件的总数,结合着随机事件,对立事件的概率,用古典概型的计算公式解决. 分析 解析: (1)从 8 人中选出日语,俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件空间 解析:

= { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示" A1 恰被选中"这一事件,则

M = { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , (A (A

( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A
事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P ( M ) =

6 1 = . 18 3

(2)用 N 表示" B1,C1 不全被选中"这一事件,则其对立事件 N 表示" B1,C1 全被选中"这一事件, 由于 N = { ( A1,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成, (A (A 所以 P ( N ) =

3 1 1 5 = ,由对立事件的概率公式得 P ( N ) = 1 P ( N ) = 1 = . 18 6 6 6

点评:本题考查古典概率,对立事件等概率的基础知识,考查分类讨论,"正难则反"等数学思想方法,考查分析 点评 问题解决问题的能力. 排列组合(理科) 题型 7 排列组合(理科) (浙江宁波市 例 14. 浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 9 题)由 0,1, 2, 3, 4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶 . ( 数,按从小到大的顺序排成一个数列 {an } ,则 a19 = A. 2014 B. 2034 C. 1432 分析:按照千位的数字寻找规律. 分析
1 2

D. 1430

解析:千位是 1 的四位偶数有 C3 A3 = 18 ,故第 19 和是千位数字为 2 的四位偶数中最小的一个,即 2014 ,答案 A. 解析: . (2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 17 题)有 3 张都标着字母 A , 6 张分别标着数字 例 15. . (

1, 2,3, 4, 5, 6 的卡片,若任取其中 6 张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数等于

. (用数

字作答) 分析:由于字母 A 是一样的,没有区别,故可以按照含有字母 A 的多少分类解决,如含有 2 个字母 A 时,只要在 分析 6 个位置上选两个位置安排字母 A 即可,再在其余位置上安排数字.
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解析: 解析:不含字母 A 的有 A6 = 720 ;含一个字母 A 的有 C6 A6 = 6 × 720 = 4320 ;含两个字母 A 时,C6 A6 = 5400 ;
6 1 5 2 4

含三个字母 A 时, C6 A6 = 2400 .故总数为 720 + 4320 + 5400 + 2400 = 12840 .
3 3

点评: 点评:解决排列,组合问题的一个基本原则就是先对问题分类,再对每一类中的问题合理地分步,根据排列组合 的有关计算公式和两个基本原理进行计算. 二项式定理( 题型 8 二项式定理(理科) 已知 ( ax + 1) n = an x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 ( n ∈ N ) , 例 15.浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 12 题) ( .
*

点列 Ai (i, ai )(i = 0,1, 2, , n) 部分图象 如图所示,则实数 a 的值为___________.

分析:根据点列的图可以知道 a0 , a1 , a2 的值,即可以通过列方程组解决. 分析 解 析 : 由 图

a1 = 3, a2 = 4

,

















a1 = Cnn 1a = na = 3

,

a2 = Cnn 2 a 2 =

n(n 1) 2 na ( na a ) 3 ( 3 a ) 1 a = = = 4 ,解得 a = . 2 2 2 3

点评:本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题,解决问题的基本出发点是方程的思想. 点评 例 16(安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 4 题) 安徽省皖南八校 若 (1 x ) = 1 + a1 x + a2 x + a3 x + + x ( n ∈ N ) ,且 a1 : a3 = 1: 7 ,则 a5 等于
n

2

3

n

+

A. 56 B. 56 分析:根据展开式的系数之比求出 n 值. 分析
2 3

C. 35

D. 35
5

解析: 解析 a2 = Cn , a3 = Cn ,由 a2 : a3 = 1: 7 ,得 n = 8 ,故 a5 = C8 = 56 ,答案 B. 点评:解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别,别把符号弄错了. 点评 离散型随机变量的分布,期望与方差(理科的重要考点) 题型 9 离散型随机变量的分布,期望与方差(理科的重要考点) (浙江宁波市 例 17. 浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 19 题)在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡 . ( 片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x , y ,记 ξ = x 2 + y x . ... (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件" ξ 取得最大值"的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 分析:根据对随机变量 ξ 的规定,结合 x, y 的取值确定随机变量可以取那些值,然后根据其取这些值的意义,分 分析
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别计算其概率. 解析: 解析 (1)∵ x , y 可能的取值为 1 , 2 , 3 ,∴ x 2 ≤ 1 , y x ≤ 2 ,

∴ ξ ≤ 3 ,且当 x = 1 , y = 3 或 x = 3 , y = 1 时, ξ = 3 .因此,随机变量 ξ 的最大值为 3
∵ 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 × 3 = 9 种,∴ P (ξ = 3) =
(2) ξ 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .

.

2 . 9

∵ ξ = 0 时,只有 x = 2 , y = 2 这一种情况,

ξ = 1 时,有 x = 1 , y = 1 或 x = 2 , y = 1 或 x = 2 , y = 3 或 x = 3 , y = 3 四种情况, ξ = 2 时,有 x = 1 , y = 2 或 x = 3 , y = 2 两种情况.
∴ P (ξ = 0) = 1 4 2 , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = . 9 9 9

则随机变量 ξ 的分布列为:

ξ
P

0
1 9

1

2

3

2 2 9 9 1 4 2 2 14 因此,数学期望 Eξ = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = . 9 9 9 9 9
点评:有放回的"取卡片,取球"之类的问题,其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决,这是一类重要的概 点评 率模型. 例 18. 江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试加试第 4 题)某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手 . ( 之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为

4 9

2 . 3

(1)求比赛三局甲获胜的概率; (2)求甲获胜的概率; (3)设甲比赛的次数为 X ,求 X 的数学期望. 分析:比赛三局甲即指甲连胜三局,可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算,也可以将问题归结为 分析 三次独立重复试验,将问题归结为独立重复试验概型;甲最后获胜,可以分为甲三局获胜,四局获胜,五局获胜 三个互斥事件的概率之和;甲比赛的次数也就是本次比赛的次数,注意当三局就结束时,可能是甲取胜也可能是 乙取胜等. 解析:记甲 n 局获胜的概率为 Pn , n = 3, 4,5 , 解析

2 8 ; 3 27 1 8 2 2 (2)比赛四局甲获胜的概率是: P4 = C3 ( )3 ( ) = ; 3 3 27 1 16 2 2 比赛五局甲获胜的概率是: P5 = C4 ( )3 ( ) 2 = ; 3 3 81 64 . 甲获胜的概率是: P3 + P4 + P5 = 81 (3)记乙 n 局获胜的概率为 Pn ' , n = 3, 4,5 .
3 (1)比赛三局甲获胜的概率是: P3 = C3 ( )3 =

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1 1 2 2 2 8 2 1 2 1 , P4 ' = C3 ( )3 ( ) = ; P5 ' = C4 ( )3 ( ) 2 = ; P '3 = C33 ( )3 = 3 27 3 3 27 3 3 81
故甲比赛次数的分布列为:

X P( X )

3

4

5

P3 + P3 '

P4 + P4 '

P5 + P5 '

所以甲比赛次数的数学期望是:

E( X ) = 3× (

1 8 8 2 16 8 107 . + ) + 4× ( + ) + 5× ( + ) = 27 27 27 27 81 81 27

点评: 点评:这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题,但这里又不是单纯的独立重复试验概型,是一个 局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合.这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型. 题型 11 正态分布 例 19.(2008 高考湖南理 4)设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2, 9) ,若 P (ξ > c + 1) = P (ξ < c 1) ,则 c= ( ( ) A. 1 B. 2 分析:根据正态密度曲线的对称性解决. 分析 C. 3 D. 4 )

解析: 解析:B 根据正态密度曲线的对称性,即直线 x = c + 1 与直线 x = c 1 关于直线 x = 2 对称,故 即c = 2. 点评: 点评:本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识.
2 2

c +1 + c 1 = 2, 2

例 20(2008 高考安徽理 10)设两个正态分布 N ( 1,σ 1 )(σ 1 > 0) 和 N ( 2,σ 2 )(σ 2 > 0) 的密度函数图像如图所 ( ) 示.则有 A. 1 < 2 , σ 1 < σ 2 C. 1 > 2 , σ 1 < σ 2 B. 1 < 2 , σ 1 > σ 2 D. 1 > 2 , σ 1 > σ 2

分析:根据正态密度曲线的性质解决. 分析
2 解析: 解析:A 根据正态分布 N ( , σ ) 函数的性质:正态分布曲线是一条关于 x = 对称,在 x = 处取得最大值的

连续钟形曲线; 越大,曲线的最高点越底且弯曲较平缓;反过来, σ 越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭, 选 A. 点评: 点评:考试大纲对正态分布的要求是"利用实际问题直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义",这 个考点多次出现在高考试卷中.

σ

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【专题训练与高考预测】 专题训练与高考预测】 文科部分
一,选择题 1.从某鱼池中捕得 120 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中捕得 100 条鱼,若其中有记 号的鱼为 10 条,试估计鱼池中共有鱼的条数为 ( ) B. 1200 C. 130 D. 1300 A. 1000 2.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y
则 y 与 x 的线性回归方程为 = a + bx 必过点 y A. ( 2, 2 ) B. (1.5, 0 )

0 1

1 3

2 5

3 7
( D. (1.5, 4 ) )

C. (1, 2 )

3.从 2007 名学生中选取 50 名学生参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2007 人中剔除 7 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率 ( ) A.不全相等 B.均不相等

50 C.都相等,且为 2007

1 D.都相等,且为 40

4.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为: O 型 50% , A 型 15% , B 型 30% , AB 型 5% .现有一血液为 A 型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为 ( ) B. 20% C. 45% D. 65% A. 15% 5.4 张奖券中只有 1 张能中奖,现分别由 4 名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同 学抽到中奖奖券的概率是 ( ) 1 1 1 A. B. C. D. 1 4 3 2

6 .有如下四个游 奖. 小明希望

戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中 中奖,他应选择的游戏盘是 ( )

二,填空题
7.归直线方程为 y = 0.5 x 0.81 ,则 x = 25 时, y 的估计值为 8.若由一个 2 * 2 列联表中的数据计算得 K = 4.013 ,那么有
2

. 把握认为两个变量有关系.

9.一工厂生产了某种产品 180 件,它们来自甲,乙,丙 3 条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方 法进行抽样,已知甲,乙,丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了 件产品.
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10.如图: M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点 N ,连接 MN ,则弦 MN 的长度超过 2R 的概率是 .

三,解答题 11.一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字 1, 2,3, 4, 5, 6 ,现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次,

记和桌面接触的面上的数字分别为 a, b ,曲线 C : (1)曲线 C 和圆 x 2 + y 2 = 1 有公共点的概率;

x y + = 1. a b

(2)曲线 C 所围成区域的面积不小于 50 的概率. 12.某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表: 年收入 x (万元) 年饮食支出 y (万元)

2 0.9

4 1.4

4 1.6

6 2.0

6 2.1

6 1.9

7 1.8

7 2.1

8 2.2

10 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出.

理科部分
一,选择题 1.在区间 [ 2, 2] 内任取两数 a , b ,使函数 f ( x ) = x + 2bx + a 有两相异零点的概率是
2 2

( A.

)

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

2.在一次实验中,测得 ( x, y ) 的四组值分别为 (1, 2 ) , ( 2,3) , ( 3, 4 ) , ( 4,5 ) ,则 y 与 x 的线性回归方程可能是 ( A. = x + 1 y B. = x + 2 y ) D. = x 1 y

C. = 2 x + 1 y

5.向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹,只要炸中其中任何一座,另外两座也要发生爆炸.已知炸中第一座 军火库的概率为 0.2 ,炸中第二座军火库的概率为 0.3 ,炸中第三座军火库的概率为 0.1 ,则军火库发生爆炸的概 率是 ( ) A. 0.006 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 6.从标有 1 2, , 的 7 个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记下它上面的数字,然后把两数 , 3, 7 相加得和,则取得的两球上的数字之和大于 11 或者能被 4 整除的概率是 A. ( )

16 49

B.

15 49

C.

2 7

D.

13 49

7.在长为 60m ,宽为 40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪,在一次大风后,发现该场地内共落有 300 片树叶,其中 落在椭圆外的树叶数为 96 片,以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 ( )
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A. 768m

2

B. 1632m

2

C. 1732m

2

D. 868m

2

8. 6 名同学报考 A, B, C 三所院校,如果每一所院校至少有 1 人报考,则不同的报考方法共有 ( ) A. 216 种 B. 540 种 C. 729 种 D. 3240 种 二,填空题 9. 某校有高一学生 400 人,高二学生 302 人,高三学生 250 人,现在按年级分层抽样,从所有学生中抽取一个容量 为 190 人的样本,应该高 学生中,剔除 人,高一,高二,高三抽取的人数依次是 . 10. (

x 1 + + 2 ) 5 的展开式中整理后的常数项为 2 x

_____ . 项.

11. 若 x = 2 ,则 (1 + x)50 展开式中最大的项是 三,解答题

13.甲,乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在 7,8, 9,10 环,且每次射击成绩互不影响.射击环数

的频率分布条形图如下:

若将频率视为概率,回答下列问题. (1)求甲运动员在 3 次射击中至少有 1 次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (2)若甲,乙两运动员各自射击 1 次, ξ 表示这 2 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数,求 ξ 的分布列及 Eξ .
15.袋中有 8 个白球, 2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数 X 的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数 Y 的分布列. 16.某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:

年收入 x (万元) 年饮食支出 y (万元)

2 0.9

4 1.4

4 1.6

6 2.0

6 2.1

6 1.9

7 1.8

7 2.1

8 2.2

10 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出.

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【参考答案】 文科部分
1.解析:B 根据用样本估计总体的思想,池中有记号的鱼的频率是 4.解析:D 过样本中心点.选 D.

1 ,故鱼池中鱼的条数是 1200 条. 10

7.解析:C 任何个体被抽到的概率都相等,且是

50 . 2007

8.解析:D 只有 O 型和 A 型,根据互斥事件的概率加法得结论为 65% . 9.解析:B 相当于在 3 张奖券中 1 张有奖, 3 人抽取,最后一人抽到中奖奖券的概率是

1 . 3 3 1 4 π 10. 解析: 选择游戏盘的原则是中奖的概率大, 中中奖的概率是 , 中中奖的概率是 , 中中奖的概率是 A A B C , 8 3 4 1
B 中中奖的概率是

11.解析: 11.69 12.解析: 95% 13.解析: 60 .三条生产线的产品也组成等差数列.

π 0.5 × 25 0.81 = 11.69

,比较大小即知.

1 14.解析: 2

0 N ,N 连接圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使 ∠MON = 90 ,这样的点有两个,分别记为 1 2 ,仅当 N 在不

180 0 1 = 0 2. 属于 M 的半圆弧上取值时满足 MN > 2 R ,此时 ∠N 1ON 2 = 180 ,故所求的概率为 360
0

15.解析:基本事件的总数是 36 . (1) a , b 应满足

1 1 1 + a2 b2

≤ 1 ,即

1 1 + 2 ≥ 1 ,逐个检验, 2 a b

(1,1) , (1, 2 ) , (1,3) , (1, 4 ) , (1,5) , (1,6 ) , ( 2,1) , ( 2,1) , ( 3,1) , ( 4,1) , ( 5,1) , ( 6,1) ,随机事件:曲线 C 和圆 x 2 + y 2 = 1 有
公共点的概率包含着 11 个基本事件,故所求的概率是

11 ; 36

(2)曲线 C 所围成的区域的面积是 2ab ,即求 ab ≥ 25 的概率,基本事件只能是 ( 5,5) , ( 5, 6 ) , ( 6,5) , ( 6, 6 ) , 故所求的概率是

4 1 = . 36 9

16.解析: (1)由题意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图(如图所示) .

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从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系.
∵ x = 6 , y = 1.83 , ∑ xi2 = 406 , ∑ yi2 = 35.13 , ∑ xi yi = 117.7 ,
i =1 i =1 i =1 10 10 10

∴ b ≈ 0.172 , a = y bx = 1.83 0.172 × 6 = 0.798 .

从而得到回归直线方程为 = 0.172 x + 0.798 . y (2) = 0.172 × 9 + 0.798 = 2.346 万元. y

理科部分
2 2 1.解析:D 根据题意 a , b 应满足 b > a ,即 b > a ,以 ( a, b ) 为点,在 aob 平面上,结合图形可知这个概率为

1 . 2

2.解析:A 线性回归直线一定过样本中心点 ( 2.5,3.5) ,故选 A. 3. 解析: 设 A,B,C 分别表示炸中第一, D 第二, 第三座军火库这三个事件. P( A) = 0.2 ,P ( B) = 0.3 ,P (C ) = 0.1 . 则 设 D 表示"军火库爆炸",则 D = A ∪ B ∪ C .又∵ A,B,C 彼此互斥, ∴ P ( D ) = P( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6 . 4.解析:A 基本事件总数为 7 × 7 = 49 个,而满足条件的基本事件个数为 16 个: (1 3) (2 2) (3 1) (1 7),,,,,, , ,,,,,,, ,,,,,,,,,, . ,,,,,,, (2 6) (3 5) (4 4) (5 3) (6 2) (7 1) (5 7) (6 6) (7 5) (6 7) (7 6) (7 7) 故所求事件的概率为
16 . 49

5.解析:B

根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面
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积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比.

60 × 40 ×

300 96 = 1632( m 2 ) . 300

6.解析:B 先将 6 名同学分成 (1,1, 4 ) ; (1, 2,3) ; ( 2, 2, 2 ) 三组,再分配到三所院校.其中 (1,1, 4 ) , ( 2, 2, 2 ) 涉及到均匀
4 1 1 3 2 分组,注意考虑分组的特殊性. C 6 C 2 C1 + C 6 C 3 +

1 2

1 2 2 2 3 C 6 C 4 C 2 A3 = 540 ,选 B. 3! 952 400 302 2 = 5 ……余 2 , = 80 , = 60 , 190 5 5

7. 解析: 2, 60, 二 80, 50 总体人数为 400 + 302 + 250 = 952(人) ∵ ,

250 = 50 ,∴从高二年级中剔除 2 人,所以从高一,高二,高三年级中分别抽取 80 人, 60 人, 50 人. 5
8.解析:

63 2 2
r 10

1 10 x 1 x ( + + 2)5 = ( + ) ,其展开式的第 r + 1 项为 2 x 2 x
r 10 2

Tr +1

x 1 r = C ( )10 r ( ) r = C10 2 2 x
5 10 5 2

x

10 r r 2 2

,令

10 r r = 0 ,则 r = 5 ,即展开式中的常数项是第 6 项,该项 2 2

的值为 C 2 9.解析: 30

=

63 2 63 2 ,所以应填入 . 2 2

设第 r + 1 项为 Tr +1 且最大,

r r 1 r 1 r Tr +1 ≥ Tr C50 ( 2) ≥ C50 ( 2) r = 29 . 则有 r R r +1 r +1 Tr +1 ≥ Tr + 2 C50 ( 2) ≥ C50 ( 2)

∴ (1 + x)50 展开式中第 30 项最大.
10. 解析一:

(1)甲运动员击中 10 环的概率是: 1 0.1 0.1 0.45 = 0.35 设事件 A 表示"甲运动员射击一次,恰好命中 9 环以上(含 9 环,下同)",则 P ( A) = 0.35 + 0.45 = 0.8 . 事件"甲运动员在 3 次射击中,至少 1 次击中 9 环以上"包含三种情况:
1 恰有 1 次击中 9 环以上,概率为 P = C3 ( 0.8 ) (1 0.8 ) = 0.096 ; 1 1 2 2 恰有 2 次击中 9 环以上,概率为 P2 = C3 ( 0.8 ) (1 0.2 ) = 0.384 ; 2 1 3 恰有 3 次击中 9 环以上,概率为 P3 = C3 ( 0.8 ) (1 0.8 ) = 0.512 . 3 0

因为上述三个事件互斥,所以甲运动员射击 3 次,至少 1 次击中 9 环以上的概率 P = P + P2 + P = 0.992 . 1 3 (2)记"乙运动员射击 1 次,击中 9 环以上"为事件 B ,则 P ( B ) = 1 0.1 0.15 = 0.75 . 因为 ξ 表示 2 次射击击中 9 环以上的次数,所以 ξ 的可能取值是 0,1, 2 .

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因为 P (ξ = 2 ) = 0.8 × 0.75 = 0.6 ;

P (ξ = 1) = 0.8 × (1 0.75 ) + (1 0.8 ) × 0.75 = 0.35 ; P (ξ = 0 ) = (1 0.8) × (1 0.75 ) = 0.05 .
所以 ξ 的分布列是

ξ
P

0 0.05

1

2

0.35

0.6

所以 Eξ = 0 × 0.05 + 1× 0.35 + 2 × 0.6 = 1.55 . 解析二: (1)设事件 A 表示"甲运动员射击一次,恰好命中 9 环以上"(含 9 环,下同),则 P ( A) = 0.35 + 0.45 = 0.8 . 甲运动员射击 3 次,均未击中 9 环以上的概率为

P0 = C30 0.80 × (1 0.8 ) = 0.008 .
3

所以甲运动员射击 3 次,至少 1 次击中 9 环以上的概率 P = 1 P0 = 0.992 . (2)同解析一. 11.解析: (1)有放回抽样时,取到的黑球数 X 可能的取值为 0,1, 2,3 .又由于每次取到黑球的概率均为
1 可以看成 3 次独立重复试验,则 X ~ B 3, . 5

1 , 3 次取球 5

64 1 4 ∴ P( X = 0) = C30 × = ; 5 5 125 48 12 1 1 4 1 4 1 4 P ( X = 1) = C × = ; P ( X = 2) = C32 × = ; P ( X = 3) = C33 × = . 5 5 125 5 5 125 5 5 125
1 3 1 2 2 1 3 0

0

3

因此, X 的分布列为 X P

0
64 125

1
48 125

2
12 125

3
1 125

(2)不放回抽样时,取到的黑球数 Y 可能的取值为 0,1, 2 ,且有: P (Y = 0) =
0 C2 C83 7 C 1C 2 7 C 2 C1 1 = ; P (Y = 1) = 2 3 8 = ; P (Y = 2) = 2 3 8 = . 3 C10 15 C10 15 C10 15

因此, Y 的分布列为 Y P

0
7 15

1
7 15

2
1 15

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12.解析: (1)由题意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图(如图所示) .

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食 关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关
∵ x = 6 , y = 1.83 ,

支出有比较好的线性相 系.

∑x
i =1

10

2 i

= 406 ,

∑y
i =1

10

2 i

= 35.13 ,

∑x y
i =1 i

10

i

= 117.7 ,

∴ b ≈ 0.172 , a = y bx = 1.83 0.172 × 6 = 0.798 .

从而得到回归直线方程为 = 0.172 x + 0.798 . y (2) = 0.172 × 9 + 0.798 = 2.346 万元. y

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专题概率统计专题【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容,它是一种处理或然问题的方法,在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面...
高中高考数学专题之_概率统计专题[1]
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2014年概率统计高考题汇总
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2015、2016高考试题概率统计专题
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高中高考数学专题之 概率统计专题
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2015高考专题: 概率和统计(及答案)
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2015年高考数学概率与统计试题汇编
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2016年高考数学理试题汇编:统计与概率
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2017高考试题分类汇编-概率统计
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