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高中数学 2-2分段函数及映射课件 新人教A版必修1


第2课时 分段函数及映射

【课标要求】1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并

能简单应用.
2.了解映射的概念. 【核心扫描】 1.分段函数的图象及求值.(重点) 2.对映射概念的理解.(难点)

3.通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.

新知导学 1.分段函数

r />如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,
有着不同的 对应关系 ,则称这样的函数为分段函数. 温馨提示:分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其 值域是各段上“值域”的并集.

2.映射

设A、B是两个 非空

的集合,如果按某一个确定的对应

关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都 有 唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应 f:A→B 为 从集合A到集合B的一个映射.

互动探究

探究点1 “分段函数是几个函数”这句话正确吗?
提示 不正确,分段函数是一个函数,而非几个函数,只不

过在定义域的不同子集上其解析式不同而已. 探究点2 映射一定是函数吗? 提示 映射是函数的推广,而函数是映射的特殊情况,函数

是非空数集A到非空数集B的映射,对映射而言,A,B不一
定是非空数集,所以映射不一定是函数,函数一定是映射.

类型一

分段函数的求值

?x2+1,x≤1, ? 【例 1】 (1)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=( ?x,x>1, ?

).

1 A. 5

B.3

2 C. 3

13 D. 9

(2)(2013· 成都高一检测)已知函数 =10,则 x=________. [思路探索]

?x2+1?x≥0?, ? f(x)=? ?-2x?x<0?, ?

若 f(x)

判断自变量 分段函数 确定适宜 ――――→ ―――― 满足的范围 的函数式

字母变量 ― ― ― ― →分类讨论 → 求值 ――――

解析

2 (1)当 x=3>1 时,f(3)= <1, 3

?2? ?2? 13 2 ∴f(f(3))=f?3?=?3? +1= . 9 ? ? ? ?

(2)当 x≥0 时,f(x)=x2+1=10,∴x=3(舍去-3); 当 x<0 时,f(x)=-2x=10,∴x=-5. 综上知,x 的值为-5 或 3. 答案 (1)D (2)-5 或 3

[规律方法]

1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所

在的范围,代入相应的解析式求得.若题目含有多层“f”,
应按“由里到外”的顺序层层处理. 2.如果所给变量范围不明确,计算时要采用分类讨论的思 想.

【活学活用 1】(1)已知函数 ________;

?x-2,|x|≤1, ? f(x)=? ?1+x2,|x|>1, ?



? ?1?? f?f?2??= ? ? ??

?x+1,x≥0, ? (2)已知函数 f(x)=? 1 若 f(x)=2, x=________. 则 ?|x|,x<0, ?

解析

?1? ?1? 1 3 (1)由于?2?≤1,所以 f?2?= -2=- , 2 ? ? ? ? 2

? ?1?? ? 3? ? 3? 13 2 ∴f?f?2??=f?-2?=1+?-2? = . 4 ? ? ?? ? ? ? ?

(2)若 x≥0,由 x+1=2,得 x=1; 1 1 1 1 若 x<0,由 =2,得 x=± ,舍去 x= ,∴x=- . |x| 2 2 2 1 综上可知,x=1 或 x=- . 2 答案 13 (1) 4 1 (2)1 或- 2

类型二

分段函数的图象与解析式

|x| 【例 2】 (1)(2013· 汕头高一检测)作 f(x)=x+ x 的图象. (2)如图,根据函数 y=f(x)的图象,写出它的解析式. [思路探索] (1)去绝对值号,化简 f(x)的解析式并写出分段函

数,再逐段画出图象. (2)根据图象列出每一段的解析式, 合在一起形成 f(x)的解析式.



?x+1?x>0?, ? (1)f(x)=? ?x-1?x<0?, ?

图象如图.

(2)当 0≤x≤1 时,f(x)=2x; 当 1<x<2 时,f(x)=2; 当 x≥2 时,f(x)=3. ?2x,0≤x≤1, ? 故 f(x)=?2,1<x<2, ?3,x≥2. ?

[规律方法]

1.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先

应根据绝对值的定义脱去绝对值符号,将函数转化为分段函

数,然后分段作出函数的图象.

2.由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同,因此

画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题.
3.根据分段函数的图象求解析式时,首先求出每一段的解 析式,然后写成分段函数的形式.

【活学活用 2】 已知 (1)画出 f(x)的图象;

?x2,-1≤x≤1, ? f(x)=? ?1,x>1或x<-1. ?

(2)求 f(x)的定义域和值域. 解 (1)利用描点法,作出 f(x)的图象,如图所示.

(2)由条件知,函数 f(x)的定义域为 R. 由图象知,当-1≤x≤1 时,f(x)=x2 的值域为[0,1], 当 x>1 或 x<-1 时,f(x)=1, 所以 f(x)的值域为[0,1].

类型三

映射的概念

【例 3】 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射: (1)A=N*,B=N*,对应关系 f:x→|x-3|; (2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系 f:“作 圆的内接矩形”; (3)A={高一(1)班的男生},B=R,对应关系 f:每个男生对应 自己的身高; (4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6}, 1 对应关系 f:x→y= x. 2

[思路探索]

根据映射的定义,只要检验对A中的任何元素,按

对应关系f,是否在B中都有唯一的元素与之对应.
解 (1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0,而

0?B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集 合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.

(3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一的元素
与之对应,符合映射定义,是映射. (4)是映射,因为A中每一个元素在f:x→y=x作用下对应的元素 构成的集合C={y|0≤y≤1}?B,符合映射定义.

[规律方法]

判断对应f:A→B是否是A到B的映射,必须做

到几点:(1)明确集合A,B中的元素.(2)根据映射定义判断
A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素,可以 “一对一”,也可以“多对一”,但“一对多”不是映射.

【活学活用 3】 判断下列对应关系哪些是从集合 A 到集合 B 的映射,哪些不是,为什么? (1)A=R,B={0,1},对应关系
?1?x≥0?, ? f:x→y=? ?0?x<0?, ?

1 (2)A=Z,B=Q,对应关系 f:x→y=x; (3)设 A={矩形},B={实数},对应关系 f:矩形和它的面积对 应.



(1)对于集合A中任意一个非负数在集合B中都有唯一元

素1与之对应,对于A中任意一个负数在集合B中都有唯一元 素0与之对应,所以这个对应是映射. (2)集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应,故不是映 射. (3)对于每一个矩形,它的面积是唯一确定的,所以f是从集 合A到集合B的映射.

易错辨析

忽略分段函数各区间上的范围致误
?x2-1 ? f(x)=? ?2x+1 ?

【示例】 已知函数 的值.

?x≥0?, 若 f(x)=3,求 x ?x<0?,

[错解] 由 x2-1=3,得 x=± 2; 由 2x+1=3,得 x=1, 故 x 的值为 2,-2 或 1. [错因分析] 要紧扣“分段”的特征,即函数在定义域的不同 部分,有不同的对应关系,求值时不能忽视 x 的取值范围.

[正解]

当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去);当

x<0时,由2x+1=3,得x=1(舍去),故x=2.
[防范措施] (1)分段函数是一个函数而不是几个函数,处

理分段函数体现了数学的分类讨论思想,“分段求解”是解 决分段函数问题的基本原则. (2)“对号入座”,根据自变量取值的范围,准确确定相应的

对应关系,转化为一般函数在指定区间上的问题.不能准确
理解分段函数的概念是导致出错的主要原因.

课堂达标
1.下列对应不是映射的是 ( ).

解析

结合映射的定义可知A、B、C均满足M中任意一个数

x,在N中有唯一确定的y与之对应,而D中元素1在N中有a,
b两个元素与之对应,故不是映射. 答案 D

2.函数y=|x|的图象是

(

).

解析 答案

?x x≥0, ? ∵y=|x|=? ?-x x<0, ?

∴B 选项正确.

B

3.函数 解析

?x2+1?x≥0?, ? f(x)=? ?2-x?-2≤x<0? ?

的值域是________.

当 x≥0 时,f(x)≥1,

当-2≤x<0 时,2<f(x)≤4, ∴f(x)≥1 或 2<f(x)≤4,即 f(x)的值域为[1,+∞). 答案 [1,+∞)

4.已知从集合 A 到集合 B 的映射是 f1:x→2x-1,从 B 到 C 1 的映射是 f2:y→ ,则从 A→C 的映射为________. 2y+1 解析 1 1 依题设 = , 2?2x-1?+1 4x-1

1 ∴A→C 的映射为 x→ . 4x-1 答案 1 x→ 4x-1

5.已知函数

?x2-4,0≤x≤2, ? f(x)=? ?2x,x>2. ?

(1)求 f(2),f[f(2)]的值; (2)若 f(x0)=8,求 x0 的值.



(1)∵0≤x≤2 时,f(x)=x2-4,

∴f(2)=22-4=0, f[f(2)]=f(0)=02-4=-4. (2)当 0≤x0≤2 时,
2 由 x0-4=8,

得 x0=± 3(舍去); 2 当 x0>2 时,由 2x0=8,得 x0=4. ∴x0=4.

课堂小结

1.对映射的定义,应注意以下几点:
(1)集合A和B必须是非空集合,它们可以是数集、点集, 也可以是其他集合. (2)映射是一种特殊的对应,对应关系可以用图示或文字 描述的方法来表达.

2.理解分段函数应注意的问题:

(1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的
并集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区 间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段, 就用哪一段的解析式.

(3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其
是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,

从而得到整个函数的图象.


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