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历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类


前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。 ) 2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题 5 分,共 20 分) y ( x ? y ) ln(1 ? ) x dxdy ? ____________,其中区域 D 由直线 x ? y ? 1 与两 1.计算 ?? D 1? x ? y 坐标轴所围成三角形区域. 解:令 x ? y ? u, x ? v ,则 x ? v, y ? u ? v , dxdy ? det? ?1 ? ?0 1? ? dudv ? dudv , ? 1? ? y ( x ? y ) ln(1 ? ) u ln u ? u ln v ?? D 1 ? x ? y x dxdy ? ?? D 1 ? u dudv u u ln u u u d v ? ln vdv)du 0 1 ? u ?0 1 ? u ?0 2 1 u ln u u (u ln u ? u ) ?? ? du 0 1? u 1? u ? ?( 1 ?? 令 t ? 1 ? u ,则 u ? 1 ? t 2 1 0 u2 du (*) 1? u du ? ?2tdt , u 2 ? 1 ? 2t 2 ? t 4 , u(1 ? u) ? t 2 (1 ? t )(1 ? t ) , (*) ? ?2? (1 ? 2 t2 ? t4) dt 1 0 ? 2? 1 0 16 ? 2 3 1 5? (1 ? 2t ? t )dt ? 2 ?t ? t ? t ? ? 5 ? 0 15 ? 3 2 4 1 2.设 f ( x ) 是连续函数,且满足 f ( x) ? 3x 2 ? 解:令 A ? ? 2 0 f ( x)dx ? 2 , 则 f ( x) ? ____________. ? 2 0 f ( x)dx ,则 f ( x) ? 3x 2 ? A ? 2 , A ? ? 2 0 (3x 2 ? A ? 2) dx ? 8 ? 2 (A ? 2) ? 4 ? 2A , 4 10 2 。因此 f ( x) ? 3x ? 。 3 3 解得 A ? 3.曲面 z ? x2 ? y 2 ? 2 平行平面 2 x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是__________. 2 x2 ? y2 ? 2 在 解 : 因 平 面 2 x ? 2 y ? z ? 0 的 法 向 量 为 (2,2,?1) , 而 曲 面 z ? 2 ( x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 ( z x ( x0 , y0 ), z y ( x0 , y0 ),?1) , 故 ( z x ( x0 , y0 ), z y ( x0 , y0 ),?1) 与 (2,2,?1) 平 行 , 因 此 , 由 z x ? x , z y ? 2 y 知 2 ? z x ( x0 , y0 ) ? x0 ,2 ? z y ( x0 , y0 ) ? 2 y0 , 即 x0 ? 2, y0 ? 1 , 又 z( x0 , y0 ) ? z(2,1) ? 5 , 于 是 曲 面 2 x ? 2 y ? z ? 0 在 ( x0 , y0 , z( x0 , y0 )) 处的切平面方程是 2( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 5) ? 0 ,即曲面 x2 ?

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