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115.构造相关数列、巧解数列问题(张建华)


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数学大l再 ? I 生 裔‘版  ,
2口口5 囊 l   2筵辔 落 、  

构 相关  , 造 数哆  
天 津 市第一 百 中学 
我们可以在化归思想的指导下 , 灵活的 

鹳 c   数歹 3  题
张建 华 

/>当  = 1时,。 2 a = 也适合上式 

对递推式进行变形, 通过构造相关数列 , 将复 
杂问题简单化, 将陌生的问题熟悉化.  

所以, 一 4 一2 口 n  
【 2  在正项数列{  中,。 1且  例 1 a) a : ,

【 1 若厂z 一 ( + / z 0, 例 1   ()    ̄ )( ≥ )    
数列{一(n 0 的前 n 口 }口 > ) 项和s 对所有大于  ?

一   2口 +口+… +口 ) 1一口 一 (。   (  ≥ 2 , ) 求 
一 。

a”  

数列{ 口)   的通项公 式.  

1 的正整数 都有 

厂  -,- , ’ ( ) 一2求    口




设 s 是数列{  的前  项和.   口)  
,  一 s 口  一 s   一。

解: 由题意: 2时’  ≥  

≥ 2时

S 一(    

+ ̄ ) /   

所以,    _1

一(  ̄




s )一 2 一- 一- s  

所以, ≥ 2时, 当   
一  

+ 

所以 S 一S 一 1又 S :  。 ,  = a ;一 1   所以,S ) { : 是首项为 1公差为 1的等差  ,

即、 一    

一 ̄ /  
数列 .  

又因为  

一 ̄ 一 /    

所以,: 1  一 1 1一 S 一 +( )?  
即S    =

所以数列{, 是首项为 ̄ , 、 /  ) / 公差为 ̄   /  
的等差数列.  

≥ 2 , 一S 一s 。 /一 、 二 『 时 a     一 一 ̄   / _  /  
所以,   一 +( 1    一 ) 一    


1 ,。 1 时 n 一 上式仍成立 

即S  一 2  n

所以,   一 a  一  

当 ≥2     时,
【 3  在数 列 {  例 】 a )中 ,。一 3  a ,
a  一 S  一 S 一1= 2  一 2  一 1  n ( )
一 4 ”一 2  

n 一  。  

a 十   

, 求数列{  的通项公式 a  n) n

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教学大世界 ? 高审版 
21a 5  3     爨萋 l   2期   、

解: 由题意得 : 一  1  
“, r1 r   厶 “ 

V  

即  
ar- t1 4 

一   一  
an  

北 

京 
同  

又 一  去÷
I 是首项为  公差为  的等差数  ll 1


4  = -
出 

学  
岳 

a 

J  

列.  

所以,     1一 1+ ( 1  一 )1
口n  

2 一

塑 
O  

荫   巍 

所以 n    一

◆ 
平行 , 是空 间直线 、 平面间一种重要的 

【 4  数列{  前  项和记作 S , 例 】 a)  若 
对于任意的  ∈ N , 都有 S  一 2     a 一3 .

求数列{  的通项公式. a)   解 : = 1S 一 2 1 , 令  ,l a —3 



位置关系. 直线与平面平行、 平面与平面平行  的判定 , 最终都归结到直线与直线平行 的存  在. 即使在一些垂直关系的判定中, 也常常要  通过证明直线与直线平行去过渡. 因为数学 
①  ② 

. 1— 3 a  

又 S 1 2 井 — 3 + 1  井 — 口1 ( ) S  一 2    a 一3 由 ① 一② 口 — 2  3  1 a +  

试验教材第二册( A94中例 1 也是证明  下) . , 直线垂直平面的一条重要依据.   我们一般地应通过什么途径去寻求直线  间的平行关系呢?  

⑧⑥⑥④⑥ 

所 以, 1 3— 2 口 + 3  口 + (  )

所 以,a+3 是首项为a -3 , {   )  4 —6公比  -
为 2的等比数列. 所以,  
a  + 3一 ( l 3 口 + )?2 一 6?     2

1 利用 中点.已知条件 中有线段 中点  .
时, 应当设法再找相关线段的中点.   【 1  如 图 1  在 直 三 棱 柱  例 】 , A C      中。 B —A B C 底面是等腰直角三角形,   A B 一 9。侧棱 A  一 2D, C 0. A , E分别是 

即a  一 62 一3 .   

上述例子 中的数列 {  a)虽然均不是我  们所熟知的等差数列或等 比数列. 但我们所 

C  C 与A B的中点 ,   点D在平面AB D上的射 
影是 △A D 的重 心. B  

构造的数列{ E- {:、ll{  3 是  V .、s)I }   口+ )


( 求 A B与平面AB I)   D所成角的大小 
( 结果用反三角函数值表示) ;   (I 求点 A 1)  到平面 A D的距离. B  

“ n  

等差或等 比数列 , 从而使问题得到合理解决.  


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