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2017年全国高中数学联赛模拟试题


数学竞赛培训课程---高中联赛模拟试卷

2017 暑期培训课程-联赛模拟试卷
________班_______号 姓名________________

第一试
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分
1.不等式 答案: 解:设 , ,则原不等式化为 , 的解集是.

即 2.设 为方程

.结合 的一个虚根,则



,于是

. .

答案: 解:由题意知 又 所以 而 . 3.设 , 且 ,则 的最小值为. 为方程 的一个虚根,故 , ,即 . ,

答案: 解:令 ,由 ,即 从而 , , 知 ,则方程 ,解得 ( 可化为 舍去) .

所以 4.在 答案: 解:设选取的三个数为 .对于给定的
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,当且仅当



时取等号.

中随机选取三个数,从小到大排列后能构成等差数列的概率是.

,由 , 可取

知 ,

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种选择. ,三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为 .

因此,对所有满足条件的

所以,三数从小到排列后能成等差数列的概率为 5.已知某四面体的四个面都是边长为 , 点的八面体的体积是. 答案: 解:如图,矩形 , 容易验证四面体 , , 满足条件,此时,四面体 . 中, ,

. 的三角形,则以该四面体六条棱的中点为顶

六条棱的中点为顶点的八面体是 又

易得,所以 6.锐角 、 是. 答案: 、 满足

. ,则 的值

解:由已知得 整理得 即 又 从而 即 7.已知椭圆 . 的左右焦点分别为 与 ,点 在直线 、 、 为锐角,所以 , ,又 , , ,所以 ,





上.

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当 答案:

取最大值时,



的比值

等于.

解:由平面几何知,要使 直线 交 轴于

最大,则过 ,则





三点的圆必定与直线 相切于点 ,



,即

从而 而 ,

……①又由圆幂定理, , ,从而有

……②, , .

代入①、②得, 8.若形如 答案: 解:注意到, 设 由于 , 且 , . .则 ,则若 、 , 、 中有一个被 的五位数满足: 的个数是. 、 、

. 均能被 37 整除,则满足条件的五位数

, 整除,则其余两个也被

. 整除.

的个数(即相应的 的个数)为 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分) 证明: 为直角三角形的充分必要条件是 证明: (必要性) 不妨设 (充分性) 证法一:若 , .则 . .

因此,所有满足题意的

,则正弦定理得



故 因此 同理

,即 , , .

. .

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、 ,

均为正,则 .

……①,

由①得

. 因此, 又由 证法二: 、 、 .矛盾. 均非负,知 、 、 中有一个为 .

. 由 、 、 其所对应的角为直角. 10. (本题满分 20 分) 求所有的函数 均非负,知 、 、 中有一个为 ,

,对于所有整数 ,

满足 ,……①

且 解:将 先考虑 将 所以,

. 代入式①得 的情形. 代入式①得 , , ,即 . . . .由此得 或 .

另一方面,将 代入式①得 此时,对于推出的情形不成立. 因此, 再考虑 用 代替 不可能. 的情形. 代入式①得 有

对所有的成立. .

取 ,得 .故对任一整数 所以,此函数为偶函数. 如前所述,将 代入式①得


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若 为正整数,则由数学归纳法可证明,对所有的正整数 ,有 (唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值) .

是唯一的解

因为函数为偶函数,所以,对于任意的整数 ,有 数. 11. (本题满分 20 分) 在抛物线 交于点 的图像上内接一个梯形 ,设点 到底边 、 . . ,其中, 的中点的线段长分别为 ,

,且是满足式①的唯一函

.对角线



、 .求梯形

的面积.

解:如右图,由题意知 设 ,

则 从而, 由 、 分另为边 , 而 为梯形 ,且 令 过点 所以, 则 表示 作 (或

, , 、 的中点得 . 对角线的交点,易知 轴. 、 ,

. .



三点共线(如可用塞瓦定理证明) ,即

)与 轴正向的夹角.于是, .则 , . , .







.则 .





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. 则 , .





加试
一、 (本题满分 40 分) 设
解:由 所以

均为正实数,求
知 ,同理

的最小值.
, ,





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(柯西不等式)

所以

的最小值为

,当且仅当

时取等号.

二、 (本题满分 40 分) 已知 的内心为 ,三个内角的角平分线分别为 、 、 ,线段 中垂线分别与 、 交于点 、 .证明: 、 、 、 四点共圆.



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证明:要证 如图,设线段

、 、



四点共圆,只需证:



的中点为

,则

下面只需再证 设 的外接圆与线段 上) .
于是 这表明,点 因而,点 故 从而, 、 、 、 与 .从而, 位于的

中垂线的交点为
. 角平分线上。 、 、 、



位于不包含点

的弧

重合.所以, .

四点位于同一圆周上.

四点共圆.

三、 (本题满分 50 分)组合
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在 座城市之间有两种方式的飞行航线被执行:任意一座城市至少和七座城市有 直航;任意两座城市可以通过有限次直航来连接 .求最小的整数 ,使得无论如何安排满足
条件的航线,任意一座城市到任意其他城市最多可以经过 次直航到达. 解: 首先证明: 若 接路线为 . . 、 间至少经过次 到达.设城市 到 的一个最短连

,不妨设有两座城市 .

因为每一座城市至少和七座城市有直航连接,所以城市 市有直航连接, 设 有直航连接,且不属于城市 , 又 故 所以, 其次证明: 对 ;当 .对 、 集合与 ,取 . . 座城市 时, ,城市 ,且对 、 、 、 与城市集合 , ,否则,城市 、 与除



与除

以外至少六座城

以外至少五座城市有直航连接. 、 、 、 、 、 、 、 、 、

,分别与城市

的所有城市组成的集合为 .

.易知,

之间有更短连接路线. ,矛盾.

.当 ,

时,

, 与集合 与集合

中不包括城市

中的所有城市有直航连接;城市 中所有城市有直航连接;集合 中其余城市有直航

中所有城市有直航连接;城市

中任意一座城市除与上述的城市 连接;城市 与 有直航连接 .

有直航连接,与且仅与集合

这样,城市 直航连接,且城市

至少与七座城市有直航连接,集合 至少经过 次直航来连接.因此,

中任意一座城市均只与七座城市有 .

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四、 (本题满分 50 分)
求所有的实数 ,使得 、 解:首先证明: 为正整数. 由已知,设 则 , , .显然, 均为完全平方数. . 不是解.





设 必有 又 当 当 时, 时, ……① .所以, ,则 , .

.则



,且 为正整数. .满足条件.

. 再验证 即 事实上, . . ,

故 因此,只有当 为奇数时,才可能有解 代入①式有

,即 . ,



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即 两边同乘以 并模 这与 故当 综上,只有 得 矛盾. 时,无解. 满足题意.

. ,即 .

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