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河南省许昌平顶山新乡2015年高三第一次调研考试——数学文


许昌、平顶山、新乡 2015 年高三第一次调研考试

文 科 数 学
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(必考题和选考题两部分) .考生作答时。将答案答在答题卡上, 在本试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={ x | x -x-2 <0, x ∈R},B={ x | x -1≥0, x ∈R},则 A∩B 等于 A.{x|-1<x<2} C.{x|1<x<2} 2.若 B.{x|x≤-1,或 1≤x<2} D.{x|1≤x<2}
2
2

a+2i =b+i(a,b∈R) ,其中 i 为虚数单位,则 a+b= i
B.1 C.2 D .3

A.-1

? 2 ?- , x<0, 3.f(x)= ? x 则 f (f(-1) )等于 ? ?3+log2 x? x>0
A.-2 B. 2 C.-4 D.4 4.如图为某三棱锥的侧视图和俯视图,则该 三棱锥的体积为 A.4 3 C.12 3 B.8 3 D.24 3

5.如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是

1 2 2 C. 3
A.

B.

3 4

D .1

- 6.若 x∈(e 1,1) ,a=lnx,b= ( )

1 2

ln x

,c= e

ln x

(e 为自然

对数的底数) ,则 a,b,c 的大小关系为 A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c

? x+2 y-5≤0, ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x-y-2≤0, 则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为 ? x≥0, ?
A.11 B.10 C.9 D.8.5

1

8.已知正项数列{ an }的前 n 项的乘积 Tn = ( ) 的前 n 项和 Sn 中的最大值是 A.S6 B.S5

1 4

n 2-6 n

(n∈N﹡) , bn = log 2 an ,则数列{ bn }

C.S4

D.S3

9.如图为函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (其中 A>0,ω >0,| ? |< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象

? )的图象,为了得到函数 g(x) 2

? 个长度单位 6 ? B.向右平移 个长度单位 3 ? C.向左平移 个长度单位 6 ? D.向左平移 个长度单位 3
A.向右平移 10. 已知 P 是双曲线

uuu r uuu r 5 x 2 y2 - = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 上的点, F , F 是其焦点, 双曲线的离心率是 , 且 · PF PF 1 2 1 2 4 a 2 b2
D.8

=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为 A.5 B.6 C.7

11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(-2)=0,当 x>0 时,有

xf ?( x)-f ( x) >0 恒成立,则不等 x2

式 xf(x)>0 的解集是 A. (-2,0)∪(2,+∞) B. (-2,0)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(0,2) D. (-∞,-2)∪(2,+∞) 12.对甲、乙两个班级的某次数学考试成绩进行统计,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀, 得到如下所示的列联表:

已知在全部的 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为

2 ,则下列说法正确的是 7

A.列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35 B.列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50 C.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系” D.根据列联表中的数据,若按 95%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分. 13.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆 ( x- 1)2+( y+2)2=2 概率为__________.
2 14.已知命题 p: “ ?x ∈[1,2], x -a≥0” ,命题 q: “ ?x0 ∈R, x0 ,若命题“p∧q" +2ax0+2-a=0 ”
2

有公共点的

是真命题,则实数 a 的取值范围是_________. 15.在直角三角形 ABC 中,AB=4,AC=2,M 是斜边 BC 的中点,则向量 AM 在向量 BC 投影是___________________. 16 . 若 函 数 f ( x ) = (sin x+cos x) -2 cos x-m 在 [0 , ______________. 三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在斜三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB> 2 cosC,求角 C 的取值范围.
2 2

uuur

uuu r

方向上的

? ]上有零点,则实数 m 的取值范围是 2

cos( A+C) a 2+c 2-b 2 =- . sin A cos A ac

18. (本小题满分 12 分) 某市为创建文明城市,面向全市征召义务志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) , 第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如 图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方 法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活 动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名 志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍 宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图(1) ,在边长为 2 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,且 AD= AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABE 沿 AF 折起,得到如图(2)所示
3

的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . (Ⅰ)证明:CF⊥平面 ABF; (Ⅱ)当 AD=

4 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3

20. (本小题满分 12 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上, 上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△PB2Q 的面积. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=alnx-bx2(x>0) .

1 相切,求实数 a,b 的值; 2 3 2 (Ⅱ)当 b=0 时,若不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈[0, ],x∈(1, e ]都成立(e 为自然对数 2
(Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 的底数) ,求实数 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答.如果多做.则按所做的第一题记分.做答时。 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,AC 是 ∠BAF 的角平分线, 过点 C 作 CD⊥AF, 交 AF 的延长 线于 D 点,作 CM⊥AB,垂足为点 M (Ⅰ)求证:DC 是⊙O 的切线; (Ⅱ)求证:AM·MB=DF·DA. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

4

1 ? x= t , ? ? x=2+cos ? , 2 ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? ?y=sin ? ?y= 3 t+1 ? ? 2
(θ 为参数) . (Ⅰ)若在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 3

(Ⅱ)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|. (Ⅰ)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2015 年许新平高三一模文科数学参考答案
5

一.选择题 DBDAC BBDAC DC 二.填空题 2 13. 14.a≤-2 或 a=1 5 三.解答题 17.解:(Ⅰ)由已知得 2cosB=-

3 5 15.- 5 -2cosB , sin2A

16.[-1, 2]

…………………….2 分

由于△ABC 为斜三角形,∴cosB≠0,∴sin2A=1. ……………….4 分 π π ∵A∈(0,π),∴2A= ,∴A= . 2 4 (Ⅱ)∵ sin B ? 2 cos C ,由(1)知 sin( …………………6 分

?
4

? C ) ? 2 cos C ,



2 2 sin C ? cos C ? 2 cos C 2 2

…………….9 分

3π π π ∴tanC>1,∵0<C< ,∴ <C< . 4 4 2

……………12 分

18.解:(Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06× 5=0.3,人数为 0.3× 100=30 人; 第 4 组的频率为 0.04× 5=0.2,人数为 0.2× 100=20 人; 第 5 组的频率为 0.02× 5=0.1,人数为 0.1× 100=10 人.…………………….3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,若利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,则每组抽取 30 20 10 的人数分别为:第 3 组为 × 6=3;第 4 组为 × 6=2;第 5 组为 × 6=1. 60 60 60 所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 名,2 名,1 名志愿者.…………………….6 分 (Ⅱ)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的一名志愿者为 C. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者的可能情况有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C), (A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C),共 15 种.……………9 分 其中第 4 组的 2 名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2, B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C),(B2,C),共 9 种.……11 分 9 3 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 = .…………….12 分 15 5 19.(Ⅰ)证明:如图(1),在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点, 1 ∴AF⊥FC,∴BF=FC= BC=1. 2 在图(2)中,∵BC= 2 ,∴BC2=BF2+FC2,∴∠BFC=90° ,∴FC⊥BF. 又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. …………….6 分 4 2 (Ⅱ) ∵AD= ,∴BD= ,AD∶DB=2∶1, 3 3 在图(2)中,AF⊥GE,AF⊥DG,又 DG∩GE=G,∴ AF⊥平面 GDE.
6

在等边三角形 ABC 中,AF=

3 AB= 3 , 2

3 1 2 2 2 ∴FG= AF= ,DG= BF= ×1= =GE, 3 3 3 3 3
2 1 ∴S△DGE= DG· EG= ,∴VF 2 9
DEG=

2 3 1 S · FG= .…………….12 分 3 △DGE 81

x2 y2 20.解:(Ⅰ)如图,设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0). a b

c 因△AB1B2 是直角三角形且|AB1|=|AB2|, 故∠B1AB2 为直角, 从而|OA|=|OB2|, 即 b= .又 c2=a2-b2 得 4b2 2 =a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2. c 1 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S△AB1B2= ·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|= ·b=b2, 2 2 由题设条件 S△AB1B2=4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20. x2 y2 故所求椭圆标准方程为 + =1. 20 4 …………….5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 B1(-2,0)、B2(2,0).由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故可设直线 PQ 的方程为:x=my -2. 代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0. (*) 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 y1,y2 是方程(*)的两根,则 y1+y2= -16 4m ,y ·y = . m2+5 1 2 m2+5

…………….7 分 → → 又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2), → → 所以B2P·B2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2 =(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16= -16(m2+1) 16m2 16m2-64 - 2 +16=- , 2 m +5 m +5 m2+5 …………….9 分

→ → 由 PB2⊥QB2,知B2P·B2Q=0,即 16m2-64=0,解得 m=± 2. 当 m=2 时,方程(*)化为:9y -8y-16=0, 故 y1= 4+4 10 4-4 10 8 ,y2= ,|y1-y2|= 10, 9 9 9
[来源 :学科网]

2

1 16 △PB2Q 的面积 S= |B1B2|·|y1-y2|= 10. 2 9

7

16 当 m=-2 时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q 的面积 S= 10, 9 16 综上,△PB2Q 的面积为 10.…………….12 分 9 21.解: (Ⅰ)∵ f '( x ) ?

a 1 ? 2bx ,又函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, 2 x
??????? 5 分

? f '(1) ? a ? 2b ? 0 ?a ? 1 ? ? ?? 1 ,解得 ? 1. f (1) ? ? b ? ? b? ? ? ? 2 ? 2

(Ⅱ)当 b=0 时, f ( x) ? a ln x ,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e 2 ? ? 都成立,即 2

3 m ? a ln x ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? ?1, e 2 都成立, 2 令 h(a) ? a ln x ? x ,则 h(a) 为一次函数,∴ m ? h(a)min .??????? 8 分 3 x ? ?1, e 2 ? ? ,? ln x ? 0, ? h( a ) 在a ? [0, 2 ] 上单调递增,? h(a)min ? h(0) ? ? x , ? m ? ? x 对所有的 x ? ?1, e 2 ? ? 都成立.
2 1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1, ? m ? (? x)min ? ?e .??????? 12 分
2 2 (注:也可令 h( x) ? a ln x ? x, 则m ? h( x) 所有的 x ? 1, e ? ? 都成立,分类讨论得 m ? h( x)min ? 2a ? e 对

?

? 3? ? ?

?

?

所有的 a ? [0, ] 都成立,?m ? (2a ? e2 )min ? ?e2 ,请根据过程酌情给分)

3 2

选考题: 22.证明:(Ⅰ)连接 OC,则有∠OAC=∠OCA,

又 AC 是∠BAF 的角平分线,∴∠OAC=∠FAC,∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD. 又 CD⊥AF,∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.……………5 分 (Ⅱ)连接 BC,在 Rt△ACB 中,CM⊥AB,∴CM2=AM· MB. 2 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC =DF· DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM,∴AM· MB=DF· DA. ……………10 分 π? 23.解:(Ⅰ)把点 P 的极坐标? ?4,3?化为直角坐标为(2,2 3),

?x=2t, 把直线 l 的参数方程? (t 为参数),化为直角坐标方程为 y= 3 ?y= 2 t+1

1

3x+1,

由于点 P 的坐标不满足直线 l 的方程,故点 P 不在直线 l 上.……………5 分

8

?x=2+cos θ, ? (Ⅱ)∵曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ? ?y=sin θ

曲线 C 的极坐标系方程化为直角坐标系方程为:(x-2)2+y2=1, 表示以(2,0)为圆心、半径等于 1 的圆. |2 3-0+1| 1 ∴圆心到直线 l 的距离 d= = 3+ >1,∴l 与圆相离, 2 3+1 1 3 故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 d-r= 3- ,最大值为 d+r= 3+ , 2 2 ∴点 Q 到直线 l 的距离的最大值与最小值的差为 2. ……………10 分 24.解:(Ⅰ)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3.
?a-3=-1, ? 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},∴? 解得 a=2. ?a+3=5, ?

……………4 分

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|,设 g(x)=f(x)+f(x+5), -2x-1,x<-3, ? ? 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ? ?2x+1,x>2, ∴当 x<-3 时,g(x)>5;当-3≤x≤2 时,g(x)=5;当 x>2 时,g(x)>5. 综上,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5]. ……………10 分

9


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