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函数的奇偶性经典题型专项训练


2.4 函数的奇偶性 【知识网络】 1.奇函数、偶函数的定义及其判断方法;2.奇函数、偶函数的图象.3.应用奇函数、偶 函数解决问题. 【典型例题】 例 1. (1)下面四个结论中,正确命题的个数是(A) ①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②函数为奇函数的充要条件是;③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) . A.1 B.2

C. 3 D.4 提示:①不对,如函数是偶函数,但其图象与轴没有交点;②不对,因为奇函数的定义域可 能不包含原点; ③正确; ④不对, 既是奇函数又是偶函数的函数可以为 ( f x) =0 〔x∈ (-, ) 〕 , 答案为 A. (2)已知函数是偶函数,且其定义域为[] ,则( ) A. ,b=0 B. ,b=0 C. ,b=0 D. ,b=0 提示:由为偶函数,得 b=0. 又定义域为[] ,∴ ,∴.故答案为 A. (3)已知是定义在 R 上的奇函数,当时, ,则)在 R 上的 表达式是( ) A. B. C. D. 提示:由时, ,是定义在 R 上的奇函数得: 当 x<0 时, , ∴,即,答案为 D. (4)已知,且,那么 f(2)等于 提示:为奇函数, ,∴,∴. (5)已知是偶函数,是奇函数,若,则的解析式为 提示:由是偶函数,是奇函数,可得,联立,得: , ∴ 例 2.判断下列函数的奇偶性: (1) ;(2); (3) ; (4) . 解: (1)由,得定义域为,关于原点不对称,∴为非奇非偶函数. (2) ,∴ ∴既是奇函数又是偶函数. (3)由得定义域为,∴, ∵ ∴为偶函数 (4)当时, ,则, 当时, ,则, 综上所述,对任意的,都有,∴为奇函数. 例 3.若奇函数是定义在(,1)上的增函数,试解关于的不等式: . 解:由已知得 因 f(x)是奇函数,故 ,于是. 又是定义在(1,1)上的增函数,从而

即不等式的解集是. 例 4.已知定义在 R 上的函数对任意实数、 ,恒有,且当时, ,又. (1)求证:为奇函数; (2)求证:在 R 上是减函数; (3)求在[,6]上的最大值与最小值. (1)证明:令,可得 ,从而,f(0) = 0. 令,可得 ,即,故为奇函数. (2)证明:设∈R,且,则,于是.从而 所以,为减函数. (3)解:由(2)知,所求函数的最大值为,最小值为.

于是,在[-3,6]上的最大值为 2,最小值为 -4. 【课内练习】 1.下列命题中,真命题是( C ) A.函数是奇函数,且在定义域内为减函数 B.函数是奇函数,且在定义域内为增函数 C.函数是偶函数,且在(3,0)上为减函数 D.函数是偶函数,且在(0,2)上为增函数 提示:A 中,在定义域内不具有单调性;B 中,函数的定义域不关于原点对称;D 中,当时, 在(0,2)上为减函数,答案为 C. 2. 若,都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值 5,则在(-∞,0)上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1 D.最大值-3 提示: 、为奇函数,∴为奇函数. 又有最大值 5, ∴-2 在(0,+∞)上有最大值 3. ∴-2 在上有最小值-3,∴在上有最小值-1.答案为 C. 3.定义在 R 上的奇函数在(0,+∞)上是增函数,又,则不等式的解集为(A) A. (-3,0)∪(0,3) B. (-∞,-3)∪(3,+∞) C. (-3,0)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3) 提示:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案为 A. 4.已知函数是偶函数,在[0,2]上是单调减函数,则(A) A. B. C. D. 提示:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减,∴在[-2,0]上单调递减. ∵是偶函数,∴在[0,2]上单调递增. 又,故应选 A. 5.已知奇函数,当∈(0,1)时,lg,那么当∈(-1,0)时,的表达式是. 提示:当(-1,0)时,∈(0,1) ,∴. 6.已知是奇函数,则+= 2008. 提示: , ,解得: ,经检验适合, . 7.若是偶函数,当∈[0,+∞)时, ,则的解集是 提示:偶函数的图象关于 y 轴对称,先作出的图象,由图可知的解集为,∴的解集为. 8.试判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2) ; (3) . 解: (1)函数的定义域为 R, ,

故为偶函数. (2)由得: ,定义域为,关于原点对称, , ,故为奇函数. (3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),它不关于原点对称,故函数既非奇函数, 又非偶函数. 9.已知函数对一切,都有,若,用表示. 解:显然的定义域是,它关于原点对称.在中, 令,得, 令,得,∴, ∴,即, ∴是奇函数. ∵, ∴. 10.已知函数是奇函数,又, , ,求、 、的值. 解:由得 ∴c=0. 又,得, 而,得,解得. 又,∴或. 若,则 b=,应舍去;?若,则 b=1∈Z. ∴.


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