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2.4等比数列第1课时等比数列 课件(人教A版必修5)


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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学

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2.4 等比数列 第 1 课时 等比数列

教师用书独具演示

●三维目标 1.知识与技能 形成并掌握等比数列的概念,理解等比数列的通

项公式.

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2.过程与方法

培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法. 当 3.情感、态度与价值观 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣. ●重点难点 重点:等比数列的概念. 难点:等比数列通项公式的推导过程及应用.
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●教学建议 本节课采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法,通 过提问题激发学生的求知欲,使学生主动参与数学实践活动, 在教师的指导下发现、分析并解决问题.在引导学生分析问题 时,留出学生思考的余地,让学生去联想、探索,鼓励学生大 胆质疑,把需要解决的问题弄清楚.

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等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概 括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几 个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列 进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等 比数列的定义.因为我们已经学习了等差数列,故等比数列的 学习可以与等差数列相类比.

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●教学流程

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演示结束

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1.理解等比数列的定义.(重点) 课标解读 2.掌握等比数列的通项公式及其应用.(重 点、难点) 3.熟练掌握等比数列的判定方法. (易错点)

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等比数列的定义

【问题导思】 观察下面几个数列: ①1,2,4,8,16,… 1 1 1 1 ②1, , , , ,… 2 4 8 16 ③1,-1,1,-1,1,… 1 ④ ,-1,2,-4,8,… 2

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1.上面几组数列是等差数列吗?为什么?

【提示】 都不是等差数列,因为不符合等差数列的定义. 当 堂
2.如果要研究每个数列中相邻两项的关系,你会发现有怎 样的共同特点? 【提示】 从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于同一 个非零常数.
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如果一个数列从第二项 起,每一项与它的前一项的比等于

同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比
数列的公比,公比通常用字母 q 表示.

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等比中项

【问题导思】 如果在 a,b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列, 那么 G 与 a,b 之间有怎样的数量关系?

【提示】 G2=ab.
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,

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b . 那么 G 叫做 a,b 的等比中项,这三个数满足关系式 G2=a·

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等比数列的通项公式

【问题导思】 1.你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗?

an+1 an 【提示】 =q 或 =q(n≥2)或 an+1=qan 或 an=qa an an-1 (n≥2).

2.根据问题 1 中的式子,你能归纳出等比数列的通项公式 【提示】 由 a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3…,

吗?
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可猜测 an=a1qn-1.
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等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则 an (1)递推公式: =q(n≥2); an-1 (2)通项公式:an= a1qn-1 .

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等比数列的通项公式及运算

在等比数列{an}中, 1 (1)若 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若 a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求 n. 1 【思路探究】 (1)由 a2=4,a5=- 能否建立 a1,q 的方 2

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程组求出 a1,q?能否写出通项公式 an? (2)由已知条件能否求 a1,q?怎样求?怎样求 n?
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【自主解答】 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, ? ?a2=a1q=4, 1 (1)由题:? ∴q=- ,a1=-8, 1 4 2 a5=a1q =- , ? 2 ? ∴an=a1q
n-1

1 n-1 =-8×(- ) =(-2)4-n. 2

1 (2)∵a3+a6=(a2+a5)q 即 9=18q,∴q= , 2 由 a1q+a1q4=18 得 a1=32, 由 an=a1qn-1=1 知 n=6.

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1.a1 和 q 是等比数列的两个基本量,解决本题时,只要求 出这两个基本量,其余的量便可以得出. 2.等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1,an,n,q,只要知 道其中任意三个就能求出另外一个,解题时常列方程(组 )来解 决.

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在等比数列{an}中, (1)已知 a3=9,a6=243,求 a9; 9 1 2 (2)已知 a1= ,an= ,q= ,求 n. 8 3 3
【解】
2 ? ?a3=a1q =9, (1)∵? 5 ? a = a q ? 6 1 =243,

① ②

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② ∴ 得 q3=27, ① ∴a9=a6q3=243×27=6 561.
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9 1 2 (2)∵a1= ,an= ,q= , 8 3 3 1 9 2 n- 1 ∴ = · ( ) , 3 8 3 8 2 n -1 ∴ =( ) , 27 3 ∴n=4.

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等比数列的判断

在各项为负数的数列{an}中,已知:2an=3an+1, 8 且 a2· a5= . 27 (1)求证:{an}是等比数列,并求出通项; 16 (2)试问:- 是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是 81 第几项;如果不是,说明理由. 【思路探究】 (1)要判断{an}为等比数列,an+1 与 an 需要

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满足怎样的关系?怎样求一个等比数列的通项公式?(2)如何判 断一个数是否为一个数列中的项?
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an+1 2 【自主解答】 (1)因为 2an=3an+1,所以 = . an 3 2 故数列{an}是公比 q= 的等比数列. 3 8 8 4 又 a2· a5= ,则 a1q· a1q = , 27 27 即 23 2 2 5 a1· ( ) =( ) . 3 3

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3 由于数列各项均为负数,则 a1=- . 2 3 2 n- 1 2 n- 2 所以 an=- ×( ) =-( ) . 2 3 3
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 2 课 前 自 主 导 学

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16 16 2 n- (2)设 an=- ,由等比数列的通项公式,得- =-( ) 81 81 3

2 4 2 n-2 ,即( ) =( ) . 3 3 根据指数函数的性质,有 4=n-2,即 n=6. 16 因此- 是这个等比数列的第 6 项. 81

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判断一个数列是等比数列的常用方法 an+1 an * 1.定义法: =q(常数)(n∈N )或 =q(常数)(n≥2)? an an-1 {an}为等比数列. 2.等比中项法:a2 an+2 且 an≠0,n∈N*?{an}为等 n+1=an· 比数列. 3. 通项法: an=a1qn-1(其中 a1、 q 为非零常数, n∈N*)?{an} 为等比数列.

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已知 b 是 a 与 c 的等比中项.求证:a2+b2,ab+bc,b +c 成等比数列.
2

【证明】 ∵b 是 a 和 c 的等比中项, ∴b2=ac,且 a,b,c 均不为零. ∴(ab+bc) =a b +2ab c+b c =a3c+2a2c2+ac3,
2 2 2 2 2 2

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又∵(a2+b2)· (b2+c2) =a2b2+a2c2+b4+b2c2 =a3c+a2c2+a2c2+ac3 =a3c+2a2c2+ac3, ∴(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2). 又∵a2+b2≠0,b2+c2≠0, ∴a2+b2,ab+bc,b2+c2 成等比数列.

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等比数列的实际应用

某工厂 2013 年 1 月的生产总值为 a 万元, 计划从 2013 年 2 月起, 每月生产总值比上一个月增长 m%, 那么到 2014 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元?
【思路探究】 (1)该问题可以转化为等比数列模型吗?

(2)a1,q 分别是多少?要求哪一个量?

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【自主解答】 设从 2013 年 1 月开始,第 n 个月该厂的生 产总值是 an 万元,则 an+1=an+anm%, an+1 ∴ =1+m%. an 则数列{an}是首项 a1=a,公比 q=1+m%的等比数列. ∴an=a(1+m%)n-1. 故 2014 年 8 月底该厂的生产总值为 a20=a(1+m%)20-1=a(1+m%)19 万元.

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利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型,本 例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列,2014 年 8 月底的生产总值是该数列中的第 n 项,常常容易被搞错.

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在利用电子邮件传播病毒的例子中,如果第一轮感染的计 算机数是 80 台,并且从第一轮起,以后各轮的每一台计算机都 可以感染下一轮的 20 台计算机, 到第 5 轮可以感染多少万台计 算机? 【解】 每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为 a1=
80,公比为 q=20 的等比数列. 则 a5=a1q4=80×204=1 280×104 =1 280(万台). 答:到第 5 轮可以感染到 1 280 万台计算机.
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忽略等比中项的符号致误 在等比数列{an}中,a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,试求 a7.
【错解】 因为 a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根, 18 ? ?a5+a9= , 7 所以? ? a9=1. ? a5· 又因为 a7 是 a5,a9 的等比中项, 所以 a2 a9=1,即 a7=± 1. 7=a5·
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【错因分析】 上述解法忽略了对 a7 符号的讨论, 由于 a5, 当 a9 均为正数,所以不论 q 取正还是取负,a7 始终与 a5,a9 同号.
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【防范措施】

解等比数列的问题时,一定要特别注意符

号,等比数列中项可以同正、同负,还可以正负交错,但是所 有奇数项(或偶数项)的符号是相同的.

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【正解】 ∵a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两根, 18 ? ?a5+a9= , 7 ∴? ∴a5>0,a9>0 故 a7>0. ? a9=1, ? a5· 又∵a7 是 a5,a9 的等比中项, ∴a2 a9=1,∴a7=1. 7=a5·

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1.要注意利用等比数列的定义解题,在很多时 候紧扣定义是解决问题的关键. 2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时, 以首项 a1,公比 q 为基本量,其他量用这两个量表 示出来, 再寻求条件与结论的联系, 往往使很多问题 更容易解决. 3.等比中项在题目中会经常出现,因此要掌握 好.
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1.下列数列中,是等比数列的个数是(

) ③1,1,1,1

①-1,-2,-4,-8 ②1,- 3,3,-3 3 ④a,a,a,a A.4 C.2
【解析】

B.3 D.1
由等比数列的定义知①②③为等比数列,④中

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当 a≠0 时为等比数列.

【答案】 B
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2.在等比数列{an}中,a1=4,公比 q=3,则通项公式 a 等于( ) B.4n D.4· 3n-1
n-1

A.3n C.3· 4n-1

【解析】 an=a1q 【答案】 D

=4×3

n-1

.

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3.(2013· 沂水三中高二月考)已知{an}是等比数列,a2=2, 错 1 a5= ,则公比 q=( 4 1 A.- 2 ) B.-2
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1 C.2 D. 2 【解析】 ∵a2=a1q=2,①
1 a5=a1q = ,② 4
4

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1 1 3 ∴②÷ ①得:q = ,∴q= . 8 2 【答案】 D
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4.等比数列{an}中,a3=6,a4=18,求 a1+a2.
a4 18 【解】 由题意知 q= = =3, a3 6 2 ∴a1q =6,得 a1= , 3
2

2 ∴a2=a1q= ×3=2, 3 2 8 ∴a1+a2= +2= . 3 3

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课时作业(十二)

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数列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以 3 为公比的等 比数列,记 bn=a2n-1+a2n(n∈N*). (1)求 a3,a4,a5,a6 的值; (2)求证:{bn}是等比数列.
【思路探究】 (1)先求 anan+1 的表达式再求 a3,a4,…, (2)利用定义证明.

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【自主解答】 (1)∵{anan+1}是公比为 3 的等比数列, ∴anan+1=a1a2· 3n-1=2· 3n, 2· 32 2· 33 ∴a3= =6,a4= =9, a2 a3 2· 3 2· 3 a5= =18,a6= =27. a4 a5
4 5

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(2)证明:∵{anan+1}是公比为 3 的等比数列, ∴anan+1=3an-1an, 即 an+1=3an-1 , ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…,与 a2,a4,a6,…,a2n,…, 都是公比为 3 的等比数列. ∴a2n-1=2· 3n-1,a2n=3· 3n-1, bn=a2n-1+a2n=5· 3n-1, bn+1 5· 3n ∴ = n-1=3.故{bn}是以 5 为首项,3 为公比的等比数 bn 5· 3 列.
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学

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已知等比数列{bn}与数列{an}满足 bn=3an(n∈N*). (1)判断{an}是何种数列,并给出证明; (2)若 a8+a13=m,求 b1· b2· …· b20.

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【解】 (1)设数列{bn}的公比为 q,则 q>0. ∵bn=3an,∴b1=3a1, ∴bn=3a1· qn-1=3an. 方程两边取以 3 为底的对数得 an=log3(3a1· qn-1) =a1+(n-1)log3q. ∴数列{an}是以 log3q 为公差的等差数列.

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(2)∵a1+a20=a8+a13=m, 20?a1+a20? ∴a1+a2+…+a20= =10m. 2 ∴b1· b2· …· b20=3a1· 3a2· …· 3a20 =3a1+a2+…+a20=310m.

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