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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:7-2空间几何体的表面积和体积


05 限时规范特训
A级 基础达标 1.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半 径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是( )

A.16π C.12π

B.14π D.8π

1 解析: 由三视图可知, 该几何体是一个球挖去了4剩下的部分. 其 3 3 中两个半圆的面积为 π×22=4π.4个球

的表面积为4×4π×22=12π, 所 以这个几何体的表面积是 12π+4π=16π,选 A. 答案:A 2.如图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都

是矩形,则该几何体的体积为(

)

A.6 3 C.8 3

B.9 3 D.12

解析:由三视图可知直观图是四棱柱,V= 3×3×3=9 3. 答案:B

3.[2013· 湖南长郡中学、衡阳八中十二校二联]若某空间几何体 的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( A.2+ 2+ 6 B.2(1+ 2)+ 6 2 C.3 3 2 D.2+ 2 + 6 解析:由三视图易知原几何体为水平放置的直三棱柱.底面为直 角三角形,直角边长分别为 1 和 2,斜边长为 3.三棱柱的高为 2. 故该几何体的表面积为 2+2 2+ 6. 答案:A 4.[2013· 佛山一检]一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几 )

何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.9 C.11

B.10 23 D. 2

解析:据三视图,可知几何体为三棱锥 A1-AED1 被截去所剩的 几何体,如图所示,∴几何体的体积 V=V 长方体-

答案:C 5.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A.4

20 B. 3

26 C. 3

D.8

解析: 由三视图可知, 该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥, 其体积 V=V B. 答案:B 6.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该 几何体的表面积为( A.92+14π C.92+24π ) B.82+14π D.82+24π
四棱锥

+V

三棱锥

1 1 1 20 =3×2×2×4+3×2×2×2×2= 3 ,故选

解析:由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上 半部分是半径为 2, 高为 5 的圆柱的一半. 长方体中 EH=4,HG=4, GK = 5,所以长方体的表面积为 ( 去掉一个上底面 )2(4×4+ 4×5)+ 4×5 = 92. 半圆柱的两个底面积为 π×22 = 4π ,半圆柱的侧面积为 π×2×5=10π,所以整个组合体的表面积为 92+4π+10π=92+14π, 选 A. 答案:A 7.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则 该多面体的体积为( )

2 A. 3 4 C.3

3 B. 3 3 D.2

解析:本题主要考查几何体体积的求法,解题的关键是将不规则 的几何体分别分割成规则的几何体. 如图,过 A,B 两点分别作 AM,BN 垂直于 EF,垂足分别为 M, N,连接 DM,CN,可证得 DM⊥EF,CN⊥EF,多面体 ABCDEF 分 为三部分,多面体的体积为 VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC. 1 3 ∵NF=2,BF=1,∴BN= 2 . 作 NH 垂直 BC 于点 H,则 H 为 BC 的中点, 2 则 NH= 2 . 1 1 2 2 ∴S△BNC=2· BC· NH=2×1× 2 = 4 . 1 2 ∴VF-BNC=3· S△BNC· NF= 24 , 2 VE-AMD=VF-BNC= 24 , 2 VAMD-BNC=S△BNC· MN= 4 .

2 ∴VABCDEF= 3 . 答案:A 8.[2014· 江苏模拟]如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为________cm3.

解析:

答案:6

9.[2014· 湖北八市联考]如图所示,一个三棱锥的三视图是三个 直 角 三 角 形 ( 单 位 : cm) , 则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 ________cm2. 解析:从三棱锥的三视图可知,三棱锥有两侧面与底面垂直,把 三棱锥补成长,宽,高分别为 4,2,3 的长方体,设外接球的半径为 R, 由 42+22+32=4R2 得,S 球=4πR2=29π(cm2). 答案:29π 10.[2014· 太原模拟]已知某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的表面积等于________.

解析:据三视图可知,该几何体是一个正方体(棱长为 2)去掉一 角(左前上角)而得,直观图如图所示,其中 DA=DB=DC=1, ∴△ABC 是边长为 2的等边三角形, ∴其表面积为 1 1 3 S=6×22-3×2×12+2×( 2)2× 2 = 45+ 3 2 .

45+ 3 答案: 2 11. [2014· 汕头模拟]一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其 中 M、N 分别是 AF、BC 的中点)

(1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A-CDEF 的体积.

解:由三视图可知,AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2,∠CBF π =2. (1)证明:取 BF 的中点 G,连接 MG、NG,由 M、N 分别为 AF、 BC 的中点可得,NG∥CF,MG∥EF, ∴平面 MNG∥平面 CDEF, 又 MN?平面 MNG, ∴MN∥平面 CDEF.

(2)取 DE 的中点 H. ∵AD=AE,∴AH⊥DE, 在直三棱柱 ADE-BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 平面 ADE∩平面 CDEF=DE. ∴AH⊥平面 CDEF. ∴多面体 A-CDEF 是以 AH 为高, 以矩形 CDEF 为底面的棱锥, 在△ADE 中,AH= 2.S 矩形 CDEF=DE· EF=4 2, 1 1 8 ∴棱锥 A-CDEF 的体积为 V=3· S 矩形 CDEF· AH=3×4 2× 2=3. 12.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a. (1)求该四面体的体积的最大值; (2)当四面体的体积最大时,求其表面积.

解:(1)如图,在四面体 ABCD 中,设 AB=BC=CD=AC=BD =a,AD=x,取 AD 的中点为 P,BC 的中点为 E,连接 BP,EP, CP,得到 AD⊥平面 BPC, 1 1 ∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC=3· S△BPC· AP+3S△BPC· PD 1 11 =3· S△BPC· AD=3· a 2· x2 a 2 a -4-4· x
2

a a 3a2 1 3 2 2 2 =12 ?3a -x ?x ≤12·2 =8a ,

6 (当且仅当 x= 2 a 时取等号). 1 ∴该四面体的体积的最大值为8a3. (2)由(1)知,△ABC 和△BCD 都是边长为 a 的正三角形,△ABD 6 和△ACD 是全等的等腰三角形,其腰长为 a,底边长为 2 a, 3 1 6 ∴S 表=2× 4 a2+2×2× 2 a× 6 a2-? 4 a?2

3 2 6 10a 3 2 15a2 2 3+ 15 2 = 2 a + 2 a× 4 = 2 a + 4 = a. 4 B级 知能提升 1.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所 示,则这个几何体的体积为( )

A.4 20 C. 3

B.2 2 D.8

解析:由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正 方形的边长为 2.HD=3,BF=1,将相同的两个几何体放在一起,构 1 成一个高为 4 的长方体,所以该几何体的体积为2×2×2×4=8. 答案:D 2.[2014· 金版原创]某几何体的三视图如图所示,其中正视图是 腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表 面积是________.

解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积即俯 视图的面积为 2 3;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母 线长为 2,底面半径为 1,所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体 的表面积,为 2(π+ 3). 答案:2(π+ 3) 3.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 ________.

解析:由三视图可知,该几何体上面是个长、宽、高分别为 4、 2、2 的长方体,下面是一个放倒的四棱柱,四棱柱的高为 4,底面是 个梯形,上、下底分别为 2、6,高为 2. 2+6 所以长方体的体积为 4×2×2=16, 四棱柱的体积为 4× 2 ×2 =32,所以该几何体的体积为 32+16=48. 答案:48

4. [2014· 盘锦模拟] 如图所示,在边长为 5+ 2的长方形 ABCD 中,以 A 为圆心画 一个扇形,以 O 为圆心画一个圆,M,N,K 为切点,以扇形为圆锥 的侧面,以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体 积. 解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h,

?l+r+ 2r=?5+ 由已知条件?2πr π ? l =2,

2?× 2,

解得 r= 2,l=4 2,S 全面积=πrl+πr2=10π,h= l2-r2= 30, 1 2 30π V=3πr2h= 3 .


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