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第七届NOC“应用数学”决赛(高中)


第七届 NOC 活动“应用数学”在线决赛试卷·高中组
一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 1. 北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》 ,在这个节目中曾经有这样一道抢 答题:小蜥蜴体长 15cm,体重 15g,问:当小蜥蜴长到体长为 20cm 时,它的体 重大约是( A.20g B.25g ) 。 C.35g D.40g

2. 汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停住。 我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一 个限速为 40 千米/时的路段上,先后有 A、B 两辆汽车发生交通事故。事故后, 交通警察现场测得 A 车的刹车距离超过 12 米,不足 15 米;B 车的刹车距离超过 11 米,不足 12 米。又知 A、B 两种车型的刹车距离 S(米)与车速 x(千米/时) 之间有如下关系:

S A ? 0.1xA ? 0.01x 2

S A, B

? 0.05xB ? 0.005x2


B

。如果仅仅考

虑汽车的车速因素,哪辆车应负责任?( A.A 车 B.B 车

3. 某食品店每天顾客需求 100、150、200、250、300 只蛋糕的可能性分别为 0.2、 0.25、0.3、0.15 和 0.1,每个蛋糕的进货价为 2.5 元,销售价为 4 元,若当天 不能售完,剩下的以每只 2 元的价格处理,问该店每天进货( (进货量必须是 50 倍数)? A.100 B.150 C.200 D.250 E.300 )只蛋糕为宜

4.

如图,在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点, ?ABC ? 90 , BA ? BC ,球心 O 到平
3 2 面 ABC 的距离是 2 ,则 B、C 两点的球面距离是(

?

) 。 D. 2?

? A. 3

B. ?

4? C. 3

5. 某企业生产甲、 乙两种产品, 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 原料 2 吨; B 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元, 每吨乙产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获得最大利润是( A.12 万元 B.20 万元 C.25 万元 D.27 万元 ) 。

6.某工厂对一批产品进行了抽样检测, 右图是根据抽样检测后的产品净重 (单位: 克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据 分组为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]。已知样 本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( )。

A.90

B.75

C.60

D.45

7.

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称 为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16?这样的数成为正方形数。下列 数中既是三角形数又是正方形数的是( A.289 B.1024 C.1225 D.1378 )

二、填空题(共 60 分) 1. 在气象台 A 的正东方向 300 千米处有一台风中心。该台风中心正以每小时 40 千 米的速度向西北方向移动, 离台风中心 250 千米以内的地方将受其影响。问大约 经过____小时气象台所在地将受到台风影响?影响的持续时间将是____小时。 (保留整数)(4 分)

2.

股票交易的开盘价是这样决定的: 每天开盘前由投资者填报某种股票的意向买价 或意向卖价以及相应的意向股数,然后由计算机根据这些数据确定适当的价格, 使得在该价位上能够成交的股数最多。试根据以下数据,确定该种股票的开盘价 是_____元(保留二位小数) ,即时成交的股数是_____股。 卖方意向价(元) 意向股数 买方意向价(元) 意向股数 2.10 200 2.00 800 2.20 400 2.10 600 2.30 500 2.20 300 2.35 600 2.30 300 2.40 100 2.40 100

(注:当卖方意向价低于开盘价以及买方意向价高于开盘价时即可成交) (6 分)

3. 某零件厂需要合金材料圆棒,长度 13cm、18cm、25cm 三种规格按 1∶3∶2 配套, 现有 2m 长规格 100 根棒,问怎样落料使材料利用率最高,最多能裁出____套。 此时材料利用率最大值是______%。(保留二位小数) (6 分)

4. 为了检验 X 射线的杀菌作用, 200 千伏的 X 射线来照射细菌, 用 每次照射 6 分钟, 照射次数记为 t,共照射 8 次,各次照射后所剩细菌数 y,按负指数规律减少, 统计如下: t y 试问: (1)如果照射 10 次,那么细菌数是____。 (2)如果细菌数控制在 4 以下,那么至少照_____次。 (8 分) 1 355 2 197 3 142 4 104 5 56 6 36 7 21 8 15

5. 黄河集团租赁甲、乙两种设备生产 A、B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产 品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件。 已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至 少要生产 A 类产品 50 件、B 类产品 140 件,所需租赁费最少为______元。 (5 分) 6. 围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需 维修) 其它三面围墙要新建, , 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出 口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利 用的旧墙的长度为 x(单位:元)。(8 分) (1)将 y 表示为 x 的函数:______ (2)x=____时,修建此矩形场地围墙的总费用最小,最小总费用是____元。

7. 水上游乐场的人工瀑布是在离地面 10 米处建造一段水平的水槽。在水槽的末端 设置一个坡度为 30°、坡长为 60 厘米的挑水坎。用水泵把水抽入水槽中,冲上 挑水坎,最后在空中下落形成美丽的瀑布。已知槽内水的流速为 6 米/秒,试问 人工瀑布下端与水槽基底的水平距离 S 等于( (5 分) ) 。

8.某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株。设甲、乙两种大树移栽的
2 1 成活率分别为 3 和 2 ,且各株大树是否成活互不影响。求移栽的 4 株大树中:

(1)两种大树各成活 1 株的概率是多少?____(3 分) (2)成活的株数 ? 的期望是多少株?____(3 分)

9.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A、B、C 三点进行测 量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深
BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值为____。 分) (6

10.有编号 1-7 的七个工件安排在同一台机床上加工。设各工件的加工时间依次 为 14 分钟、6 分钟、24 分钟、12 分钟、6 分钟、18 分钟、12 分钟。该机床一次 只能加工一个工件,每一工件加工完毕即可运走投入下一工序。若工件 6、7 必 须先于工件 2 加工,工件 1、2、4 必须先于工件 3 加工,工件 7 必须先于工件 4 加工, 工件 3 必须先于工件 5 加工,试找出使各工件的加工和等待时间之总和最 短的加工次序,最短时间是_____分钟。 分) (6

三、综合应用题(共 19 分) 1.“满 300 减 120,满 600 减 240??再实付 300 元送 50 元小吃券” ,最少得买 多少钱的东西,才能把这两项优惠都享尽?要求写出分析过程。 分) (9 2.写作题(10 分) 数学源于生活、 用于生活。 请列举一个你在生活中应用数学知识解决或优化解决 实际问题的事例或小故事, 应突出知识性、 探索性、 实践性和创新性。 须为原创, 字数不限。


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