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[高一]第四届希望杯全国数学邀请赛试题


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第四届"希望杯"全国数学邀请赛(高一) 第四届"希望杯"全国数学邀请赛(高一)第一试
班级 姓名 一, 选择题 1,如果函数 y = f ( x ) 有反函数,函数 y = f ( x ) 的图象过点 ( a , b ) ,则-----

----( (A) y = f
1

)

( x ) 的图象过点 (a , b ) , x = f

1

( y ) 的图象过点 ( b, a ) .

1 1 (B) y = f ( x ) 的图象过点 ( b, a ) , x = f ( y ) 的图象过点 ( a , b ) . 1 1 (C) y = f ( x ) 的图象过点 ( b, a ) , x = f ( y ) 的图象过点 ( a , b ) . 1 1 (D) y = f ( x ) 的图象过点 ( b, a ) , x = f ( y ) 的图象过点 ( a , b ) .

2,函数 y = f ( x ) 的定义域和值域都是 R ,那么函数 y = f ( x ) 的图象----( (A)在第一象限(B)在第二象限(C)在第三象限(D)在第四象限 3,正方体的对角线长度是 3 ,则正方体的表面积是------------------------------( (A) 3 3 (B)6 (C) 6 3 (D)12 4,三棱锥 A-BCD 中,AB⊥CD,AC⊥BD,则 C 在面 ABD 内的射影是ABD 的 (A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心------------------------------( )

)

)

5,奇函数 y = f ( x ) 有反函数 y = f 1 ( x ) ,函数 y = f 1 ( x ) 在 [0,+∞ ) 上是减函数,则

y = f ( x ) 在 (∞,0] 上-----------------------------------------------------------------( ∞
(A)是增函数 (B)是减函数 (C)有时是增函数,有时是减函数 (D)有时是增函数,有时是减函数,有时是常函数 6,函数 y = f ( x a ) 与函数 y = f ( a x ) 的图象间的关系是--------------------( (B)关于 x 轴对称 (A)关于 y 轴对称

)

)

(C)关于直线 x = 2a 对称 (D)关于直线 x = a 对称 7,对于任何 k ∈ Z ,都有 sin(α + kπ ) = cos(α + π + kπ ) ,则 α 的值是------------( (A) kπ +

)

3π π 3π (C) kπ + (D) kπ (以上 k ∈ Z ) 4 4 2 4 8,不等式 tgx > 0 的解集是 P1,不等式 sin x cos x > 0 的解集是 P2,不等式 sec x csc x > 0
(B) kπ + 的解集是 P3,则有------------------------------------------------------( ) (A) P1 = P2 = P3 (B) P1 P2 = P3 (C) P1 = P2 P3 (D) P3 P2 = P1 9,用棱长为 a 的正方体,削成一个体积最大的正四面体,这个正四面体的表面积是

π

3 2 3 2 2 2 a (B) a (C) 3a (D) 2 3a -------------( ) 4 2 10,正 n ( n ∈ N , n ≥ 3) 棱台上,下底面,侧面的面积依次是 S1 , S 2 ( S 2 > S1 > 0) , S 侧 ,
(A) 若 2( S 2 S1 ) = S 侧 ,则棱台侧面与底面所成二面角的大小是------------( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)75° 11,三棱锥 P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,M 为底面 ABC 内的任意一点,∠APM= α , ∠BPM= β , sin α = (A)30°

6 6 , cos β = ,则∠CPM 的值是----------( 3 6
(B)45° (C)60° (D)75°

)

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12,如果对任何 x ∈ (1,+∞ ) ,都有 x α > x β ,则有理数 α , β 间的关系是-------( (A) α > 0 , β < 0 (B) α < 0 , β > 0 (C) α > β (D)| α | > | β |

)

13 , 定 义 在 R 上 的 函 数 y = f ( x ) 有 反 函 数 , 则 函 数 y = f ( x + a ) + b 的 图 象 与

y = f 1 ( x + a ) + b 的图象间的关系是-------------------------------------------------( (A) 关于直线 y = x + a + b 对称 (B)关于直线 x = y + a + b 对称 (D)关于直线 x = y + a b 对称 (C)关于直线 y = x + a b 对称

)

14, 函数 y = f ( x ) 有反函数 y = f 1 ( x ) . 把函数 y = f ( x ) 的图象绕原点 O 顺时针转动 90°, 得到另一个函数的图象,这另一个函数可以是--------------------------( ) (A) y = f 1 ( x ) (B) y = f 1 ( x ) (C) y = f 1 ( x ) (D) y = f 1 ( x ) 15,用 a , b, c , d 四色染正四面体四个面,每面一色,将经过适当转动后对应面染色完全相同的 称为同类,否则就是不同类,所有可能的染色方式的种数是有-----( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)24 二, 填空题 1,如果 f ( x ) = a 2 x ( a > 0, a ≠ 1) ,则 f (log a 2) = 2,如果 θ ∈ ( 0, . . .

) , log sin θ cos θ = log cos θ sin θ ,则 θ = 2 3,如果 y =| 2 x 1 | | x 1 | ,则 y 的最小值是
1993 1993

π

4,若 sin α + cos α = 1 ,则 sin . α + cos α= 5 , 设 奇 函 数 y = f ( x ) 的 定 义 域 为 R , f (1) = 2 且 对 任 意 x1 , x 2 ∈ R , 都 有

f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) ,当 x > 0 时, f ( x ) 是增函数.则函数 y = f 2 ( x ) 在区间 [3,2] 上的最大值是 .
6,如果 {a 2 ,2} ∩ {1,2,3,2a 4} = {6a a 2 6} ,则 a 的值是 . 7,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=5,BC=4,CC1=3,一只蚂蚁由 A 出发,沿长方体表面 爬到 C1,爬行的最短路线的长度是 . 8,如果 {a , a 2 + 1, a + 1} { x | x 2 ≤ 100, x ∈ Z } ,则 a 的可取值的集合是
q p

.

9,函数 y = x ( p, q ∈ N , p, q 互质) ,这个函数的定义域和值域都是 R ,则质数(也叫 素数) p 的值是 . 10,设 P 为空间一点,PA,PB,PC,PD 是四条射线.若 PA,PB,PC,PD 两两成角相等, 则这些角的余弦值是 . 11,三个半径都是 1 的球彼此相切地靠紧放在水平的桌面上.有一个小球与桌面相切,又同时 与三个小球相切.这个小球的半径是 . 12,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB1 与 BC1 之间的距离是 1,这个正方体的对角线的长度 是 . 13,方程 | log 2 ( 2 x + 2) |= x 0 的实根是 14, f ( x ) = (1 + . .

1

x 2 ) 2 , x ∈ [2,+∞ ) ,则方程 f ( x ) = f 1 ( x ) 的解集是 2
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15,将两个相同的正四棱锥的底面重合,构成一个八面体.在它的面中,互相平行的面有 对. (两个互相平行的面称为"一对" )

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第四届"希望杯"全国数学邀请赛(高一) 第四届"希望杯"全国数学邀请赛(高一)第二试
班级 一, 选择题 1,函数 y = log 1 (
2

姓名 )

1 1 ) 的单调递增区间是--------------------------------( + 1 x 1+ x
(C) (∞,0] ∞ (D) [0,+∞ )

(A) (1,0] (B) [0,1)

α 2, ≠

1 kπ ( k ∈ Z ) , sin α , cos α , tgα , ctgα , sec α , csc α 中任意给定两个的数值, α 在 则角 2

的终边-----------------------------------------------------------------------------( ) (A) 只有一个位置 (B)恰有两个位置 (C)恰有四个位置 (D)有一个或两个位置 3,用|M|表示非空有限集合 M 中所含的元素的个数,已知|P1|=|P2|,P1 P2,则在下列结论:① P1 ∪ P2=P1;②P1 ∩ P2=P2;③P2 P1;④P1=P2 中,正确结论数目是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ) 4,集合 P = {( x , y ) | ( y | x |)( x | y |) ≠ 0} ,这个集合表示的是-------------------( (A) 坐标平面内除去第 1,2,3 象限角平分线的点集 (原点看成象限角 (B)坐标平面内除去第 1,3,4 象限角平分线的点集 平分线上的点) (C)坐标平面内除去第 1,2,4 象限角平分线的点集 (D)坐标平面内除去第 2,3,4 象限角平分线的点集 5, x ∈ ( 2,4) , a = 2 6,α ∈ ( 0,
x2

, b = (2 x )2 , c = 2

2x

, d = ( 2 2 ) x ,则有--------------(

)

(A) a > b > c > d (B) a > c > b = d (C) c > a > b = d (D) b = d > a > c

π

6

) ,设 M 是 cos(cos α ) , sin(sin α ) 这两个数中大的一个, m 是这两个数中小的
)

一个,则有--------------------------------------------------------------------------( (A) (C)

cos(cos α ) < M sin(cos α ) < m

(B)

cos(sin α ) > M sin(cos α ) > m cos(sin α ) < M sin(cos α ) > m
D N A F M E B C

cos(sin α ) > M sin(cos α ) < m

(D)

7,矩形 ABCD 与矩形 ABEF 全等(见右图) ,D-AB-E 是直二

78 面角,M 为 AB 的中点,FM 与 BD 成 θ 角, sin θ = ,则 9 | AB | 的值是-----------------------( ) | BC |
(A)

3 2 2 (B) 2 3

(C) 1 +

2 2

(D)

2 2

8,扇形 OAB(纸片) 为圆心,M 为弧 AB 的中点,以扇形 OAB 为侧面卷成的圆锥的体积 ,O 为 V1,以扇形 OAM 为侧面卷成的圆锥体积为 V2,则有------------( ) (A)V1=2 V2(B)V1 > 2 V2(C)V1 < 2 V2(D)V1 与 2 V2 的大小不定 9, a , b, c 是三条两两异面的直线,与 a , b, c 都相交的直线的条数是------------( )
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(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数多 10, 多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的顶点. 用一个平面截一个 n 棱柱, ( n ≥ 3, n ∈ N ) ,截去一个三棱锥,剩下的多面体顶点的数目是-( ) (A) 2n 1,2n + 1 (C) 2n 1,2n + 1,2n + 2 二, 填空题 1,函数 y = (B) 2n 1,2n,2n + 1,2n + 2 (D) 2n + 1,2n + 2 .

2,线段 AB 的长为 10,A,B 与平面 α 的距离分别为 5,3,则 AB 的中点 M 与平面 α 的距离 是 . 3,设 f (lg x ) = x , x ∈ (1,+∞ ) ,则 f (lg lg x ) = . 4 , 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 R , 函 数 g ( x ) = f ( x ) + 2 f ( x ) , 已 知 g ( 5 ) = 3 , 则

1 的单调增区间是 x

g ( 5 ) =

.
2 2

5,当 θ 为锐角时,实数 a 使得 a 4a cos θ + 2 = a 4a sin θ 2 = 0 ,则 a 的值是 . 6,在各棱长度相等的三棱锥 A-BCD 中,AB,CD 是异面的棱,M,N 分别是 AB,CD 的中点, 则 MN 与 AD 所成角的度数是 . 7, 用 n 个棱长为 1 的正方体积木拼成一个棱长为 n 的正方体大积木.从一个位置看大积木 块,能看到的小正方体积木的数目的最大值是 . 8 , 用 [ x] 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 . 则
3

[sin 10°] + [sin 20° ] + [sin 30°] + + [sin 2000°] =

.

9 , 定 义 域 为 R 的 函 数 y = f ( x ) 的 值 域 是 R+ , 对 任 何 x ∈ R , 都 有

lg[ f ( x + 1)] + lg[ f ( x 1)] = 2 lg[ f ( x )] ,则 f ( x 2) f ( x + 2) = 10, sin x sin y = 1 cos x cos y ,则 (sin x + cos x ) (sin y + cos y ) 的值是
三, 解答题

. .

1, 奇函数 y = f ( x ) 的定义域为 R,当 x ≥ 0 时, f ( x ) = 2 x x 2 ,设函数 y = f ( x )

1 1 ( x ∈ [a , b]) 的值域为 [ , ] , (a ≠ b ) ,求 a , b 的值. b a

2,用四个边长分别为 a , b, c ( a > b > c > 0) 的锐角三角形可以拼成一个四面体,把拼成的任 何一个四面体的各棱用红,黄,蓝三色染色,每条棱染一色,每种色染两条棱.考虑一切经过 这样染色的四面体.如果经过适当转动,两个染色四面体完全重合,并且重合的对应棱同色时, 称这样的两个四面体是同一染色类.问:所有这样的染色四面体可分为几种染色类?

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