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全称量词与存在量词附答案


1.4 全称量词与存在量词(1)
第 1 课时:全称量词与存在量词 情景设计: 已知 p( x) : x ? x ? 2 ? 0 , q( x) :sin x ? cos x , (1)语句 p ( x) , q ( x ) 是命题吗?为什么? (2)如果在语句 p ( x) 或 q ( x ) 前面加上“对所有 x ? R ”或“存在一个 x ? R ” ,它们是命
2

题吗?为什么? 点拔提示: (1)在 x 未赋值之前,语句 p ( x) , q ( x ) 不能判断其真假,所以它们不是命题; (2)在语句 p ( x) 或 q ( x ) 前面加上“对所有 x ? R ”或“存在一个 x ? R ”后, p ( x) ,q ( x ) 的真假就能确定,所以它们是命题. 阅读与积累: 1.短语“__________” 、 “____________” 逻辑中称为全称量词,并用符号“_____” 表示。

? 对所有的 对任意一个 2.短语“__________” 、 “____________” 逻辑中称为存在量词,并用符号“_____” 表示。 存在一个 至少有一个 ? 3.含有全称量词的命题称为____________;含有存在量词的命题称为___________. 全称命题 特称命题 4.全称命题形式:_____________;特称命题形式:____________ 。 其中 M 为给定的集合, p(x)是一个关于 x 的命题。 ?x ? M , p( x) ?x ? M , p( x)
问题与思考: 题 1:判断下列命题是全称命题还是特称命题. (1)对任意的 n ∈Z, 2 n +1 是奇数 (2)所有的正方形都是矩形 (3)有的平行四边形是菱形 (4)有一个素数不是奇数 答案: (1) (2)都是全称命题 ; (3) (4)都是特称命题

题 2:

判断下列命题的真假吗?
4

(1) ?x ? N , 有x ? 1
2

(2) ?x ? R, 有x ? x ? 1 ? 0
2

(3) ?x ? R, 使x ? x ? 1 (4) ?x ? Z , 使x ? 5 答案:(1) 假命题 (2)真命题 (3) 真命题 (4) 假命题
2

[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法] 问题 1: 你能用符号“ ? ”与“ ? ”表达下列命题吗? ①自然数的平方大于或等于零_______________________________________ ② 圆 x ? y ? 1 上 存 在 一 个 点 到 直 线 y ? x ?1 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 ____________________________________________________________________ ③基本不等式:________________________________________________
2 2

④对于数列 ? 解:

? n ? ? ,总存在正整数 n ,使得 an 与 1 之差的绝对值小于 0.01 : ? n ? 1? x ? y ?1 2 2 2 ?1 ① ?x ? N , x ? 0 ; ② ?( x, y ) ? ?? x, y ? / x ? y ? 1? , 2 ? a?b ③ ?a, b ? R , ? ab ; ④ ?n ? N ? , an ? 1 ? 0.01 2

名师讲析: 一般地,全称命题写成“ ?x ? M , p( x) ” ,特称命题写成“ ?x ? M , p( x) ” ,其 中 M 为给定的集合,p(x)是一个关于 x 的命题。 问题 2:你能判定下列全称命题的真假吗? (1) p : 所有的自然数是正整数 (2) q : ? x ? R , ? x ? 2 x ? 1 ? 0
2

(3) r : 对每个有理数 x , x 一定是无理数 解: (1)? 0 是自然数,但不是正整数 , ?命题 p 为假命题 (2)? 因为 ? x ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 , ?命题 q 为真命题
2 2

(3)? 4 是无理数,但是 4 ? 2 是有理数 , ?命题 q 为假命题 名师讲析: 要判定全称命题“ ?x ? M , p( x) ”是真命题, 需要对集合 M 中每个元素 x , 题就是假命题 问题 3:你能判定下列特称命题的真假吗? (1) p : ? x ? R ,使 2 x ? x ? 1 ? 0 (2) q : 存在两条直线既不平行也不相交 ? ? (3) r : 有一个向量 a , a 的方向不能确定;
2



明 p ( x) 成立;如果在集合 M 中找到一个元素 x0 ,使得 p( x0 ) 不成立,那么这个全称命

解: (1) ?? ? (?1) ? 4 ? 2 ?1 ? ?7 ? 0 , ? 2 x ? x ? 1 ? 0 无解 ? 命题 p 为假命题 (2)?在空间中,两条直线为异面直线时,它们就既不平行也不相交, ? 命题 q 为真命题
2

2

(3)? 0 的方向不能确定, ? 命题 r 为真命题 名师讲析: 要判定特称命题 “ ?x ? M , p( x) ”是真命题,只需在集合 M 中找到一个元素

?

x0 ,使 p( x0 ) 成立即可,如果在集合 M 中,使 p ( x) 成立的元素 x 不存在,则特称命题
是假命题 [新理念典题探究] 题型一: 判断下列命题是全称命题还是特称命题。 例 1: 判断下列语句是不是命题,如果 k, , ,是,说明是全称命题还是特称命题.

(1) 中国的所有江河都流入太平洋; (2) 0 不能作除数; (3) 有一个实数 a , a 不能取对数;

(4) 每一个向量都有方向吗? 审题指导: 含有全称量词的命题称为全称命题;含有存在量词的命题称为特称命题.但要注

意有些命题可能省略了量词. 解析: (1) (2) (3)是命题, (4)不是命题,其中(1)全称命题; (2)既不是全称命题也 不是特称命题; (3)特称命题; 变式备选 2:判断下列语句是不是命题,如果 k, , ,是,说明是全称命题还是特称命题. (1) 任何一个实数除以 1,仍等于这个数; (2) 三角函数都是周期函数吗? (3) 有一个实数 x , x 不能取倒数;

(4) 有的三角形内角和不等于 180? 解: (1)全称命题; (2)不是命题; (3)特称命题; (4)特称命题; 题型二: 判断全称命题或特称命题的真假 例 2: (2004 年湖北,15)设 A、B 为两个集合.下列四个命题: ① A B ? 对任意 x∈A,有 x ? B; ②A B ? A∩B= ? ; ③A B ? A B; ④ A B ? 存在 x∈A,使得 x ? B. 其中真命题的序号是______________.(把符合要求的命题序号都填上) 审题指导: ①要判定一个特称性命题为真,只要在给定的集合中,找到一个元素 x,使 命题 p(x)为真;否则命题为假。 ②要判定一个全称命题为真,必须对给定的集合的每一个元素 x,p(x)都为真;但要 判断一个全称命题为假,只要在给定的集合内找出一个 x0,p(x0)为假。 解析:A B ? 存在 x∈A,有 x ? B,故①错误;②错误;④正确. 亦或如下图所示.

③A B ? A B 不成立的反例如下图所示. 反之,同理.
A B

B A ∩ B

A

? 真命题的序号是④
变式备选 2: (2005 年春季上海,15)设函数 f(x)的定义域为 R,有下列三个命题: ①若存在常数 M,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤M,则 M 是函数 f(x)的最大值; ② 若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,且 x≠x0,有 f(x)<f(x0) ,则 f(x0)是函数 f(x)的最大值; ③若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤f(x0) ,则 f(x0)是函数 f(x)的最 大值. 这些命题中,真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解:①错, 原因:可能“=”不能取到. ②③都正确,选 C. [思维创新] 探究课题:设语句 q( x) : x ? 1 ? 1 ? x

(1) 写出 q(1), q(2), 并判断它是不是真命题. (2) 写出“ ? a ? R , q(a) ” ,并判断它是不是真命题. (3) 写出“ ? a ? R , q(a) ” ,并判断它是不是真命题. 分析: 语句 q ( x ) 不是命题, 给 x 赋值 1, 2, 则成为命题 q(1), q(2), 判断其真假, 即看 x ? 1, 2 时,等式 x ? 1 ? 1 ? x 是否成立;要判断一个全称命题为假命题,只要举出一个反例即可; 要判断一个特称命题为真命题,只要举出一个例子即可. 答案:(1)

q (1): 1 ? 1 ? 1 ? 1 , 真命题; q(2): 2 ? 1 ? 1 ? 2 , 假命题
由(1)知 q (2) 为假命题,所以“ ? a ? R , a ? 1 ? 1 ? a ”为假命题

(2) ? a ? R , a ? 1 ? 1 ? a (3) ? a ? R , a ? 1 ? 1 ? a 由(1)知 q (1) 为真命题,所以“ ?a ? R , a ? 1 ? 1 ? a ”为真命题 [思维误区警示] 例题:考察以下推导:设 a ? b ,则有 a ? ab
2
2 ? a 2 ? b2 ? a b ? b ? (a ? b)(a ? b) ? b(a ? b) ? a?b ? b ? 2b ? b ? 2 ?1

以上推导错在哪里?请你从逻辑角度去找出问题并分析原因. 走出误区: 由 a ? b 命题真,可以导出以下三个命题真: a ? ab , a ? b ? ab ? b (a ? b)(a ? b) ? b(a ? b) . 但下一步导出 a ? b ? b 是错误的,由于它引用了一个不真的全称
2
2 2 2

命题, “ ?d ? R ,等式两边可以除以 d ” (因为 d ? 0 时它是假命题) . 同样的错误是由 2b ? b 导出 2=1 评注: 全称命题为真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某性质,使所给语句真. 因 此, 当给出限定集合中的任一个特殊元素时, 自然应导 “这个特殊元素具有这一性质” (类 似于“代入”思想) ;例如,由于“ ?a , b ? R , (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b ”真,因
2 2 3 3

此,当 a ? 2, b ? 3 时, (2 ? 3)(4 ? 6 ? 9) ? 2 ? 3 自然是正确的,以上思想要注意准确 理解并运用.
3 3

[课时标准测控] 时量 30 分钟,满分 30 分 1.下列全称命题中真命题为( ) A. 一次函数都是单调函数 C. 任何一条直线都有斜率 答案: A

B. ?x ? ? x / x是无理数?,x ? 3 是有理数
2

D. ?a ? ? , b // ? , 都有a // b

2.下列特称命题中假命题为( ) A. 空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直 B. 仅存在一个实数 b2 ,使得 ?9, b1 , b2 , b3 , ?1 成等比数列 C. 存在实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,使得 3 ? 3 的最小值是 6
a b

D. ?a ? (?4, 0], ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 答案: A
2

3.判断下列语句是不是命题,如果 k, , ,是,说明是全称命题还是特称命题.

(1) 有一个实数 a , a 不能取对数; (2) 存在一个函数 f ( x) ,使 f ( x) 既是奇函数又是偶函数; (3) 对任何实数 a , b , c ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 都有解;

(4) 平面外的所有直线中,有一条直线和这个平面垂直吗? 答案: (1) (2) (3)是命题,其中(1) (2)是特称命题, (3)是全称命题, (4)为疑问句, 不是命题. 4.用量词符号“ ? , ? ”表示下列命题: (1)有的实数不能写成小数形式; (2)凸 n 边形的外角和等于 2? ; (3)任一个实数乘以 ?1 都等于它的相反数; (4)对任意实数 ? ,都有 sin ? ? cos ? ? 1 解: (1) ? x ? R , x 不能写成小数形式;
2 2

(2) ? x ? {凸 n 边形}, x 的外角和等于 2? ; (3) ? x ? R , x ? (?1) ? ? x ; (4) ?? ? R , , sin ? ? cos ? ? 1 5.判断下列命题的真假:
2 2

(1) ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ;
2

1 2 1 x ? x ? 1 是有理数; 3 2 (3) ?? , ? ? R ,使 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ; (4) ? x , y ? Z , 使方程 3x ? 2 y ? 10 ; (5) ? a , b ? R , ,方程 ax ? b ? 0 恰有一个解 1 2 3 2 解: (1)? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? ? 0 ? 命题为真命题 2 4
(2) ? x ? Q , (2)命题为真命题 (3)?? ? ? ? 0 时, sin(? ? ? ) ? 0 , sin ? ? sin ? ? 0 ;

? sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? , ?命题为真命题 (4)? x ? y ? 10 时, 3x ? 2 y ? 10 ,?命题为真命题 (5)? a ? 0, b ? 1 时, ax ? b ? 1 ? 0 ,?a ? 0 , b ? 1 时, ax ? b ? 0 无解 ? 命题为假命题 ? 6.设语句 q( x) : sin( x ? ) ? cos x. 2
(1)写出 q ( ) ,并判断它是否为真命题? 2

?

(2)写出“ ?? ? R , q(? ) ” ,并判定它是否为真命题? (3)写出“ ?? ? R , q(? ) ” ,并判定它是否为真命题? 解: (1) q ( ) : sin(

?

?

2

? ) ? cos ,即 sin 0 ? cos 为真命题 2 2 2 2

?

?

?

(2) ?? ? R , (3) ?? ? R ,

sin( x ? ) ? cos x. 由(1)知,它为真命题 2 sin( x ? ) ? cos x. 2

?

?

?当? ? 0时 ,sin(0- ) ? ?1, 而 cos ? 0 ,? 它为假命题. 2 2 第 2 课时:含一个量词的命题的否定
课时栏目: [自主学习与问题发现] 情景设计: 对于下列命题:(1)所有的人都喝水;(2) ?a ? R ,| a | ? 0 ; (3)某些平行四边形 是矩形;(4) ? x ? Q ,使 x ? 3 ? 0 ; 上述命题属什么命题?试对上述命题进行否定、你发现有何规律? 点拔提示:命题(1)的否定为:并非所有的人都喝水,或:至少存在一个人不喝水; 命题(2)的否定为: “ ? a? R ,都有 | a |? 0 ” 命题(3)的否定为:每一个平行四边形都不是矩形;
2

?

?

命题(4)的否定为“ ?x , x ? 3 ? 0 ” ; 注意命题被否定后,原来的全称量词要变为存在量词,而原来的存在量词要变为全 称量词
2

阅读与积累: 1. 全称命题 p: ?x ? M , p( x) 的否定 ? p:____________;全称命题的否定____________

?x ? M , ?p( x) 特称命题 2. 特称命题 p: ?x ? M , p( x) 的否定 ? p:____________;特称命题的否定____________
?x ? M , ?p( x)

全称命题

问题与思考:

题 1: 设集合 M ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? , 试写出下列命题的非(否定): (1) ? n ? M , n ? 1 ; (2) ? n 是质数,使 n ? M 答案: (1) ? n ? M , 使 n ? 1 . (2) ? n ? {质数}, n ? M

题 2:写出下列命题的非,并判断它们的真假: (1) 任意实数 x ,都是方程 3x ? 5 ? 0 的根; (2 ) ? x ? R , x ? 0
2

(3 ) ? x ? R , x ? 2 ? 0
2

(4 ) ? x? R , x 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的根
2

答案:(1) 命题的非: ? x? R , 使 3x ? 5 ? 0 . ? x ? 3 时, 3 ? 3 ? 5 ? 0 , ? 命题的非为真. (2) 命题的非: ? x ? R , 使 x ? 0 . ? x ? 0 时, 0 ? 0 , ? 命题的非为真.
2

2

(3) 命题的非: ? x ? R , 使 x ? 2 ? 0 . ? x ? 1 时, x ? 1 , ? 命题的非为假.
2

2

(4) 命题的非: ?x? R , x 不是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的根. ? x ? 1 时, 1 ? 3 ?1 ? 2 ? 0 , ? 命题的非为假.
2 2

[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法] 问题 1:你能写出下列命题的非? (1) p :矩形有一个外接圆. (2) q :若 3 是有理数, 则 4>3. (3) r :存在角 ? ,使 tan ? ? cot ? ? 1 . 解: (1)

? p :存在矩形没有外接圆. (2) ? q :若 3 不是有理数, 则 4 ? 3. (3) ? r : ?? ? R , tan ? ? cot ? ? 1

名师讲析: 求命题的非的时候,要注意原命题中是否有省略的量词,要理解原命题的本质 含义. 问题 2:你能写出下列命题的非,并判断它们的真假吗? (1) p :对所有的正实数 p ,

p 为正数且 p ? p .

2 (2) q :存在实数 x ,使得 x ? 1 ? 1 或 x ? 4

1 2 1 x ? x ? 1 是有理数 3 2 解: (1) ? p : ? p ? R? , p ? 0 或 p ? p . ? p 为真命题.
(3) r : ? x ? Q, (2) (3)

? q : ? x ? R ,都有 x ? 1 ? 1 且 x2 ? 4 . ? q 为假命题.
? r : ? x ? Q, 1 x 2 ? 1 x ? 1不是有理数. ? r 为假命题.
3 2

名师讲析: 当命题的非的真假不易判断时,可以转化为去判断原命题的真假,当原命题为真 时,命题的非为假,当原命题为假时,命题的非为真. 问题 3:你能举反例说明下列命题是假命题吗? (1 ) ? a , b? R , 方程 ax ? b 都有唯一解; (2 ) ? x ? R , 都有 x ? 1 ? x ? 1 (3 ) ? x ? R , x ? x
2

解: (1)如 a ? 0, b ? 1等; (2)如 x ? ?2 等; (3)如 x ? ?1 等 名师讲析: 要判定全称命题“ ?x ? M , p( x) ”是假命题,只需在集合 M 中找到一个元素

x0 ,使得 p( x0 ) 不成立.
[新理念典题探究] 题型一: 写出全称命题的非, 并判断其真假 例 1:写出下列全称命题的非, 并判断其真假 (1) p : ? x ? R , 2 x ? 1 ? 0 (2) q : ? x ? R , x ? x ?
2

1 ?0 4

(3) r :所有的正方形都是矩形 (4) s :一切分数都是有理数 审 题 指 导 : 注意命 题被否 定后, 原来的 全称命题 要变为 特称命 题, 在判 定全称 命题 “ ?x ? M , p( x) ”是真命题,需要对集合 M 中每个元素 x , 证明 p ( x) 成立;如果在

集合 M 中找到一个元素 x0 ,使得 p( x0 ) 不成立,那么这个全称命题就是假命题 解: (1) (2)

? p : ? x ? R , 使 2x ? 1 ? 0 .
4
.

? p 为真命题 ? q 为假命题

? q : ? x ? R , 使x 2 ? x ? 1 ? 0
这是由于 ? x ? R , x 2 ? x ?

1 1 ? ( x ? )2 ? 0 恒成立 4 2 (3) ? r :至少存在一个正方形不是矩形. ? r 为假命题. (4) ? s :有些分数不是有理数;或: ? x ? {分数},使 x ? Q .
变式备选 1:判断下列全称命题的真假, 并写出其否定: (1) p :对所有的正实数,都有 x ? x (2) q : ? x ? R , 2 x ? 3x ? 17
2

? s 为假命题.

解: (1)假命题,如 x ?

1 等. 其否定为: ? x ? R , x ? x 100 2 (2)假命题,如 x ? 1 等. 其否定为: ? x ? R , 2 x ? 3x ? 17

题型二: 写出特称命题的非, 并判断其真假 例 2:写出下列特称命题的非, 并判断其真假 (1) p : ? x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0
2

(2) q :至少有一个实数 x ,使 x ? 1 ? 0 (3) r :有些三角形是锐角三角形
3

(4) s : ? x ? R , x ? x ? x ? 2 审题指导 : 注意命题被否定后,原来的特称特称命题要变为全称命题,要判定特称命题 “ ?x ? M , p( x) ”是真命题,只需在集合 M 中找到一个元素 x0 ,使 p( x0 ) 成立即可,
2

如果在集合 M 中,使 p ( x) 成立的元素 x 不存在,则特称命题是假命题 解: (1) (2)

(3) 为假命题 (4)

? p : ? x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 . ? p 为真命题 ? q : ? x ? R , x3 ? 1 ? 0 . ? q 为假命题. 这里由于 x ? ?1 时, x3 ? 1 ? 0 . ? r: 所有三角形不是锐角三角形; 或? r : ? x ?{三角形},x ? {锐角三角形}. ? r

? s : ? x ? R , x 2 ? x ? x ? 2 . ? r 为假命题

变式备选 2:判断下列特称命题的真假, 并写出其否定: (1) p : ? x ? R , x ? 2 ? 2 (2) q : ? x ? R , x ? 4 x ? 5 ? 0
2

解: (1)真命题,如 x ? 0 等. 其否定为: ? x ? R , x ? 2 ? 2 (2)真命题,如 x ? 1 等. 其否定为: ? x ? R , x ? 4 x ? 5 ? 0
2

[思维创新] 探究课题:证明命题“ ? x ? R , ? y ? R , 使 x( y ? 1) ? 2 ”为假命题. 分析: 从整体看,这是一个全称命题,要证明它是假命题,只需举出一个反例即可.

答案: 如 x ? 0 , 则 ? y ? R , x( y ? 1) ?

2 都不成立. 这说明命题 “? x? R, ? y ? R , 使

x( y ? 1) ? 2 ”为假命题.
[思维误区警示]

1 ? 0 ,求 ? p 和 ? q 对应的 x 值的集合. x ?x?2 典型错解: 由 p : 3 x ? 4 ? 2 得 ? p : 3x ? 4 ? 2
例题:已知 p : 3x ? 4 ? 2 , q :
2

? 2 ? 即 2 . ? p : ? x ? x ? 2? . ? 3 ? 1 1 由 q: 2 ? 0 得 ?q : 2 ? 0 ,? ? 1 ? x ? 2 . 即 ? x ?1 ? x ? 2? x ?x?2 x ? x?2 走出误区: 若条件 p 中的元素,组成的集合为 M,那么对 p 的否定 ? p 组成的集合就是 M 1 1 的补集, 在上例中, 学生容易出现由由 q : 2 ? 0 得 ?q : 2 ? 0 的错误, x ?x?2 x ? x?2 应先求出满足 q 的 x 的值,再求其补集.

? ? 2 ? 3x ? 4 ? 2? ,

2 ?x? 3

正确解答: 由 p : 3 x ? 4 ? 2 得 ? p : 3x ? 4 ? 2

? ? 2 ? 3x ? 4 ? 2? ,
由 q:
2

2 ?x? 3

? 2 ? 即 2 . ? p : ? x ? x ? 2? . ? 3 ?

1 ? 0 得 q : x ? 2 或 x ? ?1 , x ?x?2 ? ?q : ? 1 ? x ? 2 . 即 ? x ?1 ? x ? 2?
[课时标准测控] 时量 30 分钟,满分 30 分 1. 对下列命题的否定错误的是 ( ) A. p: 负数的平方是正数; ?p :负数的平方不是正数 B. p: 至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; ?p :每一个整数,它是合数或素数 C. p: ?x ? N , x ? x ; ?p : ?x ? N , x ? x D. p: 2 既是偶数又是素数 ?p :2 不是偶数或不是素数 答案: A
3 2 3 2

2.下列语句中,判断是真的个数是( ) ①全称命题“ ?n ? Z , 2n ? 1 是奇数”是真命题 ②特称命题“ ?x ? R , x 是无理数”是真命题 ③命题“ ?n ? Z , 2n ? 1 是奇数”的否定是“ ?n ? Z , 2n ? 1 不是奇数”
2

④命题“ ?x ? R , x 是无理数”的否定是“ ?x ? R , x 是有理数” (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答案: D
2 2

3. 设集合 A ? ?1, 2, 4, 6, 8, 10, 12? , 试写出下列命题的否定,并判断其真假: (1) p : ? n ? A , n ? 12 ; (2) q : ? n ? {奇数},使 n ? A 解: (1) ? p : ? n ? A , 使 n ? 12 , ? p 为真命题 (2) ? q : ? n ? {奇数}, n ? A

4.写出下列命题的否定: (1)存在一个三角形是直角三角形; (2)至少有一个锐角 ? ,使 sin ? =0; (3)在实数范围内,有一些一元二次方程无解; (4)不是每一个都会开车 解: (1)任意三角形都不是直角三角形; (2)对一切锐角 ? , sin ? ? 0; (3)在实数范围内,所有一元二次方程都有解; (4)每一个都会开车 5.写出下列命题的非,并判断它们的真假: (1) 任意的实数 x ,都是方程 3x ? 7 ? 0 的根 (2 ) ?x ? R , ( x ? 1) ? 0
2

(3) ? x ? R , 2 x ? 4
2

(4) ? x ? R , x 是方程 x ? 2 x ? 3 的根
2

解:

(1) 命题的非: ?x ? R ,使 3x ? 7 ? 0 , ? x ? ?

?命题的非为真命题 2 2 (2 ) 命题的非: ?x ? R ,使 ( x ? 1) ? 0 ,? x ? 0 时, (?1 ? 1) ? 0 , ?命题的非为真命题 2 2 (3)命题的非: ? x ? R , 2 x ? 4 ,? x ? 2 时, 2 x ? 4 , ?命题的非为假命题 2 (4)命题的非: ? x ? R , x 不是方程 x ? 2 x ? 3 的根, ? x ? 3 时, x2 ? 2 x ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 ,?命题的非为假命题
6. 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假: (1) ? n ? N ,若 n 是完全平方数,则 n ? N ; (2) ? a , b ? R ,若 a ? b ,则 a ? ab ;
2

7 时, 3x ? 7 ? 0 , 3

(3) ? x , q ? R ,若 q ? 0 ,则 x ? x ? q ? 0 有实根;
2

(4) ? x , y ? R ,若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ; 解: (1)逆命题: ? n ? N ,若 n ? N ,则 n 是完全平方数(真) ; 否命题: ? n ? N ,若 n 不是完全平方数,则 n ? N ; (真) ; 逆否命题: ? n ? N ,若 n ? N ,则 n 不是完全平方数(真) ; (2)逆命题: ? a , b ? R ,若 a ? ab ,则 a ? b ; (假) ;
2

否命题: ? a , b ? R ,若 a ? b ,则 a ? ab ; (假) ;
2

逆否命题: ? a , b ? R ,若 a ? ab ,则 a ? b ; (真) ;
2

(3)逆命题: ? x , q ? R ,若 x ? x ? q ? 0 有实根,则 q ? 0 ; (假) ;
2

否命题: ? x , q ? R ,若 q ? 0 ,则 x ? x ? q ? 0 无实根; (假) ;
2

逆否命题: ? x , q ? R ,若 x ? x ? q ? 0 无实根,则 q ? 0 ; (真) ;
2

(4)逆命题: ? x , y ? R ,若 x ? 0 或 y ? 0 ,则 xy ? 0 ; (真) ; 否命题: ? x , y ? R ,若 xy ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0 ; (真) ; 逆否命题: ? x , y ? R ,若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 xy ? 0 ; (真) ;


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