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2014届新课标高中数学(文)第一轮总复习第8章第47讲 圆的方程[2014高考数学]


圆的标准方程
【例1】求过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0
的交点且面积最小的圆的方程.

【解法 1】因为通过两个定点的动圆中,面积最小的是
以此二定点为直径端点的圆,于是解方程组
?2x+y+4=0 11 2 ? 2 , 得交点 A(- 5 ,), 利 2 5 B(-3,2). ?x

+y +2x-4y+1=0

11 2 用圆的直径式方程得(x+ 5 )(x+3)+(y-5)(y-2)=0, 化 13 2 62 4 简整理得,(x+ 5 ) +(y-5) =5.

【解法 2】令过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x
-4y+1=0 交点的圆系方程为:2+y2+2x-4y+1+λ(2x x +y+4)=0, 即 x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0. 1 r=2 4?1+λ?2+?4-λ?2-4?1+4λ? 1 =2 8 2 16 5?λ-5? + 5 .

8 2 当 λ=5时,rmin= , 5 13 2 62 4 所求方程为(x+ 5 ) +(y-5) =5.

【解法 3】令动圆的方程为:x2+y2+2(1+λ)x- (4-λ)y+1+4λ=0, 4-λ 圆心为(-(1+λ), 2 ),代入 2x+y+4=0,- 4-λ 8 2(1+λ)+ 2 +4=0,λ=5. 26 12 37 代入动圆的方程得 x +y + 5 x- 5 y+ 5 =0.
2 2

法一直接求出直线与已知圆的交点,以这 两个交点作为直径的端点时圆的半径最小.法 二是利用圆系方程处理过直线和圆的交点的圆 的方程,然后利用函数的思想求最值.法三从 垂径定理的角度出发,得到圆的圆心到已知直 线距离最小时所求圆的半径最小,此时圆面积 最小,所以当所求圆的圆心在直线2x+y+4=0 上时,圆的半径最小,面积最小.

【 变 式 练 习1】 一 个 圆 与 y 轴 相 切 , 圆 心 在 直 线 x- 3 y= 0 上 , 且 在 直 线 y= x 上 截 得 的 弦 长 为 2 7, 求此圆的方程.

【 解 析 】 设 圆 的 圆 心 坐 标 为 O ( a, b ), 半 径 为 r . 因 为 圆 心 在 直 线 x- 3 y= 0 上 , 所 以 a= 3 b . 又 圆 与 y轴 相 切 , 所 以 r = a . 所 以 所 求 圆 的 方 程 可 设 为 ( x- 3 b ) + ( y- b ) = ? 3 b ?
2 2 2 2 2

因 为 圆 在 直 线 y= x 上 截 得 的 弦 长 为 2 7 所 以 圆 心 到 直 线 y= x的 距 离 d= | 2b | 2 解 得 b=1 或 b= - 1 , 则 a= 3 或 a= - 3. 所 以 所 求 圆 的 方 程 为 ( x- 3) + ( y- 1) = 9 或 ( x+ 3) + ( y+ 1 ) = 9.
2 2 2 2



r ? ? 7 ? = 9b ? 7
2 2 2

圆的一般方程
【例1】 已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只 有一个,求a的值及圆的方程.

【解析】设所求圆的方程为 x + y + D x+ E y+ F = 0 . 因 为 点 A、 B 在 此 圆 上 , 所 以 E + F + 1 = 0, ① 4 D + a E + F + a + 1 6 = 0, ② 又 知 该 圆 与 x 轴 ( 直 线 y= 0 ) 相 切 , 所 以 由 ? = 0, D - 4 F = 0, ③
2 2 2 2

由 ① 、 ② 、 ③ 消 去 E、 F 可 得 : 1 4 (1 - a ) D + 4 D + a - a+ 1 6 = 0, ④
2 2

由题意方程④有唯一解, 当 a=1 时 , D = - 4 , E = - 5 , F = 4 ; 当 a ? 1 时 , 由 ? = 0 可 解 得 a= 0, 这 时 D = - 8 , E = - 1 7 , F =1 6. 综 上 可 知 , 所 求 a的 值 为 0 或 1. 当 a= 0时 , 圆 的 方 程 为 x + y - 8 x- 1 7 y+ 1 6 = 0; 当 a=1 时 , 圆 的 方 程 为 x + y - 4 x- 5 y+ 4 = 0 .
2 2 2 2

与坐标轴相切时圆的方程求解及其 参数的求解问题,方程形式选用要灵 活.如果已知圆心、半径或圆心到直线 的距离,通常可用圆的标准方程;如果 已知圆经过某些点,通常采用圆的一般 式方程.

【变式练习2】 已知方程x2 +y2 -2(m+3)x+2(1-4m2)y +16m4+9=0表示的图形是一个圆. (1)当圆的面积最大时,求圆的方程; (2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内,求实数 m的取值范围.

【 解 析 】 1 ? 将 方 程 x + y - 2 ( m + 3) x+ 2 (1 - 4 m ) y+1 6 m + 9 = 0 ?
2 2 2 4

化 为 ( x- m - 3) + ( y+ 1 - 4 m ) = - 7 m + 6 m +1. 要使圆的面积最大,需半径最大 而 r = - 7 m + 6 m+1 = - 7 ( m-
2 2

2

2

2

2

3 7

) +

2

16 7



它是一个一元二次函数,其图象的开口向下. 因为- 1 7 此 时 圆 的 方 程 为 ( x- 24 7
2

? m ? 1 , 所 以 当 m=

3 7

时,r 取得最大值 13 49 ) =
2

2

16 7

) + ( y+

16 7
2 2 4

? 2 ?当 且 仅 当 3
2

2

+ ? 4m

2

?

2

- 6 ( m + 3)+ 2 (1 - 4 m ) 4 m + 1 6 m + 9 ? 0 3 4 时 , 点 P在 圆 内 .

即 8 m - 6 m ? 0, 即 0 ? m ?

与圆有关的轨迹问题
【 例 3】 如 图 , O 1与 ? O 2的 半 径 都 是 1 , ? O 1O 2= 4 , 过 动 点 P 分 别 作 ? O 1、 ? O 2的 切 线 P M 、 P N ( M 、 N 分 别 为 切 点 ), 使 得 P M = 2PN, 试 建 立 适 当 的

坐 标 系 , 求 动 点 P的 轨 迹 方 程 .

【 解 析 】 以 O 1O 2的 中 点 O 为 原 点 , O 1O 2 所 在 的 直 线 为 x轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 O 1 (- 2 , 0 ), O 2 ? 2 , 0 ? , 由 已 知 PM = 2 P N , 得 P M = 2P N ,
2 2

因 为 两 圆 的 半 径 均 为1 , 所 以 P O 1 - 1 = 2 ( P O 2 - 1). 设 P ( x, y ), 则 ( x+ 2 ) + y - 1 = 2[( x- 2 ) + y -1], 即 ( x- 6 ) + y = 3 3 , 所 以 所 求 轨 迹 方 程 为 ( x- 6 ) + y = 3 3 ( 或 x + y - 1 2 x+ 3 = 0 ).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

求轨迹方程的步骤通常可以简化为 (1)建系,设点; (2)列式; (3)化简.坐标系的选取决定着方程化简 的繁简,设点时,通常求哪个点的轨迹 方程,就假设那个点的坐标为(x,y),同 时,解题中还需区分轨迹方程与轨迹.

【变式练习 3】设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2
+y2 =4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹.

【解析】如图所示,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP
x0-3 y0+4 x y 的中点坐标为(2, ), 线段 MN 的中点坐标为( 2 , 2 ). 2 因为平行四边形的对角线互相平分, x x0-3 y y0+4 故2= 2 ,2= 2 ,
?x0=x+3 从而? ,N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y ?y0=y-4

-4)2=4.

因此所求轨迹为圆(x+3)2 +(y-4)2 =4,但应除去两 9 12 21 28 点:(-5, 5 )和(- 5 , 5 )(点 P 在 OM 所在直线上时的情 况).

与圆有关的最值问题
【 例 4】 已 知 实 数 x、 y 满 足 方 程 x + y - 4 x+ 1 = 0 .求 : (1) y x 的最大值和最小值;
2 2

? 2 ? y- x的 最 大 值 和 最 小 值 ; ?3? x + y 的 最 大 值 和 最 小 值 .
2 2

【 解 析 】 原 方 程 化 为 ( x- 2 ) + y = 3 , 它 表 示 圆 心 为 ? 2, 0 ?, 半 径 为 3的 圆 .

2

2

?1 ?

y x

表 示 圆 上 的 点 ( x, y ) 与 原 点 连 线 的 斜 率 .
2 2

过 原 点 作 圆 ( x- 2 ) + y = 3 的 切 线 , 则两切线的斜率分别是最大值和最小值. 通过画图可求得 y x 的最大值为 3, 最 小 值 为 - 3

? 2 ? 令 y- x= m, 则 将 y= x+ m 代 入 方 程 x + y - 4 x+1 = 0,
2 2

并 化 简 , 得 2 x + 2 ( m - 2 ) x+ m + 1 = 0 . 因 为 点 ( x, y ) 在 圆 和 直 线 上 , 即 上 述 方 程 有 实 数 解 , 所 以 ? = 4 ( m - 2 ) - 8 ( m + 1)= 4 (- m - 4 m + 2 ) ? 0,
2 2 2

2

2

解 得 - 2-

6 ? m ? - 2+

6, 6, 最 小 值 为 - 2 - 6

所 以 y- x的 最 大 值 为 - 2 +

? 3 ? 过 原 点 和 圆 心 的 直 线 与 圆 交 于 两 点 A、 B,
则 O A = 3+ 2 , B = 2 - 3 O 所 以 x + y 的 最 大 值 为 ( 2 + 3 ) = 7 + 4 3, 最 小 值 为 (2- 3 ) =7- 4 3
2 2 2 2

涉及到圆上的点(x,y)的最大值和最小值 问题,可借助于图形,了解所求量的几何意义, 用数形结合来解.

有下列几类:①

y ?b x? a

就是圆上的点(x,y)与点(a,b)的连线的斜率; ②y-x就是直线y=x+m在y轴上的截距; ③y+x是直线y=-x+m在y轴上的截距; ④(x-a)2+(y-b)2就是圆上的点(x,y)与点(a,

b)的距离的平方.

【变式练习4】 求圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+2=0 的最近、最远距离.
【 解 析 】 由 圆 的 方 程 ( x- 2 ) + ( y+ 3) = 4 易 知 圆 心 坐 标 为 ( 2 , - 3), 半 径 r= 2.而 ( 2 , - 3) 到 直 线 x- y+ 2 = 0的 距 离 为 |2?3? 2| 2 = 7 2 7 2 最近距离为 7 2 2 - 2. 2 + 2, 2
2 2

故圆上的点到直线的最远距离为

1.点P(2,-1)是圆(x-1)2+y2=25内弦AB的中 x-y-3=0 点,则直线AB的方程为______________
【 解 析 】 依 题 意 , 圆 心 坐 标 为 O ? 1, 0 ? , 所 以 直 线 A B的 斜 率 k= - 1 kOP =2 ?1 ?1 ?1

由 点 斜 式 得 直 线 A B的 方 程 为 y+1 = x- 2 , 即 x- y- 3 = 0 .

2.若 a ? {- 2 , 0 ,1 }, 方 程 x + y + a x+ 2 a y+ 2 a 4
2 2

3

2

1 + a- 1 = 0 , 表 示 的 圆 的 个 数 为 _ _ _ _ _ _ _   .
【 解 析 】 由 a + ? 2 a ? - 4 ( 2 a + a-1) ? 0, 得 - 2 ? a
2 2 2

?
2

2 3

, 故 满 足 条 件 的 a 只 有 一 个 , 即 a= 0, 则 方 程
2 2

x + y + a x+ 2 a y+ 2 a + a-1 = 0 表 示 的 圆 的 个 数 为 1.

3.若圆C:x2 +y2 +2x-4y+1=0关于直线l: 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取 值范围是
1 (- ? , ] ______________ 4

【 解 析 】 圆 C 的 圆 心 坐 标 为 (- 1, 2 ), 则 有 a+ b= 1 , 所 以 ab ? ( a?b 2 ) =
2

1 4



1 即 a b的 取 值 范 围 是 (- ? , ] 4

y 4.如果实数 x、y 满足(x-2)+y =3,那么x的最大值
2



3

.

y 【解析】方法 1:设直线 l:y=kx,则x表示直线 l 的斜率,直线 l 与圆(x-2)2+y2=3 相切时,斜率为最大 或最小,所以只要求圆心到直线距离为半径即可.
?x=2+ 3cosθ 方法 2:设圆的参数方程:? , ?y= 3sinθ

3sinθ y 则 x= 据三角知识求解. 2+ 3cosθ

??x-2?2+y2=3 y 方法 3:设x=t,则? 只要解方程组, ?y=tx

利用 Δ=0 可得解.

方法 4:如图,联结圆心 C 与切点 M,则由 OM⊥ CM,又 Rt△OMC 中,OC=2,CM= 3, y MC 所以 OM=1,得x=OM= 3.

2 5.已 知 : 以 点 C ( t, )( t ? R , t ? 0 ) 为 圆 心 的 圆 与 x 轴 t 交 于 点 O , A, 与 y 轴 交 于 点 O , B, 其 中 O 为 原 点 . ? ? 1 ? 求 证 :O A B的 面 积 为 定 值 ;

? 2 ? 设 直 线 y= - 2 x+ 4 与 圆 C 交 于 点 M , N ,
若 O M = O N , 求 圆 C的 方 程

【 解 析 】 因 为 圆 C 过 原 点 O, 所 以 O C = t + (1) 设 圆 C 的 方 程 是 ( x- t ) + ( y- 令 x= 0, 得 y 1= 0, y 2= 所 以 S ? O A B= 1 2 4 t
2

2

2

4 t
2

2 t

) =t +

2

2

4 t
2

; 令 y= 0, 得 x1= 0, x 2= 2 t, 1 2 ?| 4 t | ? 2t =4,

O A ? O B=

即 ? O A B的 面 积 为 定 值 .

? 2 ?因 为 O M = O N , C M = C N , 所 以 O C的 垂 直 平 分 线 段 为 M N .
因 为 k M N = - 2 , 所 以 k O C= 1 2 , 所 以 直 线 O C 的 方 程 是 y= 1 2 x.

所以

2 t



1 2

t, 解 得 : t= 2 或 t= - 2 ,

当 t= 2 时 , 圆 心 C 的 坐 标 为 ? 2 ,1 ? , O C = 5, 此 时 C 到 直 线 y= - 2 x+ 4 的 距 离 d = 圆 C 与 直 线 y= - 2 x+ 4 相 交 于 两 点 . 当 t= - 2 时 , 圆 心 C 的 坐 标 为 (- 2 , - 1), O C = 5, 此 时 C 到 直 线 y= - 2 x+ 4 的 距 离 d = 9 5 圆 C 与 直 线 y= - 2 x+ 4 不 相 交 , 所 以 t= - 2 不 符 合 题 意 舍 去 . 所 以 圆 C 的 方 程 为 ( x- 2 ) + ( y- 1) = 5.
2 2

1 5

?

5,

?

5,

1.在讨论含有字母参变量的圆方 程问题时,始终要把“方程表示圆的条 件”作为首要条件,也可以理解为“定 义域优先”的拓展.

2.圆的标准方程和一般方程都含有三 个参数,因此,要具备三个独立已知条件 才能确定一个圆.求圆的方程时,若能根 据已知条件找出圆心和半径,则可直接用 标准形式写出圆的标准方程;若已知条件 与圆心、半径关系不大,则用一般式方 便.如果通过点才方便解题或问题是求与 圆上的点有关的最值问题,可考虑用圆的 参数方程.

3.求圆的方程的方法: (1)几何法,即通过研究圆的性质,以及点和圆、 直线和圆、圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本 量(圆心、半径)和方程; (2)代数法,即用“待定系数法”求圆的方程, 其一般步骤是: ①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方 程(当然有时也可以选择参数方程); ②利用条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F的对应的值,代入圆的标 准方程或一般方程.

4.在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的 特殊几何性质,这样会使问题简单化.圆的常用几何 性质为: (1)直径所对的圆周角为直角,这样有勾股定理, 斜率的乘积为-1可用; (2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦,这样有 勾股定理、斜率的乘积为-1和弦的垂直平分线过圆 心,以及圆心到弦所在直线的距离公式可用; (3)圆心和切点的连线垂直于切线,这样有圆心 到切线的距离等于半径、斜率的乘积等于-1可用.


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