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中等职业学校对口升学考试数学模拟试题(一)


中等职业学校对口升学考试数学模拟试题(一)
(时间:120 分钟;分数:150 分)

一、选择题(12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合

A ? ?1, 2,3, 4?

,集合

B ? ?2, 4?

,则 A ? B ? (

) (D) ? )

(A) ?2, 4?

(B) ?1,3?

(C) ?1, 2,3, 4?

2.圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为 ( (A) ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 (C) ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 3. (2x ? x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是( (A)6 (B)12

(B) x2 ? ( y ? 2)2 ? 5 (D) x2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ) (D)48

(C)24

4.在 ?ABC 中, a, B, C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三 b, c 分别为角 A, 角形一定是( ) (B)直角三角形 (D)等腰或直角三角形

(A)等腰直角三角形 (C)等腰三角形

5.已知实系数一元二次方程 x 2 ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 , x 2 , 且 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 ,则
1 (A) ( ?1,? ] 2 b 的取值范围是( ) a 1 1 (B) ( ?1,? ) (C) ( ?2,? ] 2 2

1 (D) ( ?2,? ) 2

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( (A) 3 (B) 11
开始

) .

(C) 38

(D) 123

a ?1
a ? a2 ? 2

a ? 10?
否 输出 a 结束



1

? ? 0.95x ? a , 7. 已知 x 、y 的取值如下表所示: 若 y 与 x 线性相关, 且y 则a ?





x
y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

(A) 2.2 (B) 2.9

(C) 2.8

(D) 2.6 ( D. 2 )

8. 设 A、 B 为直线 y ? x 与圆 x2 ? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |? (A)1 (B)2 C. 3

9.如下图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取 一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) (A) 1 4 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 2 3

第9题

10.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则 (A) l 与 C 相交 (C) l 与 C 相离





(B) l 与 C 相切 (D)以上三个选项均有可能
)条件

11.若 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a ? 1 ”的( (A)充分而不必要 (C)充要

(B)必要而不充分 (D)既不充分又不必要

2 2 12. 一束光线从点 A(?1, 到达圆 C: 1) 出发经 x 轴反射, (x - 2) ? (y - 3) ? 1上

一点的最短路程是( (A)4 (C)3 2 -1

) (B)5 (D)2 6

二.填空题(6 小题,每题 5 分,共 30 分) 13.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取一球,颜色为黑色的概率等于 .

2

( ? 2, 0) 14.已知直线 l 过点 ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时,其斜 率 k 的取值范围是 ______________________.

15.函数 y ? log 0.5 (4 x ? 3) 的定义域是____________.

? ? ? ? 16. 若向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 a ? b 等于_____________.
? x, x ? 0, 17. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 则 f ( f (2)) = ? x ? 5, x ? 0,



?x ? y ? 3 ? 18. 设 x 、 y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?y ? 0 ?

.

三.解答题(6 小题,共 60 分)

? 1? 19. (8 分) 已知不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?2 ? x ? ? ? , 求 a , b 的值; 4? ?

20. (8 分) 若函数 f ( x) ? ax2 ? 6ax ? 9 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范 围.

3

21.(10 分)用定义证明函数 = ?5 ? 3 在 上是减函数.

22. ( 10 分)已知椭圆 C :
3 1 ( , ) .求椭圆 C 的方程. 2 2

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 2 a b 3

4

23.(12 分)
如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,

AB ? BC , D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ; (2) 求四棱锥 B ? AAC 1 1 D 的体积.

5

24.(12 分)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 ,圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 ,由两圆外一点
P(a, b) 引两圆切线 PA、PB,切点分别为 A、B,满足|PA|=|PB|.

(Ⅰ)求实数 a、b 间满足的等量关系; (Ⅱ)求切线长|PA|的最小值;

B P

A

6

模拟试题(一)参考答案
一.选择题(12 小题,每题 5 分,共 60 分) 1.A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.A 12.A 二.填空题(6 小题,每题 5 分,工 30 分) 13. 0.5 14. (?
2 2 , ) 4 4

3 15. ( ,1] 4

16.1 17.-1 18.1 三.解答题(6 小题,共 60 分) 19.(8 分)依题意知
?2, ? 1 4 是方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两个根,

1 b ? ?2 ? (? ) ? ? ? ?a ? ?4 ? 4 a ?? ? ?(?2)?(? 1 ) ? ? 2 ?b ? ?9 ? 4 a ?

20.(8 分) ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 3 ,其定义域为 R ;

?a ? 0 ②当 a ? 0 时,依题意有 ? ? 0 ? a ?1 2 ? ? 36 a ? 36 a ? 0 ?
21.(10 分)证明:设 1 ,2 为任意两个不相等的实数,则

7

? = (2 ) ? (1 ) = ?52 ? 3 ? ?51 ? 3 = ?5 2 ? 1 , Δ ?5 2 ? 1 = = ?5 < 0 , Δ 2 ? 1 所以,函数 = ?5 ? 3 在 上是减函数.
a 2 ? b2 a2 2 b 1 ? 1? 2 ? , 得 ? 22.(10 分)解: 由 e ? 2 a b 3 a 3
2

3 1 由椭圆 C 经过点 ( , ) , 2 2 9 1 得 2 ? 2 ?1 ② 4a 4b

联立① ②,解得 b ? 1, a ? 3 所以椭圆 C 的方程是
x2 ? y2 ? 1 3

23.(12 分) (1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , 因为 四边形 BCC1B1 是平行四边形, 所以点 O 为 B1C 的中点. 因为 D 为 AC 的中点, 所以 OD 为△ AB1C 的中位线, 所以 OD / / AB1 . 因为 OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , 所以 AB1 / / 平面 BC1D . (2)解 因为 AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC 1 1C ,
ABC ? 平面 AAC ? AC . 所以平面 ABC ? 平面 AAC 1 1C ,且平面 1 1C

作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AAC 1 1C , 因为 AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 ,
8

在 Rt△ ABC 中, AC ? AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 , ? AC 13

1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 所以四棱锥 B ? AAC 1 1 D 的体积 V ? 3 2

1 3 6 ? 3. ? ? 13 ? 2 ? 6 2 13
3 所以四棱锥 B ? AAC 1 1 D 的体积为 .

24.(12 分) (Ⅰ)连结 PO、PC, 因为|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1, 所以|PO|2=|PC|2,从而 a 2 ? b 2 ? (a ? 2) 2 ? (b ? 4) 2 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: a ? 2b ? 5 ? 0 (Ⅱ)由 a ? 2b ? 5 ? 0 ,得 a ? ?2b ? 5

| PA |? | PO | 2 ? | OA | 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? (?2b ? 5) 2 ? b 2 ? 1 ? 5b 2 ? 20b ? 24 ? 5(b ? 2) 2 ? 4
所以当 b ? 2 时, | PA | min ? 2

9


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