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新课标必修4三角函数综合测试题


新课标必修 4 三角函数测试题
班级_________学号__________姓名__________ 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1 2 3 4 5 6 7 题 号 选 项 1. 化简 A.

8

9

10

11

12

1 + tan 15 0 等于 ( 1 ? tan 15 0
B.
3 2

) C. 3 D. 1 )

3

2. 在 ? ABCD 中, AB = a , AD = b ,AC = c , BD = d ,则下列等式中不正确的是 设 ( A. a + b = c B. a ? b = d C. b ? a = d D. c ? d = 2a

①sin(A+B)+sinC; ②cos(B+C)+cosA; tan A + B tan C ; cos B + C sec A , ③ ④ 3. 在 ?ABC 中, 2 2 2 2 其中恒为定值的是( A、① ② 4. 已知函数 f(x)=sin(x+ ) B、② ③ C、② ④ D、③ ④ )

π
2

),g(x)=cos(x-

π
2

),则下列结论中正确的是(

A.函数 y=f(x)·g(x)的最小正周期为 2 π B.函数 y=f(x)·g(x)的最大值为 1

C.将函数 y=f(x)的图象向左平移 π 单位后得 g(x)的图象 2 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移

π 单位后得 g(x)的图象
2

5. 下列函数中,最小正周期为 π ,且图象关于直线 x = A. y = sin( 2 x ?

π
3

对称的是(



π
3
2

)

B. y = sin(2 x ? π )
6

C. y = sin(2 x + π )
6

D. y = sin( x + π ) 2 6

6. 函数 y = cos x ? sin x 的值域是 ( A、 [? 1,1] B、 ?1, 5 ?
? 4? ? ?

) C、 [0,2] D、 ?? 1, 5 ?
? ? 4? ?

7. 设 a =

1 3 2 tan 130 cos 6 0 ? sin 6 0 , b = ,c = 2 2 1 + tan 2 130
B. a < b < c

1 ? cos 50 0 , 则有( 2



A. a > b > c 8. 已知 sin α = A.-7

C. b < c < a

D. a < c < b )

3 , α 是第二象限的角,且 tan( α + β )=1,则 tan β 的值为( 5 3 3 B.7 C.- D. 4 4

9. 定义在 R 上的函数 f (x ) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x ) 的最小正周期是 π ,且当
x ∈ [0,

π 时, f ( x ) = sin x ,则 f ( 5π ) 的值为( ]
2


3 2

3

A. ? 1

B

2

3 2

C ) C. 2π

?

D

1 2

10. 函数 y = A.

π
2

1 ? cos x 的周期是( sin x
B. π

D. 4π

11. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为 θ , 大正方形的面 积是 1,小正方形的面积是

1 , 则 sin 2 θ ? cos 2 θ 的值等于( 25
C. 7 25



A.1

B. ? 24 25

D. ? 7 25

12. 使函数 f(x)=sin(2x+ θ )+ 3 cos( 2 x + θ ) 是奇函数, 且在[0, ] 上是减函数的 θ 的一个

π

4

值(

) A.

4π 5π 2π C. D. 3 3 3 3 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13、函数 y = a sin x + 1 的最大值是 3,则它的最小值______________________
π
B. 14、若 a + b = a ? b ,则 a 、 b 的关系是____________________ 15、若函数 f(χ)是偶函数,且当χ<0 时, f(χ)=cos3χ+sin2χ, 有 则当χ>0 时,f(χ) 的表达式为 . 16、给出下列命题:(1)存在实数 x,使 sinx+cosx= 角,则 sin α > cos β ; 向右平移 (3)函数 y=sin(

π
3

;

(2)若 α,β 是锐角△ ABC 的内

π
4

个单位,得到 y=sin(2x+

π
4

2 7π x)是偶函数; (4)函数 y=sin2x 的图象 3 2
.

)的图象.其中正确的命题的序号是

三、解答题(本大题 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、(12 分) 求值:

2 sin 50 0 + sin 80 0 (1 + 3 tan 10 0 ) 1 + cos10 0

π π 3 5 18、(12 分) 已知 <α<π,0<β< ,tanα=- ,cos(β-α)= ,求 sinβ的值. 2 2 4 13

19. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中, cos A = ?

5 3 , cos B = . 13 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC = 5 ,求 △ ABC 的面积.

π x 1 + sin x ? 2 sin 2 ( ? ) 4 2 + 3 sin x 的最大值及取最大值时相应的 x 的集合. 20、 (12 分)求 f ( x) = x 2 4 sin 2

21(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , a、b、c

分 别 为 内 角

A、B、C 的 对 边 , 且

2a sin A = (2b + c)sin B + (2c + b) sin C

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B + sin C = 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

22、(12 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)= a sin ωx + b cos ωx (ω > 0) 的周期为 π , 且对一切 x ∈ R,都有 f(x) ≤ f ( π ) = 4 ; 12 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 g(x)=f(

π
6

? x ),求函数 g(x)的单调增区间;

参考答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 选项 1.解;∵ 1 A 2 B
0

3 B
0

4 D

5 B
0

6 D

7 D

8 B

9 B

10 C

11 D

12 B

1 + tan15 tan 45 + tan15 = = tan ( 450 + 150 ) = tan 600 = 3 1 ? tan150 1 ? tan 450 ? tan150

2.解:∵在 ? ABCD 中, AB

= a , AD = b , AC = c , BD = d

∴ a ? b = AB ? AD = DB = ?d

3.解:①sin(A+B)+sinC=2sinC;②cos(B+C)+cosA=0;③ tan A + B tan C = 1 ;④ cos B + C sec A = tan A 2 2 2 2 2 4.解:f(x)=sin(x+

π ) = cos x ,g(x)=cos(x- π ) = sin x 2 2

5.解:∵最小正周期为 π ,∴ ω

=2

又∵图象关于直线 x = π 对称 ∴ f ? π ? = ±1 ? ?
3

?3?

6.解:∵ y = cos 2 x ? sin x = 1 ? sin 2 x ? sin x = ? ? sin x + 1 ? + 5 且 sin x ∈ [ ?11] ∴ y = 5 ,y = f (1) = ?1 , max min ? ? 4 2? 4 ?
2

7.解: a = 1 cos 6 0 ?

2

3 2 tan 130 sin 6 0 = ? sin 24 0 , b = = tan 26 0 , c = 2 0 2 1 + tan 13

1 ? cos 50 0 = sin 25 0 2

tan 26 0 / sin 25 0 > tan 25 0 / sin 25 0 = 1 / cos 25 0 > 1 ? tan 260 > sin 250
8.解:∵ sin α = ∴ ? + tan β
3 1 + tan β 4 3 4

3 , α 是第二象限的角,∴ 3 tan α + tan β tan α = ? ,又∵ tan (α + β ) = =1 5 4 1 ? tan α tan β

= 1 ? tan β = 7

9.解:由已知得: f ( 5π ) = f (2π ? π ) = f (? π ) = f ( π ) = sin π = 3 3 3 3 3 3 2 10.解:
1 ? cos x y= = sin x x? ? 1 ? ? 1 ? 2sin 2 ? sin x 2? ? 2 = tan x ? T = π = 2π = x x x 1 2 2sin cos cos 2 2 2 2
2

11.解:∵ ( cos θ ? sin θ ) =

1 1 ? π? ? cos θ ? sin θ = ± ,又 θ ∈ ? 0, ? 25 25 ? 4?

∴ cos θ

? sin θ =

1 25

2 cos θ sin θ =

24 , ∴ sin 2 θ 25

? cos 2 θ = ( sin θ + cos θ )( sin θ ? cos θ ) = ?

1 ( sin θ + cos θ ) 5

=?

1 1 24 7 1 ? 2sin θ cos θ = ? 1 + =? 5 5 25 25

12.解:∵f(x)=sin(2x+ θ )+ 3 cos(2 x + θ ) = 2 cos(2 x + θ + ∵f(x)在[0, π ]上是减函数 ∴当 θ

π 是奇函数,∴f(x)=0 知 A、C 错误;又 )
3

4

=

2π 3

时 f(x)=-sin2x 成立。

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13、解:∵函数

y = a sin x + 1 的最大值是 3,∴ 3 = a + 1 ? a = 2 , ymin = 2 × ( ?1) + 1 = ?1

14、解:∵

a +b = a ?b

∴ a 、 b 的关系是:

a ⊥b

15、∵函数 f(χ)是偶函数,且当χ<0 时,有 f(χ)=cos3χ+sin2χ,则当χ>0 时,f(χ)的表达式为:

f ( x ) = f ( ? x ) = cos 3 ( ? x ) + sin 2 ( ? x ) = cos3x ? sin 2 x
16、解:(1) sin x + cos x = 2 sin ? x + π ? = π ∈ ? 2,2 ? 成立; ? ? ? 4? 3 ? ? (2)锐角△

ABC 中 α + β ?

π
2

?α ?

π
2

?π ? 2 7π ? β ? sin α ? sin ? ? β ? ? sin α ? cos β 成立 (3) y = sin ? x ? ? 2 ?2 ? ?3

π? ? ?2 ? = sin ? x ? 4π + ? = 2? ? ?3

π 2 cos x 是偶函数成立;(4) y = sin 2 x 的图象右移 个单位为 y = sin 2 ? x ? π ? = sin ? 2 x ? π ? ,与 y ? ? ? ? 3 4 4? 2? ? ?
=sin(2x+ 三.解答题 17、解: 原式=
0 0 2sin 500 + cos100 + 3 sin100 2sin 500 + 2sin 400 2sin 50 + 2 cos 50 = = 2 cos 50 2 cos 50 2 cos 50

π
4

)的图象不同;故其中正确的命题的序号是: 、 (1)(2)(3) 、

=

2 2 sin ( 500 + 450 ) 2 cos 50

=

2 2 sin 950 2 2 cos 50 = =2 2 cos 50 2 cos 50

18、解:∵ α ∈ ? π ,π ? 且 tan α

? ?2

? ?

=?

3 4

∴ sin α

3 4 π = , cos α = ? ;∵ α ∈ ? π ,π ? , β ∈ ? 0, ? ? ? ? ? 5 5 2 ? ? ? 2?
5 13
∴ sin( β ? α ) = 1 ? ? 5 ? = ? 12 ? ? 13 ? 13 ?
2

∴ ?α ∈ ? ?π , π ? , β ? α ∈ ( ?π ,0 ) ? ? ?

?

2?

又∵ cos( β ? α ) =

∴ sin β = sin ?( β ? α ) + α ? = sin( β ? α ) cos α + cos( β ? α ) sin α = ? ? ?

12 ? 4 ? 5 3 63 ×?? ? + × = 13 ? 5 ? 13 5 65

20、解:∵

? π x ? ?π ? sin x + cos ? 2( ? ) ? sin x + cos ? ? x ? ? 4 2 ? + 3 sin x = ?2 ? + 3 sin x = 2sin x + 3 sin x f ( x) = x x 2 2 4sin x 2 4sin 4sin 2 2 2

x x x π 4 sin cos 2 2 + 3 sin x = cos x + 3 sin x = 2 sin( + ) = 2 6 x 2 2 2 4sin 2
∴由 sin(

x π π 2π x π (k ∈ Z ) 时, f (x) max = 2 . + ) max = 1 得 + = 2kπ + 即 x = 4kπ + 2 6 2 3 2 6 2π 故 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合为: {x x = 4kπ + (k ∈ Z )} 3

22、解:(1)∵ f ( x ) = a sin ω x + b cos ω x =

a 2 + b 2 sin(ω x + ? ) ,又周期 T =



ω

= π ∴ω = 2

∵对一切 x ∈ R,都有 f(x) ≤ f ( π ) = 4

∴?

?

a 2 + b2 = 4

12

? π π ? a sin + b cos = 2 6 6 ?

? 解得: ?

a=2 ? ?b = 2 3 ?



f ( x ) 的解析式为 f ( x ) = 2sin ω x + 2 3 cos ω x
(2) ∵

g (x ) = f (

π
6

π ? 2π 2π ? π ? x ) = 4 s in ? 2 ( ? x ) + ? = 4 s in ( ? 2 x + ) = ? 4 s in ( 2 x ? ) 3? 3 3 ? 6

∴g(x)的增区间是函数 y=sin ( 2 x ? 区间为 [ kπ +

2π ) 的减区间 3

∴由 2 kπ +

π
2

≤ 2x ?

2π 3π 得 g(x)的增 ≤ 2 kπ + 3 2

7π 13π ( k ∈ Z ) (等价于 5π π ] , kπ + [ kπ ? , kπ + ]. 12 12 12 12

21 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = ( 2b + c)b + ( 2c + b)c 即 a = b + c + bc
2 2 2

由余弦定理得 a = b + c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A = ?
2

1 , A = 120° 2
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A = sin B + sin C + sin B sin C. 又 sin B + sin C = 1 ,得 sin B = sin C = 因为 0° < B < 90°,0° < C < 90° , 故B=C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。

1 2


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